第一学期高等数学试题(一) 一、 1.［5分］ 设
，求 。

2.［5分］ 求
3.［5分］ 讨论极限
4.［5分］ 函数
与函数 y = x 是否表示同一函数，并说明理由。

二、 1.［6分］ 讨论数列
当 时的极限。

2.［6分］ 讨论函数
在 x = 0 处的可导性。

3．［6分］ 设求 。

4.［6分］ 求曲线
的凹凸区间。

三、
1.［8分］ 求 。

2.［8分］ 求 。

3.［8分］ 计算。

4.［8分］ 求 。

四、 ［8分］ 设
试讨论f (x) 的单调性和有界性。

五、 ［8分］ 求曲线 及 x 轴所围图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积 V 。

六、 ［8分］ A ，B 两厂在直河岸的同侧，A 沿河岸，B 离岸4公里，A 与B 相距5公里，今在河岸边建一水厂C ，从水厂到B 厂的每公里水管材料费是A 厂的倍，问水厂C 设在离A 厂多远处才使两厂所耗总的水管材料费为最省。

()3222+-=-x x x f ()2+x f 3423lim 4
31+-+-→x x x x x x
x x sin lim
→()x y arcsin sin =()()()
,2,1,161212
=-++=
n n n n n a n ∞→n ()⎩⎨
⎧<-≥=010sin x x x x x f ⎩
⎨⎧==-t t
te
y e x 2
2dx y
d ()()212
-+=x x y ()
dx
x x ⎰
+23
sin sin
dx x x ⎰+33
⎰
x
dx x x 20
2cos ⎰
+∞
-0
2dx xe x ()()
+∞<≤+=
x x
x x f 012()
2
21,
-==x y x y 5
第一学期高等数学试题(一)解答
一、 1.［5分］，。

2.［5分］
3.［5分］ 因
，故原极限不存在。

4.［5分］ 函数 与函数 y = x 不表示同一函数。

因前者定义域为
［-1,1］，后者定义域为［-∞，∞］。

二、 1.［6分］。

2.［6分］ 函数
在 x = 0 处的左右极限不等，故f (x) 在x=0处不连续亦
不可导。

3．［6分］ 设 。

4.［6分］ 曲线
的凹凸区间为：(-∞ ，0)上凸，(0，∞)上凹。

三、 1.［8分］。

2.［8分］ 。

3.［8分］。

4.［8分］ 。

四、 ［8分］
∵x ≥
0, 1+x >0 ∴ f (x) ≥0 ,又∵ f
(x)
有
界。

又
∵
∴在［0，+∞］上f ( x )单增。

五、 ［8分］曲线
及 x 轴的交点：( 1/2, 1/4) 、(0, 0 ) 、(1, 0 )
()()()3
22222
++++=+x x x f 213423lim 431=+-+-→x x x x x 1
sin lim
1
sin lim
-==-→+→x
x x
x x x ()
x y arcsin sin =()()
()
∞
=-++∞
→2
16121lim
n n n n n ()⎩⎨
⎧<-≥=010sin x x x x x f ()()()0
sin lim lim ,11lim lim 0
==-=-=-→-→+→+→x x f x x f x x x x ⎩⎨⎧==-t t te y e x ()t e t dx
y d 322
32+=()()212
-+=x x y ()
c
x x x x dx x x +-+-=+⎰2sin 41
21cos cos 31sin sin
323
c x x x x dx x x ++-+-=+⎰3ln 27923332
332
20
2cos π=⎰
x
dx x x 4
10
2=
⎰+∞
-dx xe
x
()()2
02
12
212)1(2<≤∴<+-=+-+=x f x x x x f ()()
12
2
>+=
'x x f ()
2
21,
-==x y x y (
)()12
14
10
2
2
π
π=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰dy y y V
六、 ［8分］ 设AC 长为x 公里 ( 0 ≤ x ≤ 3 ) ,水厂到A 厂的每公里水管材料费为K 元，则总的水管材料费为：
0 ≤ x ≤ 3
令得唯一驻点：x = 1
故 x = 1是唯一极小值点，亦为最小值点。

于是有当x = 1 (公里)时，S 最小。

()
2
3165x k kx S -++=()()()2
2
31635316x x x k S -+⎥⎦⎤⎢⎣
⎡---+='0='S ()[]03165162
>-+=
''x k
S。