一. 恒定流、非恒定流
• 若流场中各空间点上的
任何运动要素均不随时间 变化，称流动为恒定流。 否则，为非恒定流。
• 恒定流中，所有物
理量的欧拉表达式中 将不显含时间，它们 只是空间位置坐标的 函数，时变导数为零。
例如，恒定流的
流速场： u u(x, y, z)
u 0 t
• 恒定流的时变加速
度为零，但位变加速
度可以不为零。
•流动是
否恒定与所 选取的参考 坐标系有关, 因此是相对 的概念。
二. 迹线和流线
• 迹线是流体
质点运动的轨 迹，是与拉格 朗日观点相对 应的概念。
• 拉格朗日法中位移
表达式
r r(a,b,c,t)
即为迹线的参数方 程。
t 是变数，a,b,c 是
参数。
• 在欧拉观点下求迹线，因须跟定流体质点，此时欧拉变数
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
az
duz dt
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
• 时间因素与空间因素对加速度贡献的分解
t
z
M0
y
t+Δt
z
M M0’
y
x
x
a d u lim uM uM0 lim (uM0 uM0 ) (uM uM0 )
d t t0 t
三. 欧拉法
• 欧拉法是流场法，
它定义流体质点的速
度矢量场为： u u(x, y, z,t)
(x,y,z) 是 空 间 点 （ 场 点）。流速 u 是在 t 时 刻占据(x,y,z) 的那个流
体质点的速度矢量。
• 流体的其它运动要素和物理特性也都可用相应的时间和空间
域上的场的形式表达。如加速度场、压力场等：
分析流体力学问题时直接运用场论的数学知识创造了便利条 件。
• 欧拉法是描述流体运
动常用的一种方法。
四. 流体质点的加速度、质点导数
• 速度是同一流体质点的位
移对时间的变化率，加速度 则是同一流体质点的速度对 时间的变化率。
• 通过位移求速度或通过速
度求加速度，必须跟定流体 质点，应该在拉格朗日观点 下进行。
位置坐标（x, y, zห้องสมุดไป่ตู้，它是 t 的函数。给定初始时刻质点的位
置坐标，就可以积分得到迹线。
• 流线是流速场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的一条曲
线，该瞬时位于流线上的流体质点之速度矢量都和流线相切。 流线是与欧拉观点相对应的概念。有了流线，流场的空间分布 情况就得到了形象化的描绘。
• 根据定义，流线的微分方程为
t 0
t
u
(u )u
t
举例
A A’ B B’
uAdt
uBdt
算子
全质 导点 数导
数
d dt
=
t
+ (u )
时变导数 当地导数 局部导数
位变导数 迁移导数 对流导数
例如 d (u )
d t t
d
dt
t
ux
x
uy
y
uz
z
不可压
d 0
dt
const 是其特例
§2—2 有关流场的几个基本概念
c,
t)
2 r(a, b,
t2
c,t)
u u(x, y, z,t)
• 若流场是用欧拉法
• 跟定流体质点
描述的，流体质点
加速度的求法必须
• 特别注意。
用欧拉法描述，处
理拉格朗日观点的
后，x,y,z 均随 t
变，而且
d(x, y, dt
z)
(ux
,uy
,uz
)
问题。
a du u u d x u d y u d z dt t x dt y dt z dt
a a(x,y,z,t)
p p(x,y,z,t)
拉格朗日法
着眼于流体质点，跟踪
跟踪 质点描述其运动历程
欧拉法
布哨
着眼于空间点，研究 质点流经空间各固定 点的运动特性
• 如果流场的空间分布不随时间变化，其欧拉表达式中将不显
含时间 t ，这样的流场称为恒定流。否则称为非恒定流。
• 欧拉法把流场的运动要素和物理量都用场的形式表达，为在
• 若流动是用拉格朗日法描述
的，求速度和加速度只须将位移 矢量直接对时间求一、二阶导数 即可。
• 求导时 a,b,c
作为参数不 变，意即跟定 流体质点。
u(a,b,c,t) d r(a,b,c,t) r(a,b,c,t)
dt
t
a(a, b,
c,t)
d
u(a, b, dt
c,
t)
u(a,b,
t
u t
ux
u x
uy
u y
uz
u z
( t
u )u
du dt
=
u t
+ (u )u
质
点
时变加速度
位变 加速度
加 速 度
由流速 不恒定 性引起
由流速不均 匀性引起
a du u (u )u d t t
分量 形式
ax
dux dt
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
duy dt
第二章 液体运动的流束理论
❖ 在连续介质假设下，讨论描述流体运动的方 法，根据运动要素的特性对流动进行分类。
❖连续方程是质量守恒定律对流体运动的一个 具体约束。
❖能量方程是能量守恒定律在水力学中的具体 体现。
❖动量方程是动量守恒定律在水力学中的具体 体现。
第二章 液体运动的流束理论
§2—1 描述流动的方法 §2—2 有关流场的几个基本概念 §2—3 恒定总流的连续性方程 §2—4 恒定总流的能量方程 §2—5 恒定总流的动量方程
(a,b,c) 是拉格朗日变数，即
t=t0 时刻质点的空间位置，用
来对连续介质中无穷多个质点 进行编号，作为质点标签。
易知 (a,b, c) r(a,b, c,t0)
• 流体在运动过程中其它运动要
素和物理量的时间历程也可用拉 格朗日法描述，如速度、密度等：
u u(a,b,c,t)
(a,b,c,t)
x,y,z 成为 t 的函数，所以迹线的微分方程为
dr u[x(t), y(t), z(t),t]dt
dx
dy
dz
dt
ux[x(t), y(t),z(t),t] uy[x(t), y(t),z(t),t] uz[x(t), y(t),z(t),t]
这是由三个一阶常微分方程组成的方程组，未知变量为质点
§2—1 描述流动的方法
一. 描述流体运动的困难
离散 质点系
流体
质点间 的约束
质点数
无 N个
弱 无穷
刚体
强 无穷
离散 质点系
流体
刚体
离散 质点系
流体
刚体
❖ 编号，逐点 描述
❖ 3N个自由度
困难： ❖ 无穷多质点 ❖ 有变形 ❖ 不易显示
六个自由 度运动
二. 拉格朗日法
• 拉格朗日法是质点系
法，它定义流体质点的 位移矢量为：r r(a,b,c,t)
udl 0
其中 dl d xi d yj d zk
i jk dx dy dz 0 ux uy uz