第19章 解直角三角形第1课时 §19.1 测 量【教学目标】本节主要研究如何利用已学知识尤其是相似三角形的相关知识解决生活中某些测量问题。

【教学重点】探究和解决生活中的某些测量问题。

【教学难点】探究解决生活中的某些测量问题的方法。

【教学方法】探究法【教具准备】皮尺、测角仪 【教学过程】 一、问题引入1．测量操场旗杆有多高？如图19.1.1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度。

图19.1.12．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识。

二、试一试如图19.1.2所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC 为34°，并已知目高AD 为1米．现在请你按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A ′B ′C ′，用刻度直尺量出纸上B ′C ′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？（请你量一量、算一算。

）实际上，我们利用图19.1.2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及到直角三角图19.1.2形中的边角关系．直角三角形中，三条边有什么关系？它的边与角又有什么关系？这一切都是本章要探究的内容。

三、归纳小结：两种测量的方法：方法一：构造可以测量的与原三角形相似的小三角形，利用对应线段成比例的性质计算出所求线段的长；方法二：利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再利用比例尺计算出实际长度。

四、课堂练习1．在一次数学活动课上，老师让同学们到操场测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法。

小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图所示），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A到竹竿顶部E处恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高。

你认为这种测量方法是否可行？请说明理由。

2．请你与你的同学一起设计两种方案，测量你们学校楼房的高度。

五．课后作业P99（习题19.1）第2课时§19.2勾股定理（1）【教学目标】1.研究直角三角形的特殊性质：勾股定理；2．运用勾股定理进行简单的计算。

【教学重点】运用勾股定理进行简单的计算。

【教学难点】理解勾股定理。

【教学方法】探究法【教具准备】直尺、电脑、实物投影 【教学过程】 一、问题引入现在先让我们一起来看看，直角三角形的三条边之间有什么关系.1．观察图19.2.1三个正方形的面积之间的关系AC 2＋BC 2＝AB 22．AC 、BC 、AB 又恰好是Rt △ABC 的三条边。

这说明 。

二、试一试观察图19.2.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P 的面积＝______________平方厘米；正方形Q 的面积＝_______________平方厘米.正方形R 的面积＝______________平方厘米. 我们发现，正方形P 、Q 、R 的面积之间的关系是_________________________________由此，我们得出直角三角形ABC 的三边的长度之间存在关系______________________ 三、做一做在图19.2.3的方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为5cm 、12cm 的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立.四、勾股定理数学上可以说明：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有a 2+b 2=c 2这种关系我们称为勾股定理.勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.图19.2.1（每一小格代表1平方厘米） 图19.2.3（每一格表示1平方厘米）图19.2.2五、运用实例例1如图19.2.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB.（精确到0.01米）解在Rt△ABC中,∠ABC=90゜,BC=2.16,CA=5.41,根据勾股定理得222216.241.5-=-=BCACAB≈4.96（米）六、课堂练习①．P102：练习1～2②．补充：1．在Rt△ABC中，AB＝c,BC＝a，AC＝b, ∠A=90゜.(1) 已知a=15,b=12,求c；(2) 已知b=8,c=15,求a。

2．在Rt△ABC中，∠C=90゜，∠A=30゜，AB＝6，求：(1) △ABC的面积；(2) AB边上的高CD。

七、课后作业：P104（习题19.2）：1～3题第3课时§19.2勾股定理（2）【教学目标】运用勾股定理进行简单的计算。

【教学重点】运用勾股定理进行简单的计算。

【教学难点】理解勾股定理。

【教学方法】探究法【教具准备】直尺、电脑、实物投影【教学过程】一、复习提问1．复述勾股定理的内容2．在Rt△ABC中，AB＝c,BC＝a，AC＝b, ∠C=90゜.(1) 已知a=12,b=9,求c；(2) 已知b=8,c=17,求a。

3．在Rt△ABC中，∠C=90゜，∠A=30゜，AB＝6，求：图19.2.4(1) △ABC 的面积； (2) AB 边上的高CD 。

二、讲述新课 1． 试一试用你的方法说明勾股定理的正确性。

方法一：()22142ab a bc +-⋅=方法二：()22142b a a bc -+⋅=2．例题讲解例2 如图19.2.9，为了求出湖两岸的A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形.通过测量，得到AC 长160米，BC 长128米.问从点A 穿过湖到点B 有多远？解 在直角三角形ABC 中， AC ＝160，BC ＝128，根据勾股定理可得22BCACAB -=22128160-== 96（米）答：从点A 穿过湖到点B 有96米. 三、课堂练习1． P104：1、2图19.2.6图19.2.7图19.2.92．正方形的面积是23，它的对角线的平方是（ ）A ．43B ．49C ．169D ．233．等腰三角形底边上的高是8，周长是32，则三角形的面积为（ ） A ．32 B ．40 C ．48 D ．564．把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边（ ） A ．扩大到原来的2倍 B ．扩大到原来的4倍C ．不变D ．减小到原来的125．A 、B 两点在同一直角坐标系中的坐标分别为（2，2）和（5，-2），求A 、B 间的距离。

6．如右图，居民楼与马路是平行的，相距9米，在距离载重汽车41处就可受到噪音影响，试求在马路上以40km/h 速度行驶的载重汽车，给一楼的居民带来多长时间的噪音影响？四、课后作业P104（习题19.2）：4、5 第4课时 §19.3.1 锐角三角函数【教学目标】1．了解锐角三角函数的定义；2．初步掌握三角函数的性质；3．知道几种特殊角的三角函数值；4．掌握定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30゜，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

【教学重点】掌握几种特殊角的三角函数值和定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30゜，那么它所对的直角边等于斜边的一半”。

【教学难点】掌握三角函数的性质 【教学方法】探究法【教具准备】直尺、电脑、实物投影马路【教学过程】一．复习引入1．已知Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，∠A ＝∠A ′，问两个三角形的三组边是否成比例？2．观察图19.3.2中的Rt △AB 1C 1、Rt △AB 2C 2和Rt △AB 3C 3中，111ACC B ＝__________=__________111ABC B ＝__________=__________（可以使用几何画板演示）结论：当Rt △ABC 中，∠A 的大小不变时，三条边的比例也不变（即为一个固定值）。

二．讲述新课1．三角函数对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的.因此这几个比值都是锐角∠A 的函数，记作sin A 、cos A 、tan A 、cot A ，即sin A =斜边的对边A ∠, cos A =斜边的邻边A ∠,tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边的邻边A A ∠∠分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数. 2．锐角三角函数的特征与性质：（1）锐角三角函数的值都是正实数，并且0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1 （2）tan A •cot A =1（3）若∠A ＋∠B ＝90°，则sin A ＝cos B 、cos A ＝sin B 、tan A ＝cot B 、cot A ＝tan B 。

（4）补充：sin ta nc o s A A A=，c o s c o tsin A A A=（视情况定）（5）补充：已知锐角∠A ，则22sin c o s 1A A +=（视情况定）图19.3.2图19.3.13．例题讲解例1 求出图19.3.3所示的Rt △ABC 中∠A 的四个三角函数值.解 1728922==+=ACBCABsin A =178=AB BC cos A =1715=AB AC tan A =158=ACBC cot A =815=BCAC4．探索：sin30゜＝？5．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30゜，那么它所对的直角边等于斜边的一半.6．做一做：请填出空白处的值三．课堂练习P109（练习）：1～4 四．课后作业P111（习题19.3）：1～3第5课时 §19.3.2 用计算器求锐角三角函数值【教学目标】1．会使用计算器求锐角三角函数的值；2．会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角。

【教学重点】会使用计算器求锐角三角函数的值【教学难点】会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角 【教学方法】探究法【教具准备】计算器、电脑、实物投影 【教学过程】一．讲述新课1．如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角.（1） 求已知锐角的三角函数值.例2 求sin63゜52′41″的值.（精确到0.0001）图19.3.315解 先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：显示再按下列顺序依次按键：显示结果为0.897 859 012.所以 sin63゜52′41″≈0.8979例3 求cot70゜45′的值.（精确到0.0001）解 在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：显示结果为0.349 215 633.所以 cot70゜45′≈0.3492. （2） 由锐角三角函数值求锐角例4 已知tan x =0.7410,求锐角x .（精确到1′） 解 在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：显示结果为36.538 445 77. 再按键：显示结果为36゜32′18.4.所以，x ≈36゜32′.例5 已知cot x =0.1950,求锐角x .（精确到1′） 分析 根据tan x ＝xcot 1，可以求出tan x 的值，然后根据例4的方法就可以求出锐角x 的值.二．课堂练习 1．P111（练习）：1～2 2．P111（习题19.3）：4～53． 《黄冈新思维》P96：第二课时1～5题三．课后作业：《黄冈新思维》P97：第二课时6～10题第6课时 §19.4.1 解直角三角形（1）【教学目标】1．会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题； 2．会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题。