集度，但符号相反。
§3-1 平面杆件内力计算回顾
四、剪力图与弯矩图之间的关系
荷载 无外力 情况
剪力图 水平线
一般 弯矩图 为斜
直线
均布力作用 (q向下)
斜为 直零 线处
抛物 有
线下 极
凸
值
集中力作用
处(FP向下)
有突 变(突变ຫໍສະໝຸດ 变值=FP)号
有尖 有 角(向 极 下） 值
集中力 铰
偶M作 结
用处
处
无 无变化 影
§3-1 平面杆件内力计算回顾
一、内力的概念和符号规定
剪力----截面上应力沿杆轴法线方向的合力。剪力 以绕微段隔离体顺时针转动为正。
弯矩----截面上应力对截面形心的力矩。在水平杆 件中，当弯矩使杆件下部受拉时，弯矩为 正。
作内力图时，轴力图和剪力图要注明正负号，弯 矩图规定画在杆件受拉的一侧，不用注明正负号。
§3-1 平面杆件内力计算回顾
二、内力的计算方法
杆件结构内力计算方法主要采用截面法。截面法可
用“截开、代替、平衡”六个字来描述： 截开----在所求内力的截面处截开，任取一部分作 为隔离体； 隔离体与其周围的约束要全部 截断。 代替----用截面内力代替该截面的应力之和；用相 应的约束力代替截断约束。 平衡----利用隔离体的平衡条件，确定该截面的内 力。
q(x) Fp
y p(x)
dx
M x
q(x)
M
M+dM
dx
FN
FN+d FN
FQ P(x) FQ+dFQ
§3-1 平面杆件内力计算回顾
考虑梁微段的平衡，由平衡
q(x)
M
M+dM
方程ΣY＝0得
dx
F Q (x ) q (x ) d [ x F Q (x ) d Q (x F ) ] 0FN
即 dFQ(x) q(x)
Y0 FYA4kN
§3-1 平面杆件内力计算回顾
五、内力计算及内力图
2）上部结构与基础的联系多于三个时，不仅要对 整体建立平衡方程，而且必须把结构打开，
取隔离体补充方程。 由整体：
例：
20kN/m
X0 FXAFXB
C
MA0 F YB 2 0 4686k0
6m 2m
A
B
4m 4m
Y0 F YA 2 0 46 02k0N
三、直杆内力的微分关系
d d Q (F x )x q (x ) ， d d (x M )x F Q (x )d ,2 d M 2 (x x ) q (x ) 几何意义：
剪力图上某点处切线斜率等于该点处的横向荷载 集度，但符号相反。
弯矩图上某点处切线斜率等于该点处的剪力。 弯矩图在某点处的二阶导数等于该点的横向荷载
例：用区段叠加法画出图示简支梁的弯矩图。
8kN 4kN/m
16kN∙m
A C
E
G
1m 1m 2m
2m 1m 1m
解：a、把梁分成三段：AC、CE、EG。 b、求反力：
MA 0 F Y G ( 8 1 4 4 4 1 6 ) 8 7 k N
Y 0 F Y A 8 4 4 7 1 7 k N
区段叠加法画弯矩图的具体步骤如下：
▲ 首先把杆件分成若干段，求出分段点上的弯矩 值，按比例标在杆件相应的点上，然后每两点间 连以直线。
▲ 如果分段杆件的中间没有荷载作用这直线就是 杆件的弯矩图。如果分段杆件的中间还有荷载作用， 那么在直线上还要迭加上荷载单独在相应简支梁上 产生的弯矩图形。
§3-1 平面杆件内力计算回顾
FN+d FN FQ P(x)FQ+dFQ
dx
再由平衡方程 ΣM(c)＝0（c为微段右侧面的形心）得
[M (x ) d(x M ) ] M (x ) q (x )d 2 d x F x Q (x ) d 0 x
略去二阶微量，得
dM(x) dx
FQ(x)
d2M(x) dx2
q(x)
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端，并连以直线，然
后在直线上叠加上由
节间荷载单独作用在
简支梁上时的弯矩图
MB MA
FPL/4
FPL/4
MB
§3-1 平面杆件内力计算回顾
3）用区段叠加法画弯矩图
对图示简支梁把其
Fp
q
中的AB段取出，其隔 离体如图所示：
把AB隔离体与相 应的简支梁作一对 比：
显然两者是完全
A
L
q MA
A
FQAY
q
MA
取左半部分为隔离体： MC 0 F XA 2 0 481k0N 由式1： FXB10kN
§3-1 平面杆件内力计算回顾
2. 画弯矩图 1）几种简单荷载的弯矩图
▲ 简支梁在均布荷载 作用下的弯矩图 F P ab
L
▲ 简支梁在集中力作 用下的弯矩图
▲ 简支梁在集中力矩作 用下的弯矩图
q qL2/8 FP
§3-1 平面杆件内力计算回顾
二、内力的计算方法
利用截面法可得出以下结论： 轴力等于截面一侧所有外力沿杆轴切线方向投影 的代数和； 剪力等于截面一侧所有外力沿杆轴法线方向投影 的代数和； 弯矩等于截面一侧所有外力对截面形心力矩的代 数和。
§3-1 平面杆件内力计算回顾
三、直杆内力的微分关系
A
相同的。
MA A FAY
M
B
B MB FQBY
MB
B
B MB FBY
§3-1 平面杆件内力计算回顾
Fp
q
M
A
L
B
因此上图梁中AB段的弯矩图可以用与简支梁 相同的方法绘制，即把MA和MB标在杆端，并连 以直线，然后在此直线上叠加上节间荷载单独作
用在简支梁上时的弯矩图，为此必须先求出MA 和MB。
§3-1 平面杆件内力计算回顾
c、求分段点C、E点的弯矩值：
§3-1 平面杆件内力计算回顾
取AC为隔离体
1m
A 17
8 1m MC
C
FQCA
MC 0
M C 1 7 2 8 1 2 6 k N m
取EG为隔离体
ME 0
ME
E
FQEG
1m
M E 7 2 1 6 3 0 k N m
响
有突变 （突变 为零 值=M）
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五、内力计算及内力图
步骤：求反力 画弯矩图 画剪力图 画轴力图
1. 求支座反力
1）上部结构与基础的联系为3个时，对整体利用3个
平衡方程，就可求得反力。
4kN
例： B
C
4m
A
D
2m 2m
X0
1kN/m
FXA144kN
MA0F YD 4 2 1 4 2 0
L/2
M/2
FPL/4
L/2
M
M/2
L/2
L/2
§3-1 平面杆件内力计算回顾
2）用叠加法画简支梁在几种简单荷载共同作用下
的弯矩图
例1： MA
q
MB
q
A
B=
qL2/8
MA
MB
+
+
MA
=A
qL2/8
MB
B
§3-1 平面杆件内力计算回顾
例2： MA
A
MA
FP L/2 L/2
FP
MB
B 结论
把两头的弯矩标在杆