近似数与准确度
一、近似数
1、定义：一个数与准确数相近(比准确数略多或者略少些),这一个数称之为近似数，在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近。
2、近似数的分类：
（1）具体近似数（如30.2、58.0 …）（2）带单位近似数（如2.4万…）
（3）科学记数法（如3.2×10…）
3、求近似数的方法一般有3种：近似数的取法有四舍五入法，进一法和去尾法三种，最常用的是四舍五入法。
具体采用哪一种方法，应根据实际情况决定。
（1）四舍五入法四舍五入法是：①如果去掉部分的首位数字大于或等于5，就在保留部分的最后一位数上加1（称“五入”），得过剩近似值（即比准确值大）。
②如果去掉部分的首位数字小于5，则保留部分不变（称“四舍”），得不足近似值（即比准确值小）。
要特别注意的是：用四舍五入法截取数的近似值时，是“入”还是“舍”，只取决于去掉部分的首位数字是大于5、等于5、还是小于5，而与其后的各位数字无关。
例1 用四舍五入法将7.352元和85.666元各保留两位小数
解：7.352元≈7.35元
85.666元≈85.67元
由于人民币中最小的单位是分，因此在进行以元为单位的货币计算时，一般只保留两位小数。
（2）进一法
进一法是去掉多余部分的数字后，在保留部分的最后一个数字上加1。
这样得到的近似值为过剩近似值（即比准确值大）。
例如，一条麻袋能装小麦200斤，现有880斤小麦，需要几条麻袋才能装完？用200去除880，商为4，余数为80，即使用4条麻袋不可能装完，因此必须采用进一法用5条麻袋才能装完。
（3）去尾法
去尾法是去掉多余部分的数字，而保留部分不变。
这样得到的近似数为不足近似数（即比准确值小）。
例如，7尺布可做一件衣服，20尺可做这样的衣服几件?显然只能做两件，余下的6尺不够做一件，只好舍去。
二、准确度
1．精确度(精确到哪一位数)的意义
大家都会用四舍五入法求一个准确数的近似值．例如，46.3172精确到0.01的近似值是46.32，这里精确度是事先规定的．又如用刻度尺测量书本的长度，得20.3cm，这个数量也是近似数，它精确到0.1cm．这个精确度是根据度量工具的限制(常用的刻度尺只标明“毫米”)由四舍五入的法则规定的．可以推断，书本长度的准确值在20.25cm到20.35cm之间，即近似数与准确数误差都不超过0.05cm，所以用四舍五入截取一个准确数的近似数后，可以根据近似数和精确度推断出准确数的范围，这就是精确度的意义．
2、有效数字：对于一个不为0的近似数，从左边第一个不为0的数字起，到精确到的数位止，所有数字都叫这个近似数的有效数字。
3．近似数1.6与1.60的区别
(1)有效数字不同：1.6只有两个有效数字，而1.60有三个有效数字．
(2)精确度不同：1.6精确到十分位，与准确数的误差不超过0.05，它所代表的准确值在1.55到1.65之间，即小于1.65而大于或等于1.55；1.60精确到百分位，它与准确数误差不超过0.005，它所代表的准确值在1.595到1.605之间，即小于1.605而大于或等于1.595．由此可见，1.60比1.6的精确度高，故必须注意：近似数末尾的“0”不能随便去掉！
例1 下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？有几个有效数字？
(1)10亿；(2)2.4万；(3)1.060×105．
解
(1)精确到亿位，有两个有效数字1，0；
(2)精确到千位，有两个有效数字2，4；
(3)精确到百位，有四个有效数字1，0，6，0．
说明有些同学认为，(1)精确到个位；(2)精确到十分位；(3)精确到千分位，其实错了．在(1)中，它是四舍五入到亿位(这里的0是亿位，而不是个位)；在(2)中，它是四舍五入到千位(这里的4是千位而不是十分位)；在(3)中，它四舍五入到百位(这里的0是百位而不是千分位)．此外，对于用科学记数法表示的数a×10n(1≤|a|＜10，n是正整数)，有效数字由a的有效数字确定，精确度要将它化为原数来确定．如1.060×105=106000，易知它精确到百位．例2 用四舍五入法，按下列要求对原数按括号中的要求取近似值：
(1)37024(精确到千位)；(2)3045(保留两个有效数字)．
解：(1)37024=3.7024×104≈3.7×104；
(2)3045=3.045×103≈3.0×103．
三、根据记数形式，确定近似数精确度
1、下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各有哪几个有效数字？
（1）36.7 （2）0.035607 （3）10.5万 （4）10.8亿 （5）5
3.14010⨯ （6）3
3.14010-⨯ 解析：
（1）36.7中的最后一个数字7在十分位上，共有三个数字，所以36.7精确到十分位（既精确到0.1）有三个有效数字3，6，7.
（2）0.035607中的最后一个数字7在百万分位上，从左边起第一个不是0数字3起到最后一个数字7止，共有5个数字，所以0.035607精确到百万分位（既精确到0.000001），有五个有效数字3，5，6，0，7.
（3）10.5万是带单位的数，因为10.5万=105000，在数105000中数字5在千位上，而10.5万中的数10.5有三个数字，所以10.5万，精确到千位有三个有效数字1，0，5.
（4）、10.8亿=1080000000，在数1080000000中数字8在千万位上，所以10.8亿精确到千万位有三个有效数字1，0，8.
（5）这是一个用科学计数法表示的数，判断用科学计数法表示的数的精确度，要先把数还原成314000，看数字4后面的第一个数字0在百位上，而用科学计数法表示的数
53.14010⨯的有效数字则由数3.140确定，所以精确到百位有四个有效数字3，1，4，0.
（6）因为33
.14010-⨯=0.003140，在数3
3.14010-⨯中，数3.140有四个有效数字，所以33.14010-⨯精确到百万分位，有四个有效数字3，1，4，0. 2、用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值
（1）15.36 （精确到十分位）
（2）32.4549 （精确到0.01）
（3）35.97 （保留三个有效数字）
（4）1234560（保留四个有效数字）
解析：
把15.36精确到十分位，应看它的下一位百分位，因百分位上的数字是6，应向十分位进1，因此15.36≈15.4
把32.4549精确到0.01，既精确到百分位，应看它得下一位千分位是否满5，以决定取舍，与万分位上的9无关，因此32.4549≈32.45
按要求35.97≈36.0，这里的0不能随便丢掉
1234560的整数数位有7位，比要求保留的有效数字的个数多，应先把它写成科学计
数法的形式10n a ⨯，再对a 取近似值，因此612345601.23456010=⨯≈6
1.23510⨯ 注意：（1）：“四舍五入”是对要求数位的下一位而言的，与其它数位无关
（2）由“四舍五入”得到的近似数的末位数位上的0，不能不写
（3）对整数位数多于要取的有效个数的数N 取近似值，应先把N 用科学记数法表示为
10n N a =⨯，再对a 取近似值，a =a '，即10n N a =⨯≈10n a '⨯
4、甲乙两个学生身高都约为2
106.1⨯厘米，但甲说他比乙高9厘米，问有这种可能吗？若有可能，请举例说明。
解：可能，如果甲身高为21064.1⨯厘米，乙身高为21055.1⨯厘米时，91055.11064.122=⨯-⨯（厘米）
5、小明认为6
107.2⨯与270万是相等的,你同意他的观点吗?如同意,请说明理由;如不同意,请举例说明.
解：不同意，当二者为准确值时,它们相等；当二者只有一个是准确值时,另一个是近似
值时，则不相等；当两者都是近似值时,则6107.2⨯精确到十万位，而270万精确到万位，其精确度不同。
6、据国家统计局公布，2004年1～7月份，社会消费品零售总额为29 458.4亿元．小明认为这个数据精确到0.1亿元，而小亮认为精确到1 000万元，你认为谁的说法对？为什么？
解：他们说的都有道理
7、求近似数1.76所代表的准确值在哪两个数之间。
8、甲乙两个学生身高都约为2106.1⨯厘米，但甲说他比乙高9厘米，问有这种可能吗？若有可能，
请举例说明。
可能，如果甲身高为21064.1⨯厘米，乙身高为21055.1⨯厘米时，91055.11064.12
2=⨯-⨯（厘米）。