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知识讲解_简单的逻辑联结词

1简单的逻辑联结词编稿:张希勇审稿:李霞【学习目标】1. 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义;2.会用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结两个命题或改写某些数学命题,并判断命题的真假.【要点梳理】要点一、逻辑联结词“且”般地,用逻辑联结词“且”把命题P和q联结起来得到一个新命题,记作: P A q,读作:“ P且q ”。

规定:当P , q两命题有一个命题是假命题时,pAq是假命题;当P , q两命题都是真命题时,P八q是真命题。

要点诠释:P八q的真假判定的理解:(1)与物理中的电路类比我们可以从串联电路理解联结词“且”的含义。

若开关P, q的闭合与断开分别对应命题P, q的真与假,则整个电路的接通与断开分别对应命题pA q的真与假。

(2)与集合中的交集类比交集AnB={x|x迂AaX迂B}中的“且”与逻辑联结词的“且”含义一样,理解时可参考交集的概念。

要点二、逻辑联结词“或”般地,用逻辑联结词“或”把命题P和q联结起来得到一个新命题,记作:pvq ,读作:“ P或q ”。

规定:当P , q两命题有一个命题是真命题时,pvq是真命题;当P , q两命题都是假命题时,pvq是假命题。

要点诠释:pvq的真假判定的理解:(1)与物理中的电路类比我们可以从并联电路理解联结词“或”的含义。

若开关P,q的闭合与断开对应命题的真与假,则整个电路的接通与断开分别对应命题的pV q的真与假。

(2)与集合中的并集类比并集AUB={X|X迂A或X迂B}中的“或”与逻辑联结词的“或”含义一样,理解时可参考并集的概念。

(3)“或”有三层含义,以“ P或q”为例:①P成立且q不成立;②P不成立但q成立;③P成立且q也成立。

要点三、逻辑联结词“非”般地,对一个命题P全盘否定得到一个新命题,记作:「P,读作:“非P或P的否定”。

规定:当P是真命题时,「P必定是假命题; 当P是假命题时,「P必定是真命题。

要点诠释:(1)逻辑联结词中的“非”相当于集合中补集的概念,谈到补集必然要说全集,谈论“非”时也应该弄清这件事是在一个什么样的范围中研究。

(2)下面是一些常用词的否定:是等于属于有都是至少一个至多一个一定X=1 或x=2 x> 1 且X< 3不是不等于不属于没有不都是一个都没有至少两个一定不XM1且X丰2 xw 1 或X> 3(3)否命题与命题的否定之间的区别:否命题是对原命题的条件和结论分别做否定后得到的命题(否定二次);命题的否定是只对原命题的结论做否定(否定一次) ,即「P.如:P 的否命题:若X 或1,则(x-1)(x +1)或0 •P 的否定即一^p :若 x=1,贝y (x-1)(x +1)::^0 •“P 或q ”的否定“P 且q ”的否定要点四、简单命题与复合命题(1)定义:简单命题:不含逻辑联结词的命题叫简单命题。

复合命题:由简单命题与逻辑联结词“或” 、“且”、“非”构成的命题叫做复合命题。

(2)复合命题的构成形式:② P 且q ;记作:P A q③ 非P (即命题P 的否定);记作:「P (3) 复合命题的真假判断要点诠释: 同时为假时,“P 或q ”为假,其它情况时为真,可简称为“一真必真” ; 同时为真时,“P 且q ”为真,其它情况时为假,可简称为“一假必假” 。

【典型例题】类型一:复合命题的构成例1 •指出下列复合命题的结构,写出构成其的简单命题.(1) 菱形的对角线互相垂直平分; (2) 42不是无理数; (3) 6是12或18的约数.命题 p :若 X =1,则(x-1)(x+1)=o •(4) “或”、“且” 联结的命题的否定形式:命题 命题 ① 当P 、q ② 当P 、q③ “非P ”与P 的真假相反.【解析】(1) P 且q 的形式,其中P :菱形的对角线互相垂直, q :菱形对角线互相平分;(2)非p 的形式,其中P : J 2是无理数;(3) P 或q 的形式,其中P : 6是12的约数,q : 6是18的约数.【总结升华】正确理解逻辑联结词 或”、’且”、’非”的含义是解题的关键。

根据上述 各复合命题中出现的逻辑联结词或语句的意义确定复合命题的形式。

举一反三:【变式1】判断下列复合命题的形式,写出构成其的简单命题(1) 1是奇数或偶数; (2)梯形不是平行四边形; (3)2是偶数也是质数.【答案】例2.判断下列命题中是否含有逻辑联结词或”、且”、非”,若含有,请指出其中q 的基本命题.(1) 正方形的对角线垂直相等;2是4和6的约数;不等式X 2—5x +6 >0的解集为{xx >3或x c 2}。

【解析】(1)是“ P 且q ”形式的命题,其中 P :正方形的对角线互相垂直; q :正方形的对角线相等.面上看它是否含有 或”、且”、非”等逻辑联结词,而应从命题的结构来看是否用逻辑联结 词联结两个命题.举一反三:【高清课堂:简单的逻辑联结词 XXXXXX 例1】 【变式1】将下列各组命题用“且”联结组成新命题:平行四边形的对角线互相平分,平行四边形的对角线相等; 集合A 是材B 的子集, 集合A 是AUB 的子集;X 2+1,(1) P 或q 的形式,其中 (2) 非P 的形式,其中P P : 1是奇数,q : 1是偶数; :梯形是平行四边形;(3) P 且q 的形式,其中P : 2是偶数,q : 2是质数。

P 、(2)是“ P 且q ”形式的命题, 其中 P : 2是4的约数;q : 2是6的约数.(3)是简单命题,而不是用“或” 联结的复合命题【总结升华】对于用逻辑联结词 或”、且”、非”联结的新命题的结构特点不能仅从字q : 3>4.【答案】(1) P A q :平行四边形的对角线互相平分且相等; (2) pAq :集合A 是 昭B 的子集,且是 A U B 的子集;2(3) P A q : x +1 >1,且 3>4.P 且q : 3 <4且3=4 (假命题),非 P (-■ P ): 3 <4,即 3 >4 (假命题).【总结升华】 先判断各简单命题的真假,再依据复合命题的构成形式写出复合命题, 最后判断复合命题的真假.举一反三:【变式】已知命题 P 、q ,试写出P 或q 、P 且q 、非p 的形式的命题并判断真假.(1) P :平行四边形的一组对边平行, q :平行四边形的一组对边相等【变式 2】分别指出下列复合命题的形式及构成的简单命题。

(1)(3)李明是老师,赵山也是老师;1是合数或质数;他是运动员兼教练员;(1)这个命题是“P 且q 形式, 其中 P :李明是老师, q :赵山是老师。

(2)这个命题是“P 或q ” 形式, 其中 P : 1是合数,q :1是质数。

(3)这个命题是“ P 且q形式, 其中 P :他是运动员, q :他是教练员。

(1) p : 0={x|x 2v1}, q : 0u{x|x 2v1}. (2) P : 3 c4 , q : 3 =4【解析】(1) P 或 q : 0 ={x|x2<1}或 0 u{x|x 2 <1},即 0 匸{x|x 2<1}(真命题),2P 且 q : 0 ={x| X <1} 2u{x|x <1}(假命题),非 P (「P ): 0 齐{x x21(真命题),(2) P 或 q : 3 v4或 3=4 , 即3 <4 (真命题),【答例3.已知命题P 、 q ,写出P 或q 、 P 且q 、非P 的形式并判断真假。

(2) P : 2 - {135,7} , q : 2 - {2,4,6,8}⑶ p :1迂{1,2}, q:{1}u{1,2}【答案】(1)P或q :平行四边形的一组对边平行或相等(真命题)P且q :平行四边形的一组对边平行且相等(真命题)非P :平行四边形的一组对边不平行(假命题)。

(2)p或q : 2<:{1,3,5,7}或2<:{2,4,6,8},即2亡{1,2,3,4,5,6,7,8}(真命题)p 且q : 2<^{1,3,5,7}且2亡{2,4,6,8}(假命题)非P : 2亨{1,3,5,7}(真命题)(3)P或q : 1€{1,2}或{1}u {1,2}(真命题)P 且q :1€{1,2}且{1}u{1,2}(真命题)非P :1 7{1,2}(假命题)类型二:复合命题真假的判定例4. (2015湖南)已知命题P:若X>y,则—XV— y;命题q:若X>y,则X2>y2,在命题① pAq;②pV q;3pA (「q); ® (「p) Vq 中,真命题是()A .①③B.①④C.②③D.②④【答案】C.【解析】根据不等式的性质可知,若X>y,则—XV— y成立,即P为真命题,当x= 1, y=—1时,满足X> y,但X2>y2不成立,即命题q为假命题,则①pA q为假命题;②pV q 为真命题;③pA厂q)为真命题;④ 厂p) V q为假命题,故选:C.【总结升华】解答这类逻辑推理问题关键在于充分利用真值表进行分析,命也就是由给出复合题的真假情况,利用真值表逆向思考,从而推断出组成复合命题的简单命题的真值情况,再判断相关命题正确与否.举一反三:【变式1】(2014 重庆文)已知命题:P:对任意x €R,总有凶为,q:x = 1是方程X+ 2 = 0的根;则下列命题为真命题的是()A. P q B pAq C.「pA「q D . pAq【答案】根据绝对值的性质可知,对任意X €R,总有凶为成立,即P为真命题,当X = 1时,X + 2= 3却,即卩X = 1不是方程X+ 2= 0的根,即q为假命题,则pA「q,为真命题,故选:A.【变式2】已知命题P: 3> 3; q: 3> 4,则下列判断正确的是(A. pvq为真,pAq为真,「p为假【答案】C类型三:命题的否定与否命题写出下列命题的否定和否命题,并判定其真假P :在整数范围内, a 、b 都是偶数,则a+b 是偶数 P :若 x>0 且 y>0,贝y x + y>0 .【解析】(1) 「p :在整数范围内,a 、b 都是偶数,则a+b 不是偶数(假命题);P 的否命题是:在整数范围内,若a 、b 不都是偶数,则a+b 不是偶数(假命题);(2) -p :若 x>0 且 y>0,贝y x + yc0 (假命题);P 的否命题是:若 XV0或yc0,贝U x + yc0 (假命题).【总结升华】①“ x>0且y>0”的否定是“ XV0或yv0”;“ a 、b 都是偶数”的否定为“ a 、b 不都是偶数”.② 命题的否定和否命题是不一样的 举一反三:【变式1】写出下列命题的否定和否命题,并判定其真假【答案】(1) P 的否定:若X 2 + y 2= 0,则x , y 不全为零(假命题);B . Pvq 为真, p A q 为假,C . Pvq 为假, P A q 为假,D . pvq 为真,【答案】Dp A q 为假,【高清课堂:简单的逻辑联结词 xxxxxx 例5】 【变式3】已知命题 所有有理数都是实数,命题q :正数的对数都是负数,则下列命题为真命题的是((A) (?p) V q(B) P A q (C) (?p) V (?q)(D (?p) A (?q)(1) P :若2 2x+y=O ,贝y x , y 全为零;(2) P :若 X =3 且 y=5,贝U x + y=8.P 的否命题:若X 2 + y 2式0,则X , y 不全为零(真命题); (2) p 的否定:若X = 3且y=5,贝y x + y 或8 (假命题); P 的否命题:若X 或3或ym=5,则X + yd8 (假命题).【变式2】“ xy 于0 ”是指(填出符合条件的所有选项)A. XH0且y 工0B. XH0或y 工0C. X , y 至少有一个不是 0 【解析】xy 于0指X , y 都不是0,即X H 0且y 工0 .D. X , y 都不是0E.【答案】A 、D;X , y 不都是0。

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