空间向量与立体几何一、知识网络:二.考纲要求:(1)空间向量及其运算① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程;② 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
(2)空间向量的应用① 理解直线的方向向量与平面的法向量;② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系;③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理);④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。
三、命题走向本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。
本章是立体几何的核心内容,高考对本章的考查形式为:以客观题形式考查空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离。
预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。
第一课时 空间向量及其运算一、复习目标:1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘; 2.了解空间向量的基本定理; 3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
二、重难点:理解空间向量的概念;掌握空间向量的运算方法 三、教学方法:探析类比归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况,促使积极参与。
学生阅读复资P128页,教师点评,增强目标和参与意识。
(二)、知识梳理,方法定位。
(学生完成复资P128页填空题,教师准对问题讲评)。
1.空间向量的概念向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。
如位移、速度、力等。
相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
说明:①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移。
②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。
3.平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量。
a 平行于b 记作a ∥b。
注意:当我们说a 、b共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线;当我们说a 、b平行时,也具有同样的意义。
共线向量定理:对空间任意两个向量a (a≠0)、b ,a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b =λa(1)对于确定的λ和a ,b =λa 表示空间与a 平行或共线,长度为 |λa|,当λ>0时与a 同向,当λ<0时与a反向的所有向量。
(3)若直线l ∥a,l A ∈,P 为l 上任一点,O 为空间任一点,下面根据上述定理来推导OP 的表达式。
推论:如果 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线,那么对任一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,满足等式 OA OP =a t+ ①其中向量a叫做直线l 的方向向量。
在l 上取a AB =,则①式可化为 .)1(OB t OA t OP +-=②当21=t 时,点P 是线段AB 的中点,则 ).(21OB OA OP += ③①或②叫做空间直线的向量参数表示式,③是线段AB 的中点公式。
注意:⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础,也是常用的直线参数方程的表示形式;⑵推论的用途:解决三点共线问题。
⑶结合三角形法则记忆方程。
4.向量与平面平行:如果表示向量a 的有向线段所在直线与平面α平行或a在α平面内,我们就说向量a 平行于平面α,记作a ∥α。
注意:向量a∥α与直线a ∥α的联系与区别。
共面向量:我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理 如果两个向量a 、b 不共线,则向量p与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、y ,使.b y a x p+=①注:与共线向量定理一样,此定理包含性质和判定两个方面。
推论:空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ,使,MB y MA x MP +=④或对空间任一定点O ,有.MB y MA x OM OP ++=⑤在平面MAB 内,点P 对应的实数对(x, y )是唯一的。
①式叫做平面MAB 的向量表示式。
又∵.,OM OA MA -=.,OM OB MB -=代入⑤,整理得.)1(OB y OA x OM y x OP ++--= ⑥由于对于空间任意一点P ,只要满足等式④、⑤、⑥之一(它们只是形式不同的同一等式),点P 就在平面MAB 内;对于平面MAB 内的任意一点P ,都满足等式④、⑤、⑥,所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA 、MB (或不共线三点M 、A 、B )确定的空间平面的向量参数方程,也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件。
5.空间向量基本定理:如果三个向量a 、b 、c不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组x , y , z , 使.c z b y a x p++=说明:⑴由上述定理知,如果三个向量a 、b 、c不共面,那么所有空间向量所组成的集合就是{}R z y x c z b y a x p p ∈++=、、,|,这个集合可看作由向量a 、b 、c 生成的,所以我们把{a ,b ,c }叫做空间的一个基底,a ,b ,c都叫做基向量;⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底;⑶一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同的概念;⑷由于0可视为与任意非零向量共线。
与任意两个非零向量共面,所以,三个向量不共面就隐含着它们都不是0。
推论:设O 、A 、B 、C 是不共面的四点,则对空间任一点P ,都存在唯一的有序实数组z y x 、、,使.OC z OB y OA x OP ++=6.数量积(1)夹角:已知两个非零向量a 、b ,在空间任取一点O ,作a OA=,b OB =,则角∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角,记作〉〈b a,说明:⑴规定0≤〉〈b a ,≤π,因而〉〈b a,=〉〈a b ,; b;⑵如果〉〈b a ,=2π,则称a 与b 互相垂直,记作a⊥⑶在表示两个向量的夹角时,要使有向线段的起点重合,注意图(1)、(2)中的两个向量的夹角不同,图(1)中∠AOB =〉〈OB OA ,, 图(2)中∠AOB =-π〉〈OB AO ,,从而有〉〈-OB OA ,=〉-〈OB OA ,=-π〉〈OB OA ,.(2)向量的模:表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。
(3)向量的数量积:〉〈b a b a ,cos 叫做向量a 、b的数量积,记作b a ⋅。
即b a ⋅=〉〈b a b a,cos ,向量AB 方向上的正射影在e:B A e a AB e a ''=〉〈=⋅,cos ||(4)性质与运算率⑴〉〈=⋅e a e a,cos 。
⑴()()a b a b λλ⋅=⋅ ⑵a ⊥b ⇔b a ⋅=0⑵b a⋅=b a ⋅ ⑶2||.a a a =⋅⑶()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅(三).典例解析题型1:空间向量的概念及性质ABO(1)例1、有以下命题:①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么,a b 的关系是不共线;②,,,O A B C 为空间四点,且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底,那么点,,,O A B C 一定共面;③已知向量,,a b c 是空间的一个基底,则向量,,a b a b c +-,也是空间的一个基底。
其中正确的命题是( )。
()A ①②()B ①③()C ②③()D ①②③解析:对于①“如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么,a b 的关系一定共线”;所以①错误。
②③正确。
题型2:空间向量的基本运算例2、如图:在平行六面体1111D C B A ABCD -中,M 为11C A 与11D B 的交点。
若AB a =,AD b =,1AA c =,则下列向量中与BM 相等的向量是( )()A 1122a b c -++()B 1122a b c ++()C 1122a b c --+()D c b a +-2121 解析:显然=+-=+=111)(21AA AB AD M B BB BM 1122a b c -++;答案为A 。
点评:类比平面向量表达平面位置关系过程,掌握好空间向量的用途。
用向量的方法处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化,本题考查的是基本的向量相等,与向量的加法.考查学生的空间想象能力。
例3、已知:,28)1(,0423p y n m x b p n m a +++=≠--=且p n m ,,不共面.若a ∥b,求y x ,的值.解: a ∥b,,且,,0a b a λ=∴≠即.42328)1(p n m p y n m x λλλ--=+++又p n m,,不共面,.8,13,422831=-=∴-=-=+∴y x y x 点评:空间向量在运算时,注意到如何实施空间向量共线定理。
例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D 为AC 的中点,求证:AB 1∥平面C 1BD.证明:记,,,1c AA b AC a AB ===则c b CC DC DC b a AD AB DB c a AB +=+=-=-=+=21,21,111∴11AB c a DC DB =+=+,∴11,,DC DB AB 共面.∵B 1∉平面C 1BD, AB 1//平面C 1BD.(四)强化巩固导练1、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,点F 是侧面CDD 1C 1的中心,若1AA y AB x AD AF ++=,求x -y 的值.解:易求得0,21=-∴==y x y x 2、在平行六面体1111D C B A ABCD -中,M 为AC 与BD 的交点,若=11B A a ,=11D A b ,=A A 1c ,则下列向量中与M B 1相等的向量是 (A )。
A .-21a +21b +cB .21a +21b +c C .21a -21b +c D .-21a -21b +c 3、(2009四川卷理)如图,已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等,M 是侧 棱1CC 的中点,则异面直线1AB BM 和所成的角的大是。