线性方程组
1. 用消元法解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-
+-+=--
+
-
=-+-+
=-
-+-5
2522220
21
22325
4
321
53
2
154321
5
4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 解: 方程组的增广矩阵 :
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------420200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321⎥
⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--------→60000
0110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解.
2. 讨论λ为何值时,方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++
=
+
+=++2
3
2
1
3
2
1
321
1
λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解和有无穷多解。

解：将方程组的增广矩阵进行初等行变换，变为行阶梯矩阵。

()()
()()B
A =⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡+------→→⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣
⎡→⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=22
2
2211210
1101
111
1
11111
1
1
1
111λλλλλλλ
λλλ
λλλλλλλ
λλ
λ 于是，当2,1-≠λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于3，等于未知量的个数，此
时方程组有唯一解;2
)1(,21,213
321++-=+=++-
=λλλλλx x x 当2-=λ时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解；
当1=λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于1，小于未知量的个数，此时方程组有无穷多解，即3211x x x --=，其中32,x x 为自由未知量。

3. 当b a ,取何值时线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++b
x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325
432154321334536223231有解？并求其解。

解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换： 对方程组的增广矩阵A 施行初等行变换可变换为
.20
000003622102
51101
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-----b a a 。

由此可知，()2=A r ，而且当02=+-=b a a ，即 2,0==b a 时，()()2==A r A r ，从而原方程组有无穷多解：
为任意常数
54354325431,,,6223,25x x x x x x x x x x x ---=-++=。