热力学·统计物理试题（B 卷）
适用于200×级本科物理学专业 (200×-200×学年度第×学期)
1. (10分) 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关.
2. (20分) 试证明，相变潜热随温度的变化率为
β
p c dT dL =-αp c -+T
L αβαβ
v v L
T v T v p p -⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 如果β相是气相，α相是凝聚相，试证明上式可简化为：
α
βp p c c dT
dL -= 3．(10分) 若将U 看作独立变数T , V , n 1,… n k 的函数，试证明： （1）V
U
V
n U n U i i
i
∂∂+∂∂=
∑ （2）V
U
v n U u i
i i ∂∂+∂∂=
4．（20分） 试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为
∑-=s
Ps Ps Nk S ln
式中P s 是总粒子处于量子态s 的概率，1Z e N e P s s s βεβεα---=
=,∑s
对粒子的所有量子态求和。

5．（20分） 铁磁体中的自旋波也是一种准粒子,遵从玻色分布,色散关系是2
Ak =ω.试证明在低温下,这种准粒子的激发所导致的热容与2
/3T 成正比.
6．（20分）在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为
cp
=
ε,其中c为光速.试求自
由电子气体在0K时的费米能量,内能和简并压.
附标准答案
1. (10分) 解证：范氏气体()RT b v v a p =-⎪⎭
⎫
⎝⎛+
2 由式(2.2.7)⇒ T v U ⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂=T V
T p ⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂-p =T 2
v a p b v R =-- (5分) T v U ⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂=2v
a ⇒)(),(0T f v a U v T U +-=
=V C V
T U ⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂=)(T f ' ；与v 无关。

(5分)
2．(20分) 证明：显然属于一级相变; ()())(αβS S T L -=; 其中())(,T p T S S =，
在p ～T 相平衡曲线上.
()[]⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅∂∂∆+⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂∆+-=dT dp p S T T S T S S dT dL αβ 其中：=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∆T S ()P T S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂β()P
T S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-α =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∂∂∆dT dp p S [()P T S ⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂β()P T S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-α]dT dp
⋅ (5分) 又有：T C P =P
T S ⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂；()()
)(αβS S T L -= 由麦氏关系(2.2.4): -=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂T
p S P
T V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ （5分） 上几式联立(并将一级相变的克拉伯珑方程代入)得：
β
p c dT dL =-αp c -+T
L αβαβ
v v L
T v T v p p -⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ (5分) 若β相是气相，α相是凝聚相；()
αV
～0；()p
T V ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂α～0；
β相按理想气体处理。

pV=RT
⇒
α
βp p c c dT
dL -= (5分)
3．（10分） 证明：（1） ),,,(),,,(11k k n n V T U n n V T U λλλλ=
根据欧勒定理，f x f x i i i =∂∂∑ ，可得
V U
V
n U n U i i
i
∂∂+∂∂=∑ (5分) （2）i i
i i i i i i i
i
u n V U
v n U n V U V n U n U ∑∑∑=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=
)( V
U
v n U u i
i i ∂∂+∂∂=
(5分) 4．（20分）证明：出现某状态s ψ几率为P s
设S 1,S 2,……S k 状态对应的能级s 'ε
设S k+1 ,S k+2,……S w 状态对应的能级s 'ε
类似………………………………
则出现某微观状态的几率可作如下计算：根据玻尔兹曼统计 N
e P s
S βεα--=；
显然NP s 代表粒子处于某量子态S 下的几率，S
e
NP S βεα--=。

于是
S
e βε
α-
-∑代表
处于S 状态下的粒子数。

例如，对于s 'ε能级⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛∑=--'K S S S S e 1βεα个粒子在s 'ε上的K 个微观状态的概率为： ()()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛''∑
=='='--k S S S s e S S P
P S P
1βεα粒子数 类似写出：()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛''∑
=''=''--k S S S s e S P
S P
1βεα
………………………………………………等等。

(5分)
于是N 个粒子出现某一微观状态的概率。

()=
=∏'
=S
S S S P P ⋅∑
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛'='--k S S S s e S P 1βεα⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛''∑
=''--k S S S s e S P 1βεα 一微观状态数P
1
=
Ω ，（基于等概率原理） Ω=ln k S (5分)
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⋯⋯∑⋅∑=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=''--='--W S K S S S k S S S S e S e S P P k S 111
ln
βεαβεα
（5分）
k -=()()
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋯⋯++∑∑''--'--+'''K W
K S S S S S S S S P e P e 11ln ln βεαβεα
将S
e NP S βεα--=带入S S
S
P P
kN
S ln ∑-=⇒ (5分)
5．（20分）证明: 在体积V 中,ω到ω+ d ω的频率范围内准粒子的量子态数为
ωωπωωd d 4d )(2
/123B p p h V g ==
, （5分）
推导上式时,用到关系k p =.这里B 为常数.由于准粒子数不守恒,玻色分布中的
0=α.系统的内能为
⎰⎰-=-=m
m e B g e E ωωωβω
βωω
ωωω0
02
/3d 1d )(1 , （5分）
考虑到态密度在高频时发散,需引入截止频率m ω.但在低温下1>>ωβ ,在积分中
可令
∞→m ω.设x =ωβ ,则有
2/50
2/32/5d 1T x e x CT E x ∝-=
⎰∞
, （5分）
其中,C 为常数.易得 2
/3T T E C V V ∝⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂=. （5分）
6．（20分）在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为cp =ε,其中c 为光速.试求自由电子气体在0K 时的费米能量,内能和简并压.
解: 在体积V 中,ε 到ε + d ε 的能量范围内电子的量子态数为
εεππεεd 8d 8d )(2
3323c h V p p h V g ==
. （5分）
绝对零度时,费米函数为
⎩⎨
⎧><=00 ,0 ,1μεμε f . 总电子数满足
⎰
⎰===00
3
3323338d 8d )(μμπεεπεεc h V c
h V
fg N ,
可求出费米能量
hc
V N 3
/1083⎪
⎭⎫
⎝⎛=πμ. （5分）
电子气的内能
⎰
⎰====00
403333
343
48d 8d )(μμμπεεπεεεN c h V c
h V
fg E .
（5分）
气体的简并压
043μV N
V E p d ==
. （5分）。