等腰三角形分类讨论综合1.理解等腰三角形的性质和判定定理；2.能用等腰三角形的判定定理进行相关计算和证明；3.初步体会等腰三角形中的分类讨论思想；4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三角形；5.培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。

知识结构【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学生回顾学过的等腰三角形的性质，可以在黑板上举例让学生画图；2再根据第2个图引导学生总结出题目中经常出现的一些等腰三角形的题型；3.和学生一起分析二次函数背景下等腰三角形的基本考点，为后面的例题讲解做好铺垫。

建议时间5分钟左右。

一．等腰三角形的性质：二．等腰三角形常见题型分类：三．函数背景下的等腰三角形的考点分析：1.求解相应函数的解析式；2.根据函数解析式求解某些特殊点的坐标；3.根据点的位置进行等腰三角形的讨论：分“指定腰长”和“不指定腰长”两大类；4.根据点的位置和形成的等腰三角形立等式求解。

【备注】：1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；Array 3.可以根据各题的“参考教法”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“教法指导”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。

例1.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AB =3，AC =4，AD 是BC 边上的高，点E 、F 分别是AB 边和AC 边上的动点，且∠EDF = 90°．（1）求DE ︰DF 的值；（2）设直线DF 与直线AB 相交于点G ，△EFG 能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE 的长；若不能，请说明理由。

（★★★★★）【参考教法】：一．你来找一下题目中由哪些不变的量或者是比较特殊的条件，试试看： 1.ABC ∆中B C ∠∠、的三角比是否能求解？你求求看。

提示：43cos cos 55B C ==，； 2.题目中有很多垂直，会得到很多角度角相等的，你找找。

提示：B DAC ∠=∠、BAD C ∠=∠、ADE FDC ∠=∠、BDE ADF ∠=∠。

3.题目中是否有相似三角形？找找看。

提示：AED DFC ∆∆∽、BDE ADF ∆∆∽等。

二．求:DE DF ，选择那些条件可以求解？你求一下吧！ 提示：用AED DFC ∆∆∽，在结合C ∠的三角比可求得。

三．当△EFG 为等腰三角形时：1.会得出什么特殊条件不？ 提示：两边相等，或者是两角相等；2.需不需要分类讨论？ 提示：题目中没有指定腰，应该需要；3.如需要分哪几种？提示：根据点G 的不同位置分两大类讨论： ①当点G 在射线AB 上时，如图1。

因为90FEG CAB AFE ∠=∠+∠o＞ 所以FEG ∠为钝角，则△EFG 为等腰三角形时，EG EF =；②当点G 在射线BA 上时，如图2。

因为90FEG CAB AEF ∠=∠+∠o ＞ 所以EFG ∠为钝角，则△EFG 为等腰三角形时，FG EF =； 3.怎么计算，你能自己先求解一下看看吗？4.通过本题的分析求解过程，你对等腰三角形讨论题型有点思路了没？ 【满分解答】：（1）∵∠BAC = 90° ∴∠B +∠C ＝90°，∵AD 是BC 边上的高 ∴∠DAC +∠C =90° ∴∠B =∠DAC 又∵∠EDF = 90°∴∠BDE +∠EDA =∠ADF +∠EDA = 90° ∴∠BDE =∠ADF例1题图 BC D E FA备用图1 B C D 备用图2 B C D A A∴△BED ∽△AFD ∴DE BDDF AD=∵3cot 4BD AB B AD AC === ∴DE ︰DF =34（2）若△EFG 为等腰三角形，根据点G 的不同位置分两大类讨论：CBC（图1） （图2）①当点G 在射线AB 上时，如图1。

因为90FEG CAB AFE ∠=∠+∠o＞ 所以FEG ∠为钝角，则△EFG 为等腰三角形时，EG EF = ∵EG EF =，ED DF ⊥ ∴D 为GF 中点则，在直角AGF ∆中，2425GF AD ==， 又∵=G EFG C ∠∠=∠∴cos =cos G C ∠∠，则45DG AG AC EG GF BC === 可求得96,325AG EG == 。

所以：5425BE =另解：由△EFG 为等腰三角形可得AED GBD ∆∆≌，所以BD DE =，再过点D 作BE 垂线，利用三角比可求得5425BE =。

②当点G 在射线BA 上时，如图2。

因为90FEG CAB AEF ∠=∠+∠o＞ 所以EFG ∠为钝角，则△EFG 为等腰三角形时，FG EF = ∵FG EF =，AF AE ⊥ ∴A 为EG 中点 ∴=AEG G ∠∠ 又∵=B FED ∠∠∴=BDE AEF ADF ∠∠=∠ ∴ADF G ∠=∠ ∴125AE AG AD === 所以：35BE =。

综上可得，当△EFG 为等腰三角形时，5425BE =或35BE =。

我来试一试！练习 1.如图1，在△ABC 中，ACB ∠=︒90，2AC BC ==，M 是边AC 的中点，CH BM ⊥于H 。

（★★★★★） （1）试求sin MCH ∠的值； （2）求证：ABM CAH ∠=∠；（3）若D 是边AB 上的点，且使△AHD 为等腰三角形，请求AD 的长。

【解法点拨】：1.寻找题目中的特殊条件和不变的量： ①M 是边AC 的中点； ②CH BM ⊥；③题目中的线段AB BM CH MH AH 、、、、都可求解（让学生自己计算）；⑤④⑥ 2.证明角度相等，回顾证明角度相等的方法后，知本题利用相似角简单，但题目中很多线段的长度都求解，因此利用两边成比例证明△AMH ∽△BMA 即可得ABM CAH ∠=∠； 3.当△AHD 为等腰三角形时，分三个情况讨论：①当AD DH =时：因为边长不能直接求出，则利用三角比求解，过点D 作DE AH ⊥，因为MAH ABM ∠=∠，则DAE CBM MCH ∠=∠=∠，所以cos cos DAE MCH ∠=∠； ②当AD AM =时：可直接得AD 的长；③当AM DM =时：因为边长不能直接求出，则利用三角比求解，过点H 作HQ AD ⊥，因为MAH ABM ∠=∠，则DAE CBM MCH ∠=∠=∠，所以cos cos DAE MCH ∠=∠。

4.注意利用好等腰三角形的性质：底边上三线合一；通常情况下用“画底边上的高+三角比求解”；5.注意便讲解边让学生计算求解，加强师生之间的互动性。

【满分解答】：（1）在△MBC 中，∠MCB =︒90，BC =2，又∵M 是边AC 的中点，∴AM =MC =21BC =1， ∴MB =52122=+，又CH ⊥BM 于H ，则∠MHC =︒90， ∴∠MCH =∠MBC ，∴sin ∠MCH =5CM BM =.（2）在△MHC 中，sin 5MH CM MCH =⋅∠=. ∴AM 2=MC 2=MB MH ⋅，即MAMBMH MA =， 又∵∠AMH =∠BMA ， ∴△AMH ∽△BMA ， ∴∠ABM =∠CAH .（3）由前两问可得：5AH =,cos 5MCH ∠=。

当△AHD 为等腰三角形时，分以下三个情况讨论：①当AD DH =时：如图1，过点D 作DE AH ⊥，因为MAH ABM ∠=∠，则DAE CBM MCH ∠=∠=∠，所以cos cos DAE MCH ∠=∠；所以：AE CHAD CM=::1AD =，所以2AD =；②当AD AM =时：如图2，可直接得AD =； ③当AM DM =时：如图3，过点H 作HQ AD ⊥，因为MAH ABM ∠=∠，则DAE CBM MCH ∠=∠=∠，所以cos cos DAE MCH ∠=∠所以：AQ CHAH CM=，即::155AQ =，所以25AD AQ ==； 综上可得，当△AHD 为等腰三角形时，AD 的长为5102、528、22。

CB选讲选练题例2.如图，在ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG ， 当BDG ∆是等腰三角形时，请直接写出AD 的长。

（★★★★★）【参考教法】：一．以提问式，和学生一起分析题目，先寻找题目中的已知条件或特殊条件： 1.题目中有哪些已知量？ 提示：从边、角归类寻找。

①边：6,5===BC AC AB ，BC DE ∥；②角:B C ∠=∠；2.题中有什么特殊的图形没？提示：ABC ∆等腰、正方形DEFG 。

3.你能求解一下题目中的其它线段吗？提示：设AD x =，让学生求解ABC ∆底边上的高，并用含x 的代数式表示DE 的长。

二．当BDG ∆是等腰三角形时：1.需要讨论吗？提示：需要，分两大情况讨论；2.怎么讨论？提示：当BDG ∆是等腰三角形时，根据点G 的位置分：点G 在ABC ∆内部和图1图2图3外面两大类讨论：（1）当点G 在ABC ∆内部时：因为90DGB ∠o＞，所以该情况下只可能DG BG =。

但该情况下不能直接求解出，则画底边上的高（点G 作GH AB ⊥）。

（如图1） 则：HDG QAB ∠=∠，所以cos cos HDG QAB ∠=∠； （2）当点G 在ABC ∆外面时：分以下情况讨论①当DB DG =时：直接利用相等计算，即655xx =-； ②当DB DG =时：（如图2）设BC 与DG 交点为M ，则可得：BM DG ⊥且点M 为DG中点；所以：cos cos HDG QAB ∠=∠； ③当DG BG =，不成立。

3.怎么计算？你会求解吗？提示：见上面求解，可让学生自己计算。

4.通过本题的分析求解后，你觉得等腰三角形的分类讨论题目还难吗？ 6.提示学生利用好三角比。

【满分解答】：过点A 作AQ BC ⊥，垂足为点Q 。

∵6,5===BC AC AB ，则34BQ AQ ==、，4cos 5QAB ∠=； 设AD x =，则5BD x =-，65DE DG x ==。