高能物理过程的精确
计算
中国科学技术大学张仁友
2006年10月31日桂林
1. 引言
⏹标准模型的检验
W，Z，top等粒子的物理特性的精确测量…
⏹Higgs粒子的寻找与测量
Higgs粒子是否存在
Higgs粒子的物理特性
是否是标准模型的Higgs粒子
⏹新物理的发现与精确测量
超对称，额外维，小Higgs模型…等新模型的发现；模型参数测量
高能对撞机
Tevatron (running)
•com:1.96TeV P Pbar
•lumi:2E32cm-2s-1
•CDF, D0
LHC (2007)
•com:14TeV P P
•lumi:2E33cm-2s-1 @low luminisity, then 2E34cm-2s-1•ATLAS，CMS，LHCb，Alice
LC (in the future)
•e+e-collision and gamma-gamma collision,or e-gamma collision •NLC, JLC,TESLA, CLIC
⏹大量费曼图的计算；
⏹标量积分函数的计算；
⏹张量积分函数推导为标量积分函数的计算；⏹
控制数值计算的精度。
多体末态!
高精度！
理论上高精度计算存在的四个主要问题:
2.量子场论计算的基础知识可观测量O的期望值:
其中为过程的矩阵元（动力学部分）
为相空间体积元
n M ),...,,,(121n n k k p p d
a) 费曼规则: 费曼图 数学表达式
⏹图形与幅度的转换过程是按照费曼图图形技术中所对应的
规则进行的;
⏹外线对应自由波函数，内线对应着传播函数，顶点对应相
互作用顶点。
例:费米子传播函数的规则和三胶子作用顶点的规则：
例：
矩阵元
其中
二阶张量圈图积分函数部分：
矩阵元中剩余部分：
标量积分函数：
b ) IR 和UV 发散的正规化
k ∙0, IR 发散! k ∙inf, UV 发散!
维数正规化方案（n=4-2
）UV 发散的l圈图积分函数则出现最高达阶极点项。
IR 发散的l圈图积分函数则可以出现直到阶的极点项。
()l ε/1()l 2/1ε
ε
c)N条外线过程的NLO计算
⏹含胶子、光子或轻夸克辐射的N+1条外线树图的对应幅度
产生；
⏹实(胶子、光子、轻夸克)辐射过程软、共线发散的分离；
⏹PDF抵消项贡献中红外发散(共线发散)的分离；
⏹N条外线单圈图(包括抵消项图)的对应幅度的产生；
⏹计算单圈图，分离出软、共线发散；
⏹将上述贡献相加，消除紫外及红外发散；
⏹有限贡献的幅度数值计算。
3. 单圈标量积分函数计算
n （=4-2 ）维下费曼图对应的幅度可以表示为对张量积分函数与外部张量S 的乘积求和，即
其中
S
只与外线运动学相关．
I 的一般形式为：
对应于对称张量组合．例如：
标量系数可以通过Passarino-Veltman 方法求出．它们由标量积分函数表示出．
上述即为张量积分的约化过程。
()()
m n j s s s c ,...,,
1
（1）标量A,B,C,D 圈积分函数定义;
其中:
ε
24-==n D ⎰-=0
2)4(001)2()(D q d i m A D
D ππμ⎰-=1
02
)
4(10101
)2(),,(D D q d i m m p B D
D π
πμ⎰-=2102)4(2102101)2(),,,,(D D D q d i m m m p p C D
D ππμ⎰-=
3
2102
)
4(321032101
)2(),,,,,,(D D D D q d i m m m m p p p D D
D ππμε
i m q D +-=2
020ε
i m p q D +-+=21211)(ε
i m p q D +-+=2
2222)(ε
i m p q D +-+=23233)(
（2) 基本标量积分函数计算:
以
为例来说明标量函数的计算。
1）Feynman 或Schwiger 参数化.Feynman 参数化
Schwiger 参数化2）积分变量平移.
定义:
⎰---=)
)()((13
322212
/1k k k i k d I D D π
3）Wick旋转.
4）
D维欧氏空间的球坐标变换.
5）角向及径向积分.
作变换：
并对径向作积分：有：
)/(1233112212s x x s x x K t --=角向积分：
（3）A,B 标量积分函数的解析结果：
()()π
γμ4log 42
,41log 22
2
0+--=∆-+⎪⎪
⎭⎫ ⎝
⎛+-∆=E D
D O m m m A (
)
(
)
(
)
ε
μ
i p m
m
m p m m p x x x x x p m m p B +--+±-+=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∆=2
21
220
21
2
20
212
2
,1221122
102
02411log 11log log 2,,其中
G. 't Hooft and M. Veltman, NLB153,365(1979)
对标量五点积分函数：
(A. Denner and S. Dittmaier, hep-ph/0212259)
(4) 五点标量函数计算:
(5) 六点标量积分函数计算:
Guo 方法：
定义5点和6点标量积分函数：
并用表示消去传播子后得到的5点函数。
0()E i 0F i N
定选择系数，使得：
取：
得到：
其中，为Gram行列式。
Binoth的方法：
其中：
4.张量积分函数计算
(1) Passarino-Veltman
方法：
例如，对于3点2
阶张量积分：
N 点p 阶张量积分：
利用下面的性质降阶：
三、四、五点张量积分函数推导中出现的Gram矩阵分别为：
•将p阶的N点张量积分函数系数表示为低阶张量的N点和N-1,N-2,…的积分函数系数。
降阶过程中会出现Gram矩阵求逆。
•递归地采用PV方法，解线性方程组，最终将张量积分函数系数表示为标
量积分函数。
小结：
⏹该方法原则上适用于所有1，2，3，4，5点张量多点积分函数
的计算。
⏹这种方法会出现Gram 矩阵求逆，当Gram行列式值很小时
会产生积分函数数值计算的不稳定性。
⏹四点以下（含四点）积分函数数值计算中Gram行列式值很
小的区域仅仅出现在相空间的边缘附近（如前后向区，阈值附近）。
⏹5点积分函数数值计算中Gram行列式值很小的区域可能出现
在相空间中间。
(2) Denner-Dittmaier 方法:（hep-ph/0212259）
矢量积分：
2阶张量积分：
3阶张量积分：
该方法避免出现Gram矩阵求逆的计算。
5.六点张量积分的计算
（1）Guo 方法：
利用上式将6点张量积分化为5点同阶及低阶张量积分。
得到的5点张量积由Denner-Dittmaier方法化为5点及更低点标量积分的计算。
(2)Denner-Dittmaier 方法：(hep-ph/0509141)
6点张量积分:
张量积分的系数为:
6. IR发散的分离（Nucl.Phys. B675 (2003) 447）
定义变量：
一条无质量外线粒子连接两条无质量的内线传播子，
设外线动量为类光四矢量：
发散发生在
此时传播子n的动量与外线的动量在共线
位形上，因此这种发散称为共线发散。
两个在壳的粒子间交换一个无质量的粒子，
此时发散发生在，传播子n的动量，因
此这种发散称为软发散。
圈积分中的红外发散的分离:
为了得到维数正规化方案下的标量圈积分的表达式，将一个圈积分划分为有限部分和发散部分。
其中有限部分的计算是与正规化方案无关，我们可以用标准的程序包FF在质量正规化方案下计算。
而发散部分可以用相应的3点积分表示。
发散部分的计算：
其中对于共线发散：
对于软发散：
例: 五点图发散部分的计算
根据前面的公式计算出相应不为零的3 点函数的系数：
最后得到该五点函数的极点项表达式为：
三点标量圈积分的软发散部分：
例：三点标量圈积分的共线发散部分：其中:
三点标量圈积分的共线和软发散部分:
其中:
The End。