微型专题6 机械能守恒定律的应用知识目标核心素养1.进一步理解机械能守恒的条件及其判定.2.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达方式.3.在多个物体组成的系统中，会应用机械能守恒定律解决相关问题.4.明确机械能守恒定律和动能定理的区别.1.进一步掌握机械能守恒定律的系统性和守恒条件的判定.2.体会动能定理和机械能守恒定律在解题中的区别，体会机械能守恒定律在解决多物体系统问题中的优越性，建构此类问题模型，培养科学推理和综合分析能力.一、机械能是否守恒的判断判断机械能是否守恒的方法：(1)做功条件分析法：若物体系统内只有重力和弹力做功，其他力均不做功，则系统机械能守恒，具体有三种表现：①只受重力、弹力，不受其他力；②除受重力、弹力外还受其他力，其他力不做功；③除重力、弹力外还有其他力做功，但其他力做功的代数和为零．(2)能量转化分析法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加)，则系统的机械能守恒．例1(多选)如图1所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是( )图1A．斜劈对小球的弹力不做功B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒C．斜劈的机械能守恒D．小球机械能的减少量等于斜劈动能的增加量答案BD解析小球有竖直方向的位移，所以斜劈对小球的弹力对球做负功，故A选项错误；小球对斜劈的弹力对斜劈做正功，所以斜劈的机械能增加，故C选项错误．不计一切摩擦，小球下滑过程中，小球和斜劈组成的系统中只有动能和重力势能相互转化，系统机械能守恒，故B、D选项正确．二、多物体组成的系统机械能守恒问题1．多个物体组成的系统，就单个物体而言，机械能一般不守恒，但就系统而言机械能往往是守恒的．2．关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．3．机械能守恒定律表达式的选取技巧(1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式E k1＋E p1＝E k2＋E p2或ΔE k＝－ΔE p来求解．(2)当研究对象为两个物体组成的系统时：①若两个物体的重力势能都在减少(或增加)，动能都在增加(或减少)，可优先考虑应用表达式ΔE k＝－ΔE p来求解．②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔE A增＝ΔE B减来求解．例2如图2所示，斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，高为H，斜面顶点上有一定滑轮，物块A 和B 的质量分别为m 1和m 2，通过轻而柔软的细绳连接并跨过定滑轮．开始时两物块都位于与地面距离为12H 的位置上，释放两物块后，A 沿斜面无摩擦地上滑，B 沿斜面的竖直边下落．若物块A 恰好能达到斜面的顶点，试求m 1和m 2的比值．滑轮的质量、半径和摩擦均可忽略不计．图2答案 1∶2解析 设B 刚下落到地面时速度为v ，由系统机械能守恒得：m 2g H 2－m 1g H 2sin 30°＝12(m 1＋m 2)v 2①A 以速度v 上滑到顶点过程中机械能守恒，则：12m 1v 2＝m 1g H2sin 30°，② 由①②得m 1m 2＝1∶2.针对训练 如图3所示，在长为L 的轻杆中点A 和端点B 各固定一质量为m 的球，杆可绕轴O 无摩擦的转动，使杆从水平位置无初速度释放．求当杆转到竖直位置时，杆对A 、B 两球分别做了多少功？图3答案 －15mgL 15mgL解析 设当杆转到竖直位置时，A 球和B 球的速度分别为v A 和v B .如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，因为机械能没有转化为其他形式的能，故系统机械能守恒，可得：mgL ＋12mgL＝12mv A 2＋12mv B 2① 因A 球与B 球在各个时刻对应的角速度相同， 故v B ＝2v A ②联立①②得：v A ＝3gL5，v B ＝12gL5. 根据动能定理，对A 有：W A ＋mg ·L 2＝12mv A 2－0，解得W A ＝－15mgL .对B 有：W B ＋mgL ＝12mv B 2－0，解得W B ＝15mgL .三、机械能守恒定律与动能定理的综合应用例3 为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为l ＝2 m 的粗糙倾斜轨道AB ，通过水平轨道BC 与半径为R ＝0.2 m 的竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE ，整个轨道除AB 段以外都是光滑的．其中AB 与BC 轨道以微小圆弧相接，如图4所示．一个质量m ＝1 kg 的小物块以初速度v 0＝5 m/s 从A 点沿倾斜轨道滑下，小物块到达C 点时速度v C ＝4 m/s.取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.图4(1)求小物块到达C 点时对圆轨道压力的大小； (2)求小物块从A 到B 运动过程中摩擦力所做的功；(3)为了使小物块不离开轨道，并从轨道DE 滑出，求竖直圆弧轨道的半径应满足什么条件？ 答案 (1)90 N (2)－16.5 J (3)R ≤0.32 m解析 (1)设小物块到达C 点时受到的支持力大小为F N ，根据牛顿第二定律有，F N －mg ＝m v C 2R解得：F N ＝90 N根据牛顿第三定律得，小物块对圆轨道压力的大小为90 N (2)小物块从A 到C 的过程中，根据动能定理有：mgl sin 37°＋W f ＝12mv C 2－12mv 02解得W f ＝－16.5 J(3)设小物块进入圆轨道到达最高点时速度大小为v 1， 为使小物块能通过圆弧轨道的最高点，则v1≥gR小物块从圆轨道最低点到最高点的过程中，根据机械能守恒定律有：1 2mv C2＝12mv12＋2mgR，当v1＝gR时，联立解得R＝0.32 m，所以为使小物块能通过圆弧轨道的最高点，竖直圆弧轨道的半径应满足R≤0.32 m.1．(机械能是否守恒的判断)(多选)如图5所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上．其正上方A位置有一只小球．小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零．对于小球下降阶段，下列说法中正确的是(不计空气阻力)( )图5A．在B位置小球动能最大B．在C位置小球动能最大C．从A→C位置小球重力势能的减少等于小球动能的增加D．整个过程中小球和弹簧组成的系统机械能守恒答案BD解析小球从B运动至C过程，重力大于弹力，合力向下，小球加速，从C运动到D，重力小于弹力，合力向上，小球减速，故在C点动能最大，故A错误，B正确．小球下降过程中，只有重力和弹簧弹力做功，小球和弹簧系统机械能守恒，D正确；从A→C位置小球重力势能的减少量等于动能增加量和弹性势能增加量之和，故C错误．2．(多物体组成的系统机械能守恒问题)(多选)如图6所示，a、b两物块质量分别为m、3m，用不计质量的细绳相连接，悬挂在定滑轮的两侧．开始时，a、b两物块距离地面高度相同，用手托住物块b，然后由静止释放，直至a、b物块间高度差为h，不计滑轮质量和一切摩擦，重力加速度为g.在此过程中，下列说法正确的是( )图6A ．物块a 的机械能守恒B ．物块b 的机械能减少了23mghC ．物块b 机械能的减少量等于物块a 机械能的增加量D ．物块a 、b 与地球组成的系统机械能守恒 答案 CD解析 释放b 后物块a 加速上升，动能和重力势能均增加，故机械能增加，选项A 错误．对物块a 、b 与地球组成的系统，只有重力做功，故机械能守恒，选项D 正确．物块a 、b 构成的系统机械能守恒，有(3m )g h 2－mg h 2＝12mv 2＋12(3m )v 2，解得v ＝gh2；物块b 动能增加量为12(3m )v 2＝34mgh ，重力势能减少32mgh ，故机械能减少32mgh －34mgh ＝34mgh ，选项B 错误．由于绳的拉力对a 做的功与b 克服绳的拉力做的功相等，故物块b 机械能的减少量等于物块a 机械能的增加量，选项C 正确．3．(机械能守恒定律与动能定理的综合应用)如图7所示，一内壁光滑的细管弯成半径为R ＝0.4 m 的半圆形轨道CD ，竖直放置，其内径略大于小球的直径，水平轨道与半圆形轨道在C 处连接完好．置于水平轨道上的弹簧左端与竖直墙壁相连，B 处为弹簧原长状态的右端．将一个质量为m ＝0.8 kg 的小球放在弹簧的右侧后，用力水平向左推小球压缩弹簧至A 处，然后将小球由静止释放，小球运动到C 处时对轨道的压力大小为F 1＝58 N ．水平轨道以B 处为界，左侧AB 段长为x ＝0.3 m ，与小球间的动摩擦因数为μ＝0.5，右侧BC 段光滑．g ＝10 m/s 2，求：图7(1)弹簧在压缩时所储存的弹性势能；(2)小球运动到轨道最高处D 点时对轨道的压力．答案 (1)11.2 J (2)10 N ，方向竖直向上解析 (1)对小球在C 处，由牛顿第二定律、牛顿第三定律及向心力公式得F 1－mg ＝m v C 2R，解得v C ＝5 m/s.从A 到B 由动能定理得E p －μmgx ＝12mv C 2，解得E p ＝11.2 J.(2)从C 到D ，由机械能守恒定律得： 12mv C 2＝2mgR ＋12mv D 2， v D ＝3 m/s ，由于v D ＞gR ＝2 m/s ，所以小球在D 点对轨道外壁有压力．小球在D 点，由牛顿第二定律及向心力公式得F 2＋mg ＝m v D 2R，解得F 2＝10 N.由牛顿第三定律可知，小球在D 点对轨道的压力大小为10 N ，方向竖直向上．一、选择题1.如图1所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O 点，另一端系一小球．给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动．在此过程中( )图1A ．小球的机械能守恒B ．重力对小球不做功C ．轻绳的张力对小球不做功D ．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少量 答案 C解析 斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力、轻绳张力的作用，由于除重力做功外，支持力和轻绳张力总是与运动方向垂直，故不做功，摩擦力做负功，机械能减少，A 、B 错，C 对；小球动能的变化量等于合外力对其做的功，即重力与摩擦力做功的代数和，D 错．2.如图2所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m 的小球A ，若将小球A 从弹簧原长位置由静止释放，小球A 能够下降的最大高度为h ，若将小球A 换为质量为2m 的小球B ，仍从弹簧原长位置由静止释放，则小球B 下降h 时的速度大小为(重力加速度为g ，不计空气阻力)( )图2A.2ghB.ghC.gh2D ．0答案 B解析 小球A 由静止释放到下降h 的过程中系统机械能守恒，则mgh ＝E p .小球B 由静止释放到下降h 的过程中系统机械能也守恒，则2mgh ＝E p ＋12(2m )v 2，解得v ＝gh ，故B 正确．3.如图3所示的滑轮光滑轻质，空气阻力不计，M 1＝2 kg ，M 2＝1 kg ，M 1离地高度为H ＝0.5 m ，g ＝10 m/s 2.M 1与M 2从静止开始释放，M 1由静止下落0.3 m 时的速度为( )图3A. 2 m/s B ．3 m/s C ．2 m/s D ．1 m/s 答案 A解析 对系统运用机械能守恒定律得，(M 1－M 2)gh ＝12(M 1＋M 2)v 2，代入数据解得v ＝ 2 m/s ，故A 正确，B 、C 、D 错误．4.如图4所示，小物体A 和B 通过轻质弹簧和轻绳跨过光滑定滑轮连接，初状态在外力控制下系统保持静止，轻弹簧处于原长，且轻弹簧上端离滑轮足够远，A 离地面足够高，物体A 和B 同时从静止释放，释放后短时间内B 能保持静止，A 下落h 高度时，B 开始沿斜面上滑，则下列说法中正确的是( )图4A ．B 滑动之前，A 机械能守恒 B ．B 滑动之前，A 机械能减小C ．B 滑动之前，A 、B 组成的系统机械能守恒D ．B 滑动之后，A 、B 组成的系统机械能守恒 答案 B解析 B 滑动之前，A 下落时，绳子的拉力对A 做负功，A 的机械能不守恒，由功能关系知，A 的机械能减小，故A 错误，B 正确；B 滑动之前，A 的机械能减小，B 的机械能不变，则A 、B 组成的系统机械能减小，故C 错误；B 滑动之后，A 、B 及弹簧组成的系统机械能守恒，则A 、B 组成的系统机械能不守恒，故D 错误．5.(多选)如图5所示，一质量为m 的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O 点处．将小球拉至A 处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O 点正下方B 点速度为v ，AB 间的竖直高度差为h ，则( )图5A ．由A 到B 重力做的功等于mgh B ．由A 到B 重力势能减少12mv 2C ．由A 到B 小球克服弹力做功为mghD ．小球到达位置B 时弹簧的弹性势能为mgh －mv 22答案 AD解析 重力做功只和高度差有关，故由A 到B 重力做的功等于mgh ，选项A 正确；由A 到B 重力势能减少mgh ，选项B 错误；由A 到B 小球克服弹力做功为W ＝mgh －12mv 2，选项C 错误，D 正确．6.(多选)内壁光滑的环形凹槽半径为R ，固定在竖直平面内，一根长度为2R 的轻杆，一端固定有质量为m 的小球甲，另一端固定有质量为2m 的小球乙．现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图6所示，由静止释放后( )图6A ．下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能B ．下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能C ．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点D ．杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点 答案 AD解析 环形凹槽光滑，甲、乙组成的系统在运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒，下滑过程中甲减少的机械能总是等于乙增加的机械能，甲、乙系统减少的重力势能等于系统增加的动能；甲减少的重力势能等于乙增加的势能与甲、乙增加的动能之和；由于乙的质量较大，系统的重心偏向乙一端，由机械能守恒，知甲不可能滑到凹槽的最低点，杆从右向左滑回时乙一定会回到凹槽的最低点．7.(多选)如图7所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁．现让一小球自左端槽口A 点的正上方由静止开始下落，从A 点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )图7A ．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功B ．小球从A 点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒C ．小球从A 点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒D ．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒答案 BC二、非选择题8.(机械能守恒定律的应用)一半径为R 的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的A 、B 两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A 球质量为B 球质量的2倍，现将A 球从圆柱边缘处由静止释放，如图8所示．已知A 球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：A 球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小．图8答案 22－25gR 解析 设A 球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小为v ，B 球的质量为m ，则根据机械能守恒定律有2mgR －2mgR ＝12×2mv 2＋12mv B 2，由图可知，A 球的速度v 与B 球速度v B 的关系为v B ＝v 1＝v cos 45°，联立解得v ＝22－25gR .9．(机械能守恒定律的应用)如图9所示，半径为R 的光滑半圆弧轨道与高为10R 的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD 相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡．在水平轨道上，轻质弹簧被a 、b 两小球挤压但不与球连接，处于静止状态．同时释放两个小球，a 球恰好能通过圆弧轨道的最高点A ，b 球恰好能到达斜轨道的最高点B .已知a 球质量为m 1，b 球质量为m 2，重力加速度为g .求：图9 (1)a 球离开弹簧时的速度大小v a ；(2)b 球离开弹簧时的速度大小v b ；(3)释放小球前弹簧的弹性势能E p .答案 (1)5gR (2)25gR (3)(52m 1＋10m 2)gR 解析 (1)由a 球恰好能到达A 点知：m 1g ＝m 1v A 2R由机械能守恒定律得：12m 1v a 2－12m 1v A 2＝m 1g ·2R 解得v a ＝5gR .(2)对于b 球由机械能守恒定律得：12m 2v b 2 ＝m 2g ·10R 解得v b ＝20gR ＝25gR .(3)由机械能守恒定律得：E p ＝12m 1v a 2＋12m 2v b 2 解得E p ＝(52m 1＋10m 2)gR . 10．(机械能守恒定律的应用)物块A 的质量为m ＝2 kg ，物块与坡道间的动摩擦因数为μ＝0.6，水平面光滑．坡道顶端距水平面高度为h ＝1 m ，倾角为θ＝37°.物块从坡道进入水平滑道时，在底端O 点处无机械能损失，将轻弹簧的一端固定在水平滑道M 处，另一自由端恰位于坡道的底端O 点，如图10所示．物块A 从坡顶由静止滑下，重力加速度为g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：图10(1)物块滑到O 点时的速度大小；(2)弹簧为最大压缩量时的弹性势能；(3)物块A 被弹回到坡道后上升的最大高度．答案 (1)2 m/s (2)4 J (3)19m 解析 (1)由动能定理得mgh －μmgh tan θ＝12mv 2 代入数据解得v ＝2 m/s(2)在水平滑道上，由机械能守恒定律得12mv 2＝E p 代入数据解得E p ＝4 J(3)设物块A 能够上升的最大高度为h 1，物块被弹回过程中由动能定理得0－12mv 2＝－mgh 1－μmgh 1tan θ代入数据解得h 1＝19m.。