《热力学统计物理》试题参考解答及评分标准
一、1. B, 2. B, 3. A, 4. D, 5. B, 6. A, 7. C, 8. C, 9. A, 10. A. 评分标准：本题共20分， 每个答案2分。
二、 1. 状态， 2. 态， 系统从外界吸收， 3. p -, 4. ω )2
1
(+n , ,2,1,0=n , 5. l
e
a l l βεαω--=, 6. 0, 7. T V F )(∂∂-, 8. 负温度状态, 9. n p T G ,)(∂∂-， 10. n p S
H
,)(∂∂。
评分标准：本题共20分， 每个答案2分。
三、 1. 正确。
理由：pdV SdT dF --=。
2. 错误。
理由：T
V F p ⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂-=。
3. 错误。
理由：自由粒子为不受外力的作用而作自由运动的粒子。
4. 错误。
理由：组成玻色系统和费米系统的粒子是不可分辨的，而组成玻耳兹曼系统的
粒子是可以分辨的。
评分标准：每小题2.5分。
其中判断1分，理由1.5分。
四、1．证: 由正则分布Es
s e Z
βρ-=
1，得 s s E Z βρ--=ln ln . （1） 将上式代入广义熵的表示式，得
]ln [ln ][ln β
ββ∂∂-=+=Z
Z k U Z k . （2） 上式即正则系综中系统熵的表示式。
或者，由正则分布中熵的表示式出发 ][ln s
s
s E
Z k
βρ+=∑, （3）
利用（1）式，由上式得熵的普遍表示式
∑-=s
s s k S ρρln . (4)
评分标准：（1），（2）式各5分。
2. 证明：理想气体的热容量为n C ，则đdT C Q n =。
由热力学第一定律得
pdV dT C dT C V n +=,
0)(=--pdV dT C C V n . (1) 将理想气体状态方程RT pV =微分，有
RdT Vdp pdV =+. (2)
由（1）式和（2）式消去dT ，得
0)()(=-+-pdV C C Vdp C C p n V n ,
或
0=+p
dp
V dV n
. （3） 式中
V
n p n C C C C n --=
. (4)
若V p n C C C ,,均为常数, 由（4）式知n 为常数，积分（3）式得 =n
pV 恒量. （5）
此即多方过程方程。
评分标准：（1）-- （5）式各2分。
3. 证明：设固体共有A N 个A 种原子和 B N 个B 种原子，原子总数为 N =A N +B N ，设x 为A 种原子的百分比(N N x A =
), （1-x ）为B 种原子的百分比(1-x )= N
N
B , 所以 A N =Nx , B N =N x )1(-. （1）
N =A N +B N 个原子在晶体格点上作随机分布方式的总数为
()!
!!
B A B A N N N N +=
Ω=
]!
)1[(]![!
N x xN N -. （2）
所以A,B 两种原子在晶体格点上的随机分布引起的熵为
S = k ln ln
k =Ω[]()[]!
1!!
N x xN N - 。
（3）
利用斯特林公式简化上式，可得
[])1ln()1(ln }]!)1ln[()!ln(!{ln x x x x Nk N x xN N k S --+-=---=. （4）
注意到0<x<1，由（4）式给出的熵值
S>0． (5)
评分标准：（1）-- （5）各2分。
五、计算题：
1。
解： 范氏方程可表为 对范氏方程取导数得
,)(
b V R
T p V -=∂∂ 2
3)(2)(b V RT V a V
p T --=∂∂ （1） 按循环关系式，我们有
2
33)(2)
()()()(b V a RTV b V RV V p T p T V T V p ---=∂∂∂∂-=∂∂ （2）
因此
V 1=α2
32)(2)()()()(b V a RTV b V RV V p V T p T V
T V p ---=∂∂∂∂-=∂∂ (3)
p 1=β)()()(22b V a RTV RV b V p R T p V --=
-=∂∂ (4)
V T 1-=κ2
3
222
3)(2)()(211)(b V a RT V b V V b V RT V a V p V
T ---=--
-=∂∂. (5) 评分标准：（1）-- （5）式各2分。
2．解：用能量均分定理求粒子的平均能量。
a
b a b x a P P p m z y x 4)2()(21222
22-++++=ε. （1） 上式中2
)2(a
b x a +
是独立平方项，从而有 a
b a b x a p p p m z y x 4)2()(21222
22-
++++=ε
=a
b kT a b kT kT 42421232
2-=-+ （2）
评分标准：（1）式和（2）式各5分。