第十六章 二次根式.. 最简二次根式：① ； ② ； ③ . . . . ；文字语言： . ； 文字语言： . . ..①分母形如的二次根式.给分子、分母同时乘以 ；②分母形如.给分子、分母同时乘以 .2的区别与联系：例一：下列各式一定是二次根式的是（）分析：判定一个代数式是否是二次根式，要看该式子是否同时具备两个要素：（1）含有二次根号；（2）被开方数是非负数.对应训练：1.下列各式中，一定是二次根式的是（）A专题二：二次根式有意义的条件对于非负数x,如果有x2=a，那么x就是a的算术平方根，也是a在这里a是x的平方数，它的值是一个正数或零（因为任何数的平方都不可能是负数）.由此得出：只有当a≥0时，.（1a≥0a<0.（2）从具体的情况总结，如下：a≥0； a≥0,n+有意义的条件： b≥0,…n≥0；a>0；1b有意义的条件：a≥0且b≠0；有意义的条件：a≥0且b>0.例二：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1；（2（3；（4；（5（6分析：对于含有二次根式和分式的式子，求其有意义的条件时：首先找出二次根式的被开方数，根据二次根式的被开方数为非负数列不等式，其次找分式的分母，根据分母不为0，列出所需的不等式，将这些不等式组成不等式组，不等式组的解集就是字母的取值范围.解：（1）13103x x-≥≥当，即.（4）32301012x x x x+≥+>≥->-当，且，即且.对应训练：1.x的取值范围是（）A、x>3B、x≥3C、 x>4 D 、x≥3且x≠42.x的取值范围是 .3.有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限例三：若y=++2009，则x+y=分析：式子（a ≥0）， ，y=2009，则x+y=2014对应训练：1.，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2.若x 、y 都是实数，且4，求xy 的值3.当a 1取值最小，并求出这个最小值.专题四：二次根式的整数部分与小数部分例四：已知a b 是12a b ++的值. 分析：因为23<<2，即a=2；其小数部分等于此数本身减去其整数部分，即对应训练：1.若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
2.若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求21x y+的值.专题五：二次根式的双重非负性例五：若22(4)0a c -+-=则a b c -+ ．分析：因为绝对值，二次根式，平方数都是非负数，且三个非负数的和为0，那么就只有一种情况：三者均为0.对应训练：1.若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 .2.已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 13.已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿.4、若1a b -+2005()_____a b -=.专题六：二次根式的性质的运用（公式2(0)a a =≥的运用）5-x x -5a 50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩5x =2()x y =+例六：化简：21a -+的结果为（ ） A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4分析：根据2(0)a a =≥的意义，可以发现，此式子成立的前提是被开方数大于等于0，即是只要出现这个式子，那意味着被开方数是非负数,此条件是隐含条件即解题的突破口.即30,3a a -≥≥，则10a -≥，绝对值内为非负数则直接去掉绝对值符号，即211324a a a a -+=-+-=-.对应训练：1.计算：（1）2(______-=；（2）2______=；（3）2______-=.2.化简：22________a -+=.专题七：二次根式的性质的运用（公式⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2的应用）例七：已知2x <, ）A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -分析： 然后根据2x <，⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2（2x -）=2x -. 对应训练：1.( )A ．-3B ．3或-3C ．3D ．92.已知a<02a │可化简为（ ）A ．－aB ．aC ．－3aD ．3a3.若23a <<等于（ ）A. 52a -B. 12a -C. 25a -D. 21a -4.若a －3＜04a -的结果是（ ） (A) －1 (B) 1 (C) 2a －7 (D) 7－2a5.2得（ ）（A ） 2 （B ）44x -+ （C ）－2 （D ）44x -6.当a ＜l 且a ≠0＝ ．7.如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │的结果等于（ ）A ．－2bB ．2bC ．－2aD ．2a8.实数a 在数轴上的位置如图所示：化简：1______a -=．ob a专题八：最简二次根式和同类二次根式例八(1)：在根式1，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)分析：掌握最简二次根式的三个条件.对应训练：中的最简二次根式是 .2.下列根式中，不是最简二次根式的是（）A．B．C．D．3.下列根式不是最简二次根式的是( )4.把下列各式化为最简二次根式：(1)例八(2):( )分析：（1）观察是否是二次根式；（2）是否化为最简；（3）被开方数是否相同.对应训练：1.下列各组根式中，是可以合并的根式是（）3.能够合并为一个二次根式, 则a=__________.专题九：二次根式计算——分母有理化（1）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：a=别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a+与a，，（3）分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.例九（1）：把下列各式分母有理化（1（2（3（4）分析：（1）先化简在分母有理化；（2）先分母有理化在化简.解：（11233=====；484848124848=====.731221.将下列各式分母有理化：（1（2（3） （4）例九（2）：把下列各式分母有理化：（1 （2（3对应训练:1.已知x =y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+2.把下列各式分母有理化：（1)a b≠ （2（3小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①与； ②与；③与； ④与．专题十：二次根式比较大小（1）根式变形法：当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<（2）平方法：当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <. （3）分母有理化法:通过分母有理化，利用分子的大小来比较. （4）分子有理化法:通过分子有理化，利用分母的大小来比较. （5）倒数法（6）媒介传递法:适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较. （7）作差比较法:在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0a b a b ->⇔>；②0a b a b -<⇔< （8）求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①1a a b b >⇔>； ②1aa b b<⇔<.例十：比较的大小。
分析：选择适当的方法1.的大小. 2..3.. 4.33的大小.专题十一：二次根式的计算（加、减、乘、除及混合运算）例十一：1.化简0,0x y≥≥)1.1.计算（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）2.化简：)0,0(≥>ba)0,0(>≥yx)0,0(>≥yx2.1.计算：（43.计算（1）；（2）⎛-⎝；（3 （4）+（5）（6a b +-（73a （8）⎝4.计算：（1(÷（2） 22 (212 +418－348 )（3（16（4）376-（5） （6）2(3(4+-（7）10115)5) （8）1(102(0)3m m >5．已知：，求的值．。