x

1
x4

2
x2

d 1
x
而
1 0
x4
2x 2x2
dx 1

1 2d x 2，
0
1
x4
2x 2x2
dx 1

1
2 x3
d
x

1，
故原无穷限广义积分也收敛.
三、解答题（每小题 10 分，共 20 分）
1.设两曲线为 l1 : y x2 ，l2 : x y 2 .
n1
n n1 n
(1)n1 1 xn
n1
n
f
(2017) (0)

a2017
2017!

2 2017
2017!
2 2016!
注 前一问 6 分，后一问 2 分.
6.判断无穷限广义积分
0
x4
2x 2x2
d 1
x
的敛散性.
解 1

2x
f ( x2 y) (2xy x2 dy ) e x y (1 dy ) 1
dx
dx
解之得 dy dx
f
( x2 f (
y x
)
2
2xy e x y) x2 e
x
y

y
1
.
y) 2xy e x y f ( x2 y) x2 e x y
(2) 由(1)知， x0 为极值点，所以 f ( x0 ) 0. 将函数 f ( x) 在点 x x0 处展开，得
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( 2!
)
(x

x0 )2

f (x0 )
f
( 2!
)
(
x

x0
)2
故 0 f (0)
(1) 求 l1 在点 x 0 处的曲率；
(2) 求 l1 与l2 所围成图形的面积；
(3) l1 与l2 围成的图形绕 x 轴旋转一周，求旋转体的体积.
解 (1) K
| y | 3 |x0
2 3 |x0 2.
(1 y2 )2
(1 4x2 )2
(2)
由

y

x2
解 原式 1
1
x d f (2x)
20

[1 2
xf
(2 x )]
10
1 2
1 0
f (2x)d x
5 [1 24
f
(2
x
)]
1 0
1.
x
ln(1 t)d t
3.求极限 lim x0
0
(e x 1)sin x
.
x
ln(1 t)d t
解 原式 lim 0 x0
x2
ln(1 x) lim
x0 2x
x1 lim .
x0 2x 2
4.已 知函数 f (u) 可 导， f (0) 0，且 由方 程 f ( x2 y) ex y e x 可确 定 y 是 x 的 函 数，求
dy dx |x0 . 解 由题意易知，当 x 0 时， y 1. 方程两边同时对 x 求导，
2.
二、计算题（每小题 8 分，共 48 分）
1.计算不定积分 [ln x x( x 1)2018 ] d x . x
解 原式
ln
x dx

x( x 1)2018 d x
x
ln xd ln x ( x 1 1)( x 1)2018d x
1 ln2 x [( x 1)2019 ( x 1)2018 ]d x 2
1
x0


e
e
1
.
y1
y1
注 可以不解 y 而直接得到答案.
5.将函数 f ( x) ln 1 x 展开成 x 的幂级数，并求 f (2017)(0). 1 x
解 f ( x) ln 1 x ln(1 x) ln(1 x) 1 x
(1)n1 xn xn
1
x f (2x) d x .
0
x
ln(1 t)d t
3.求极限 lim x0
0
(e x 1)sin x
.
4.已知函数 f (u) 可导， f (0) 0，且由方程 f ( x2 y) ex y e x 可确定 y 是 x 的函数，求
dy dx |x0 .
5.将函数 f ( x) ln 1 x 展开成麦克劳林级数，并求 f (2017)(0). 1 x
cos 1 1 n 1
lim e n n
1( 1 )2 2n
1
1
lim e n e 2 1
n
由比值审敛法知，该数项级数收敛.
2. 设 f ( x) 在 [0，1] 上 连 续 ， 在 (0，1) 内 二 阶 可 导 ， 且 | f ( x) | 1 ，又 f (0) f (1) 0，(1)设
| f ( x0 )|
max |
0 x1
f (x)|
，证明
x0 (0，1) ；(2)
证明
|
f ( x0 )|
1. 8
证明 (1)由于 | f ( x) | 1，故 f ( x) 不可能为常量，所以 | f ( x0 )| 一定大于零，而 f (0) f (1) 0， 从而 x0 (0，1).
四川大学期末考试试题（闭卷） （2017——2018 学年第 1 学期） A 卷
课程号：201137050 适用专业年级：理工
课序号： 学生人数：
课程名称：微积分 1-1
任课教师： 成绩：
印题份数：
学号：
姓名：
考生承诺
我已认真阅读并知晓《四川大学考场规则》和《四川大学本科学生考试违纪作弊处分规定（修 订）》，郑重承诺：
6.判断无穷限广义积分
0
x4
2x 2x2
d 1
x
的敛散性.
三、解答题（每小题 10 分，共 20 分）
1.设两曲线为 l1 : y x2 ，l2 : x y 2 . (1) 求 l1 在点 x 0 处的曲率； (2) 求 l1 与l2 所围成图形的面积； (3) l1 与l2 围成的图形绕 x 轴旋转一周，求旋转体的体积. 2.讨论方程 k e x x2 0 (其中 k 为参数 ) 有几个实根，并说明理由.
四、证明题（每小题 7 分，共 14 分）
1.证明正项级数 (cos 1 )n2 收敛.
n1
n
2.设 f ( x) 在 [0，1] 上连续，在 (0，1) 内二阶可导，且 | f ( x) | 1 ，又 f (0) f (1) 0，
(1) 设 | f ( x0 )|
max |
导数值为_____________.
二、计算题（每小题 8 分，共 48 分）
1.计算不定积分 ( ln x x( x 1)2018 ) d x . x
第 1 页，共 2 页 试卷编号：
2.设 f ( x) 在 [0，2] 上连续，且 f (0) 1， f (2) 7，f (2) 5，求
2.已知函数
f (x)


1 x ln(1
1，x x)

0
在
x

0 处连续，则
a
_____________；

a， x 0
3.定积分
1 1
(
x3e
x2
1

1
1 x2
)d
x

_____________；
4.已知 f ( x) ( x 1)2 e x ，则 f (2018) (1) _____________；
2
2


[4 x

2x2

1 3
x3

1 5
x
5
]
1 2

72 5
注 分值为 2, 3, 3.
2.讨论方程 k e x x2 0 (其中 k 为参数 ) 有几个实根，并说明理由.
解 设 f ( x) ex x2 ，令 f ( x) ex x2 2xex (2x x2 )ex 0，得 x 0，2. 所以当 x (，0) 时， f ( x) 0，函数单增；当 x (0，2) 时， f ( x) 0，函数单减；
0
x4

2x2

d 1
x
lim t
t 2x
0
x4
2x2
dx 1

lim
t
t 0
(x2
1
1)2
d(x2

1)

lim[
t
1 x2
] 1
t 0

1
故无穷限广义积分收敛.
解 2

2x
1 2x

2x
0
x4
2x2
dx 1

0
x4

2x2
d 1
0 x1
f (x)|
，证明
x0 (0，1) ；(2)
证明
|
f ( x0 )|
1. 8
第 2 页，共 2 页
2017-2018 微积分(1)-1 期末试题参考答案