微积分试题及答案一、填空题(每小题2分，共20分)1. =∞→2arctan limx xx .2. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=<<-=0 , 10 )21()(1x k x ,x x f x 在0=x 处连续，则=k 。
3. 若xx f 2e )(-=，则=')(ln x f 。
4. 设2sin x y =，则=)0()7(y 。
5. 函数2x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-∆y y d 。
6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=⎰xa x x f x d )(d d ; =⎰b x x x f x2d )(d d . 7.设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根。
8. 曲线xx y -=e 的拐点是 。
9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。
10. 若C x x x f x ++=⎰2d )(，则=)(x f 。
二、单项选择（每小题2分，共10分）1. 设x x f ln )(=，2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是（ ）（A ）()+∞-,2 （B ）[)+∞-,2 （C ）()2,-∞- （D ）(]2,-∞- 2. 当0→x 时，下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是（ ）（A ）x sin （B ）2x x + （C ）3x （D ）x cos 1-3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的（ ）（A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件4. 设函数)(x f 在]0[a ，上二次可微，且0)()(>'-''x f x f x ，则xx f )('在区间)0(a ，内是（ ）（A ）不增的 （B ）不减的 （C ）单调增加的 （D ）单调减少的 5. 若C x x x f +=⎰2d )(，则=-⎰x x xf d )1(2 。
（A ）C x +-22)1(2 （B ）C x +--22)1(2（C ）C x +-22)1(21（D ）C x +--22)1(21三、计算题（每小题6分，共48分）1. 求极限 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→.2. 求极限 20)(arctan cos ln lim x xx →.3. 设)1ln()(+=x x f ，))((x f f y =，求x y d d .4. 已知方程yx x y =确定了函数)(x y y =，求xy d d .5. 求函数1234+-=x x y 的对应曲线的凹凸区间及拐点.6. 求不定积分⎰++)52(d x x x x.7. 求不定积分⎰+x x x xd ln )1(.8. 求定积分⎰++102d 1arctan x xxx四、(9分) 求曲线⎩⎨⎧>-≤≤=2,620,2x x x x y 与直线0=y ，3=y 所围图形的面积，并求此图形绕y 轴旋转所成旋转体的体积y V 。
五、(9分) 某商品的需求函数为40003=+p Q ，其中Q 为需求量(件)，p 为单价(元)，求：(1)8=p 时的边际需求；(2) 8=p 时的需求弹性；(3)p 为多少时，总收益最大？六、(4分) 设函数)(x f 在]10[，上有连续的导数。
对于]10[，上每一点，均有1)(0<<x f 且1)(≠'x f 。
试证在()1,0内有且仅有一点ξ，使ξξ=)(f .《微积分(上)》试卷1解答一、填空题1. 02.210e )21(lim -→=-=xx x k 3. x x f 2e 2)(--='，22)(ln --='x x f4. 707)7(21)272sin(21)0(-=⋅+==x x y π 5. 2d x y y ∆=-∆6. )(x f ，)2(2x f -7. 28. 拐点)2,2(2-e9. 1-=x 10. 12ln 2)(+=x x f二、单项选择A DBC D三、计算题1. 原式1)sin 1(1cos 1lim22=+-+=∞→x x x x x . 2. 原式21cos 2sin lim cos ln lim 020-=-==→→x x x x x x x . 3. []1)1ln(ln )]([++==x x f f y ，111)1ln(1d d +⋅++=x x x y . 4. 两边取对数，x y y x ln ln =，两边关于x 求导，x y xyy y x y ln ln '+='+，∴ x xy x yxy y y ln ln 22--='5. 2364x x y -='，)1(1212122-=-=''x x x x y ，令0=''y ，得0=x ，1=x ，6. 原式⎰++=52d 2x x x ⎰+++=4)1()1(d 22x x C x ++=21arctan.7. 原式⎰⎰+=)(d ln 21)(ln d ln 2x x x x ⎰⋅-+=x x x x x x d 121ln 21)(ln 21222C x x x x +-+=22241ln 21)(ln 218. 原式102102)(arctan 21)1ln(21x x ++=322ln 212π+=四、325.133232918d )6(2330-=⋅--=--=⎰y y y S⎰--=32d ])6[(y y y V y π.5.58d )1336(32ππ=+-=⎰y y y五、 (1) 34000p Q -=，23p Q -='，192)8(-='Q(2) 3340003pp Q Q p --='=η，44.010948)8(-≈-=η (3) 44000)(p p pQ p R -==，344000)(p p R -='，令0='R ，得10=p ，而0122<-=''p R ， ∴ 当10=p 时，总收益最大。
六、证：(1) 存在性:设x x f x F -=)()(，则)(x F 在]10[，上连续，1)(0<<x f ，∴ []01)1()0()1()0(<-=f f F F ， 由介值定理，)1,0(∈∃ξ，使0)(=ξF ，即ξξ=)(f ；（2）唯一性。
若还有)1,0(∈η，使0)(=ηF ，由罗尔定理，)1,0(∈∃γ，使0)(='γF ，即1)(='γf ，与1)(≠'x f 矛盾，故)(x F 的零点唯一。
微积分试题及答案第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sinlim0=→xx k x 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin)(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xx x +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
3、函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。
（Ａ）23； （Ｂ）32； （C ）1； （D ）0。
4、数列极限=--∞→]ln )1[ln(lim n n n n 。
（Ａ）1； （Ｂ）1-； （C ）∞； （D ）不存在但非∞。
5、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=01cos 000sin )(x x x x x x x x x f ，则0=x是)(x f 的 。
（Ａ）连续点；（Ｂ）可去间断点；（C ）跳跃间断点；（D ）振荡间断点。
6、以下各项中)(x f 和)(x g 相同的是（ ） （Ａ）2lg )(x x f =，x x g lg 2)(=； （Ｂ）x x f =)(，2)(x x g =；（C ）334)(x x x f -=，31)(-=x x x g ；（D ）1)(=x f ，x x x g 22tan sec )(-=。
7、 ||sin lim 0x xx →= （ ）（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （C ） 0； （D ） 不存在。
8、 =-→xx x 10)1(lim （ ）（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （Ｃ） e ； （Ｄ） 1-e 。
9、)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0x f x x →存在的（ ）（Ａ）充分必要条件；（Ｂ） 充分条件；（C ）必要条件；（D ）既不充分也不必要条件.10、 =-+∞→)1(lim 2x x x x （ ）（Ａ） 1； （Ｂ） 2； （C ）21； （D ） 0。
11、设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞→∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则必有（ ）（A ）n n b a <对任意n 成立； （B ）n n c b <对任意n 成立； （C ）极限n n n c a ∞→lim 不存在 ； （D ）极限n n n c b ∞→lim 不存在。