素养提升微突破06 机械能守恒定律及其应用——建立能量间的转化概念机械能守恒定律能量观念和守恒思维在守恒定律中得到了充分体现，分析综合及模型构建是解决守能定律在实际生活应用中的重要手段。
机械能守恒定律应用时要明确只有重力和弹簧弹力做功并不是只受重力和弹簧弹力，可能受其他力，其他力不做功或做功代数和为零。
【2019·浙江选考】如图所示为某一游戏的局部简化示意图。
D 为弹射装置，AB 是长为21 m 的水平轨道，倾斜直轨道BC 固定在竖直放置的半径为R =10 m 的圆形支架上，B 为圆形的最低点，轨道AB 与BC 平滑连接，且在同一竖直平面内。
某次游戏中，无动力小车在弹射装置D 的作用下，以v 0=10 m/s 的速度滑上轨道AB ，并恰好能冲到轨道BC 的最高点。
已知小车在轨道AB 上受到的摩擦力为其重量的0.2倍，轨道BC 光滑，则小车从A 到C 的运动时间是A ．5 sB ．4.8 sC ．4.4 sD ．3 s【答案】A【解析】设小车的质量为m ，小车在AB 段所匀减速直线运动，加速度10.20.2f mga g m m===22m/s =，在AB 段，根据动能定理可得2201122AB B fx mv mv -=-，解得4m/s B v =，故1104s 3s 2t -==；小车在BC 段，根据机械能守恒可得212B CD mv mgh =，解得0.8m CD h =，过圆形支架的圆心O 点作BC的垂线，根据几何知识可得12BC BC CDxRx h=，解得4mBCx=，1sin5CDBChxθ==，故小车在BC上运动的加速度为22sin2m/sa gθ==，故小车在BC段的运动时间为224s2s2Bvta===，所以小车运动的总时间为125st t t=+=，A正确。
【素养解读】本题考查动能定理、机械能守恒定律、数学知识的综合应用等。
能量观念和综合分析思维能力在本题中得到充分体现。
一、单个物体的机械能守恒单个物体的机械能守恒往往会与平抛运动、圆周运动、人造卫星等结合到一起，构成综合性问题。
求解这类问题时除了掌握机械能守恒的条件、规律外，还应熟练掌握这几种运动的特点和规律。
应用机械能守恒定律的一般步骤【典例1】【2019·贵州七校高三联考】如图所示，水平传送带的右端与竖直面内用内壁光滑钢管弯成的“9”形固定轨道相接，钢管内径很小。
传送带的运行速率为v0＝6 m/s，将质量m＝1.0 kg的可视为质点的滑块无初速度地放在传送带A 端，传送带长L ＝12.0 m ，“9”形轨道高H ＝0.8 m ，“9”形轨道上半部分圆弧半径为R ＝0.2 m ，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.3，重力加速度g ＝10 m/s 2，求：(1)滑块从传送带A 端运动到B 端所需要的时间；(2)滑块滑到“9形”轨道最高点C 时受到“9形”轨道的作用力大小；(3)若滑块从“9”形轨道D 点水平抛出后，恰好垂直撞在倾角 θ＝45°的斜面上P 点，求P 、D 两点间的竖直高度。
【答案】(1)3 s (2)90 N (3)1.4 m【解析】(1)滑块在传送带上运动时，由牛顿第二定律得：μmg ＝ma解得：a ＝μg ＝3 m/s 2滑块加速到与传送带达到共速所需要的时间： t 1＝v 0a＝2 s0～2 s 内滑块的位移：x 1＝12at 12＝6 m之后滑块做匀速运动的位移：x 2＝L －x 1＝6 m 滑块匀速运动的时间：t 2＝x 2v 0＝1 s故滑块从传送带A 端运动到B 端所需时间： t ＝t 1＋t 2＝3 s 。
(2)滑块由B 运动到C ，由机械能守恒定律得： 12mv C 2＋mgH ＝12mv 02 在C 点，“9形”轨道对滑块的弹力与其受到的重力的合力提供做圆周运动的向心力，设“9形”轨道对滑块的弹力方向竖直向下，由牛顿第二定律得：F N ＋mg ＝m v C 2R解得：F N ＝90 N 。
(3)滑块由B 到D 运动的过程中，由机械能守恒定律得： 12mv 02＝12mv D2＋mg (H －2R ) 设P 、D 两点间的竖直高度为h ，滑块由D 到P 运动的过程中，由机械能守恒定律得： 12mv P 2＝12mv D 2＋mgh 又v D ＝v P sin 45° 解得：h ＝1.4 m 。
【素养解读】本题考查了单个物体的多个运动过程，综合考查了牛顿第二定律、机械能守恒定律、圆周运动的规律。
学会把复杂问题简单化，正确进行受力分析，建立方程求解。
二、多个物体的机械能守恒对多个物体组成系统的机械能守恒问题，解题的关键是正确判断系统是否符合机械能守恒的条件。
尤其是对于含有弹簧的系统，一定不要遗漏弹簧的弹性势能。
【典例2】如图所示，左侧竖直墙面上固定半径为R ＝0.3 m 的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与半圆环的圆心O 等高处固定一光滑直杆。
质量为m a ＝100 g 的小球a 套在半圆环上，质量为m b ＝36 g 的滑块b 套在直杆上，二者之间用长为l ＝0.4 m 的轻杆通过两铰链连接。
现将a 从半圆环的最高处由静止释放，使a 沿半圆环自由下滑，不计一切摩擦，a 、b 均视为质点，重力加速度g ＝10 m/s 2。
求：(1)a 滑到与圆心O 等高的P 点时的向心力大小；(2)a 从P 点下滑至杆与半圆环相切的Q 点的过程中，杆对b 做的功。
【答案】(1)2 N (2)0.194 4 J【解析】(1)当a 滑到与O 等高的P 点时，a 的速度v 沿半圆环切线向下，b 的速度为零，由机械能守恒定律可得：m a gR ＝12m a v 2解得v ＝2gR对a 受力分析，由牛顿第二定律可得： F ＝m a v 2R＝2m a g ＝2 N 。
(2)杆与半圆环相切时，如图所示，此时a 的速度沿杆方向，设此时b 的速度为v b ， 则知v a ＝v b cos θ 由几何关系可得： cos θ＝ll 2＋R 2＝0.8a 从P 到Q 下降的高度h ＝R cos θ＝0.24 m a 、b 及杆组成的系统机械能守恒： m a gh ＝12m a v a 2＋12m b v b 2－12m a v 2对b ，由动能定理得：W ＝12m b v b 2＝0.194 4 J 。
【素养解读】本题考查多个物体构成的系统机械能守恒，要善于灵活运用整体法和隔离法分析物体的状态，特别是区别系统的内力和外力，体现了能量的观念。
三、用机械能守恒定律解决非质点问题非质点运动问题一直是高考考查的难点问题，学生在解答这类问题时常常出错，原因是不能正确找到物体的“质心”，从而不能正确判断物体重力势能的变化情况或重力做功情况。
【典例3】如图所示，AB 为光滑的水平面，BC 是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。
AB 、BC 间用一小段光滑圆弧轨道相连。
一条长为L 的均匀柔软链条开始时静置在ABC 面上，其一端D 至B 的距离为L －a 。
现自由释放链条，则：(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由； (2)链条的D 端滑到B 点时，链条的速率为多大？ 【答案】(1)机械能守恒，理由见解析 (2)g L(L 2－a 2)sin α 【解析】(1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC 和水平面AB 均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件。
(2)设链条质量为m ，可以认为始、末状态的重力势能变化是由L －a 段下降引起的，如图所示。
该部分高度减少量h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋L －a 2sin α＝L ＋a 2sin α该部分的质量为m ′＝mL (L －a )由机械能守恒定律可得m ′gh ＝12mv 2，解得v ＝g L(L 2－a 2)sin α。
【素养解读】本题主要考查局部与整体的关联问题，分析运动过程中“质心”的实际变化高度，化繁为简，考查物理学的等效思维。
【规律方法】(1)寻找物体状态变化的等效长度，如本题中的“L －a ”，可以快速准确的解决非质点问题。
(2)重力势能的变化或重力做功利用等效长度来表示，但动能的表达式一般要针对整体。
(3)机械能守恒定律解决非质点问题，犹如整体隔离法解决动力学问题。
1．一小球以一定的初速度v 0从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，轨道1的半径为R ，轨道2的半径是轨道1的1.8 倍，小球的质量为m ，若小球恰好能通过轨道2的最高点B ，则小球在轨道1上经过其最高点A 时对轨道的压力为A ．2mgB ．3mgC ．4mgD ．5mg2．如图，在竖直平面内有由14圆弧AB 和12圆弧BC 组成的光滑固定轨道，两者在最低点B 平滑连接。
AB 弧的半径为R ，BC 弧的半径为R 2。
一小球在A 点正上方与A 相距R4处由静止开始自由下落，经A 点沿圆弧轨道运动。
(1)求小球在B 、A 两点的动能之比；(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C 点。
3．(多选)如图，滑块a 、b 的质量均为m ，a 套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h ，b 放在地面上。
a 、b 通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。
不计摩擦，a 、b 可视为质点，重力加速度大小为g 。
则A ．a 落地前，轻杆对b 一直做正功B ．a 落地时速度大小为2ghC ．a 下落过程中，其加速度大小始终不大于gD．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg4．如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平地面上。
现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。
已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。
开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。
求：(1)斜面的倾角α；(2)A获得的最大速度v m。
5．如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为A. 18gh B.16gh C.14gh D.12gh6．如图所示，露天娱乐场空中列车由许多节完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为L(L＞2πR)，R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆形轨道前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆形轨道(车厢间的距离不计)。
1．C 小球恰好能通过轨道2的最高点B ，有mg ＝mv B 21.8R ，小球在轨道1上经过其最高点A 时，有F ＋mg ＝mv A 2R ，根据机械能守恒定律，有1.6mgR ＝12mv A 2－12mv B 2，解得F ＝4mg ，由牛顿第三定律可知，小球在轨道1上经过其最高点A 时对轨道的压力为4mg ，C 项正确。