1主要内容本节介绍非稳态导热的分析解法，最后简要介绍导热问题的数值解法。

4.3 非稳态导热 4.3非稳态导热：温度场随时间变化的导热过程。

2非稳态导热非稳态导热的类型：（1）周期性非稳态导热：（2）非周期性非稳态导热：在周期性变化边界条件下发生的导热过程，如内燃机汽缸壁的导热、一年四季大地土壤的导热等。

在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程，例如热处理工件的加热或冷却等。

讨论一维非周期性非稳态导热的分析解法及求解特殊非稳态导热问题的集总参数法。

了解和掌握非稳态导热过程中温度场的变化规律及换热量的计算方法。

本节主要内容：主要目的： 1.一维非稳态导热问题的分析解3第三类边界条件下大平壁、长圆柱及球体的加热或冷却是工程上常见的一维非稳态导热问题。

（1）无限大平壁冷却或加热问题的分析解简介假设：厚度为δ、热导率λ、热扩散率a 为常数，无内热源，初始温度与两侧的流体相同并为t 0。

两侧流体温度突然降低为t ∞，并保持不变，平壁表面与流体间对流换热表面传热系数h 为常数。

考虑温度场的对称性，选取坐标系如图，仅需讨论半个平壁的导热问题。

这是一维的非稳态导热问题。

41)数学模型：（对称性）引进无量纲过余温度、无量纲坐标，Fo 是无量纲特征数，称为傅里叶数称为毕渥数令过余温度5傅里叶数的物理意义：Fo 为两个时间之比，是非稳态导热过程的无量纲时间。

毕渥数的物理意义：Bi 为物体内部的导热热阻与边界处的对流换热热阻之比。

由无量纲数学模型可知，Θ是Fo 、Bi 、X 三个无量纲参数的函数确定此函数关系是求解该非稳态导热问题的主要任务。

2）求解结果：6解的函数形式为无穷级数，式中β1,β2,···，βn 是下面超越方程的根根有无穷多个，是Bi 的函数。

无论Bi 取任何值，β1,β2,···，βn 都是正的递增数列，Θ的解是一个快速收敛的无穷级数。

2y 由解的函数形式可以看出，Θ确实是Fo 、Bi 、X 三个无量纲特征数的函数7（2）分析解的讨论1）傅里叶数Fo 对温度分布的影响分析解的计算结果表明，当Fo ≥0.2时，可近似取级数的第一项，对工程计算已足够精确，即因为，所以将上式左、右两边取对数，可得，m 为一与时间、地点无关的常数，只取决于第三类边界条件、平壁的物性与几何尺寸。

式中式右边的第二项只与Bi 、x/δ有关，与时间τ无关。

8上式可改写为该式说明，当Fo ≥0.2时，即时，平壁内所有各点过余温度的对数都随时间线性变化，并且变化曲线的斜率都相等，这一温度变化阶段称为非稳态导热的正规状况阶段。

上式两边求导，可得m 的物理意义是过余温度对时间的相对变化率，单位是s －1，称为冷却率（或加热率）。

上式说明，当Fo ≥0.2，进入正规状况阶段后，所有各点的冷却率都相同，且不随时间而变化，其大小取决于物体的物性、几何形状与尺寸及表面传热系数。

9对于平壁中心，上面两式之比可见，当Fo ≥0.2，非稳态导热进入正规状况阶段以后，虽然θ与θm 都随时间变化，但它们的比值与时间无关，只取决于毕渥数Bi 与几何位置x/δ。

认识正规状况阶段的温度变化规律具有重要的实际意义，因为工程技术中的非稳态导热过程绝大部分时间都处于正规状况阶段。

102）毕渥数Bi 对温度分布的影响平壁非稳态导热第三类边界条件表达式上式的几何意义：在整个非稳态导热过程中平壁内过余温度分布曲线在边界处的切线都通点,即，该点称为第三类边界条件的定向点。

11毕渥数Bi对温度分布的影响分析(a)Bi →0:平壁的导热热阻趋于零，平壁内部各点温度在任一时刻都趋于一致，只随时间而变化，变化的快慢取决于平壁表面的对流换热强度。

定向点在无穷远处。

工程上只要Bi ≤0.1，就可以近似地按这种情况处理，用集总参数法进行计算。

12对流换热热阻趋于零，非稳态导热一开始平壁表面温度就立即变为流体温度，相当于给定了壁面温度，即给定了第一类边界条件，平壁内部的温度变化完全取决于平壁的导热热阻。

定向点位于平壁表面上。

当Bi >100时可近似按此处理。

(b)Bi →∞:(c )0<Bi<100，按一般情况处理。

133）平壁与周围流体之间交换的热量在0~τ时间内，微元薄层dx 单位面积放出的热量等于其热力学能的变化，在0~τ时间内，单位面积平壁放出的热量将Fo ≥0.2时无量纲过余温度的近似解代入上式，得？ττ=0x d x 0θθ0θδ14（3）诺谟图1）152）163）17几点说明：(1)上述分析是针对平壁被冷却的情况进行的，但分析结果对平壁被加热的情况同样适用；(2)由于平壁温度场是对称的，所以分析时只取半个平壁作为研究对象，这相当于一侧（中心面）绝热、另一侧具有第三类边界条件的情况，因此分析结果也适用于同样条件的平壁；(3)线算图只适用于Fo ≥0.2的情况;0,,r f Bi Fo R θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭2,hR a Bi Fo R τλ==18(4)对于圆柱体和球体在第三类边界条件下的一维非稳态导热问题，分别在柱坐标系和球坐标系下进行分析，也可以求得温度分布的分析解，解的形式也是快速收敛的无穷级数，并且是Bi 、Fo 和r/R 的函数,(5)当Fo ≥0.2时，圆柱和球体的一维非稳态导热过程也都进入正规状况阶段，分析解可以近似地取无穷级数的第一项，近似结果也被绘成了线算图。

（P 221）2.特殊多维非稳态导热问题的简易求解方法19(1)无限长方柱(2)短圆柱(3)垂直六面体9-4导热问题的数值解法基础20数值解法的基本思想:用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散点(称为节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的温度分布，将连续温度分布函数的求解问题转化为各节点温度值的求解问题，将导热微分方程的求解问题转化为节点温度代数方程的求解问题。

21数值解法的基本内容与步骤:（1）对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、合理的简化，建立符合实际的物理模型。

（2）根据物理模型建立完整的数学模型，即给出导热微分方程和单值性条件。

第(1)、(2)步是导热问题所有求解方法的基础。

（3）求解域离散化：用与坐标轴平行的网络线将所涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网络线的交点作为节点,每个节点就代表以它为中心的子区域（控制容积），节点温度就代表子区域的温度。

22（4）建立节点温度代数方程组；（5）求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温度值；（6）对计算结果进行分析，若不符合实际情况，则修正上述步骤，重复进行计算，直到结果满意为止。

目前求解导热问题常用的数值解法主要有：有限差分法、有限元法等。

其中有限差分法比较成熟，应用广泛。

下面主要介绍有限差分法的基本原理。

1.有限差分法的基本原理23以常物性、无内热源的二维稳态导热为例:用有限差分近似微分，用有限差商近似微商（导数）例如:∆x ≈d x ，,进而将导热偏微分方程转化为节点温度差分代数方程。

(1)求解域的离散化1)子区域的划分选择网格宽度∆x 、∆y （步长），划分子区域。

步长大小根据问题的需要而定。

2)节点的选择选择网线和网线及网线与物体边界的交点作为节点，标定节点位置，如(i,j)、(i+1,j )等。

24(2)节点温度差分方程的建立两种方法：泰勒级数展开法与控制容积热平衡法。

只介绍控制容积热平衡法。

控制容积热平衡法：根据节点所代表的控制容积在导热过程中的能量守恒来建立节点温度差分方程。

1)内部节点温度差分方程内部节点(i,j )所代表的控制容积在导热过程中的热平衡对于垂直于纸面方向单位宽度选择∆x=∆y25上式可整理为可见，物体内每一个节点温度都等于相邻4个节点温度的算术平均值。

2)边界节点温度差分方程对于具有第三类边界条件的边界节点(i,j )所代表的控制容积，根据其热平衡选择步长∆x=∆y ，将上式简化26令称为网格毕渥数。

上式可整理为第三类边界条件下的外拐角边界节点：第三类边界条件下的内拐角边界节点：27绝热边界节点：运用有限差分方法可以建立导热物体所有内部节点和边界节点温度的差分方程。

求解这些差分方程构成一个线性代数方程组就可以得节点温度的数值。

2.节点温度差分方程组的求解方法28线性代数方程组的求解方法有消元法、矩阵求逆法、迭代法等，这里仅简单介绍在导热的数值计算中常用的迭代法中的两种：(1)简单迭代法(2)高斯-塞德尔迭代法3.非稳态导热问题的数值解法29非稳态导热数值解法的特点：（1）非稳态导热微分方程多了非稳态项，因此单值性条件中增加了初始条件；（2）除了对空间域进行离散外，还需要对时间域进行离散；（3）利用热平衡法导出节点温度方程时需要考虑控制容积的热力学能随时间的变化；（4）由于时间和空间同时离散，在有些情况下空间步长和时间步长不能任意选择，否则会带来节点温度方程求解的稳定性问题。

30第九章小结（1）傅里叶定律表达式及其适用条件;重点掌握以下内容：（3）导热问题的数学描述（数学模型）;（2）物体导热系数的数值范围及特点;（4）平壁、圆筒壁、球壁及肋壁的一维稳态导热问题的分析求解;31（6）求解特殊非稳态导热问题的集总参数法；（7）了解导热问题数值解法的基本思想与步骤及有限差分法的基本原理。

（5）非稳态导热的特点、无限大平壁冷却或加热问题的分析求解方法、分析解的特点及其影响因素(Bi,Fo );。