全等三角形压轴题31. 在厶ABC中，BC=AC Z BCA=9GD, P为直线AC上一点，过A作ADLBP于D,交直线BC于Q.(1)如图1,当P在线段AC上时，求证：BP=AQ(2)当P在线段AC的延长线上时，请在图2中画出图形，并求/ CPQ(3)如图3,当P在线段CA的延长线上时，/ DBA = 时，AQ =2BD2. 我们知道三角形的一条中线能将这个三角形分成面积相等的两个三角形，反之，若经过三角形的一个顶点引一条直线将这个三角形分成面积相等两个三角形，那么这条直线平分三角形的这个顶点的对边.如图1, S A ABD=5 ADC,贝V BD=CD成立.请你直接应用上述结论解决以下问题:(1) 已知：如图2,人。
是厶ABC的中线，沿A□翻折△ ADC使点C落在点E, DE交AB1于卩，若厶ADE与△ ADB重叠部分面积等于厶ABC面积的丄，问线段AE与线段BD有4什么关系在图中按要求画出图形，并说明理由.(2) 已知：如图3,在厶ABC中, Z ACB= 90 0, AO2, AB=4，点D是AB边的中点，点P是BC边上的任意一点，连接PD沿PD翻折△ ADP使点A落在E,若1△ PDE与△ PDB S叠部分的面积等于△ ABF面积的-，直接写出BP的值.4o o3. 在厶ABC中，已知D为边BC上一点，若ABC x , BAD y.(1)当D为边BC上一点，并且CD=CA x 40, y 30时，则AB 或“ ”)；AC （填“=”(2)如果把(1)中的条件“ CD=C”变为“ CD=AB，且x，y的取值不变，那么(1)中的结论是否仍成立若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由；(3)若CD= CA =AB请写出y与x的关系式及x的取值范围.(不写解答过程，直接写出结果)4. 在Rt△ ABC中, AC=BC P是BC垂直平分线MN上一动点，直线PA交CB于点E, F是点E关于MN的对称点，直线PF交AB于点D,连接CD交PA于点G.(1)如图1,若P点在△ ABC的边BC上时，此时点P、E、F重合，线段AP上的点Q关于的对称点D恰好在边AB上，连接CQ求证：CQ平分/ ACB(2)如图2,若点P移到BC上方，且/ CAP=，求/ CDP的度数；(3)若点P移动到△ ABC的内部时，线段AE、CD DF有什么确定的数量关系，请画出图形,并直接写出结论：.5. 如图1,已知A ( a, 0), B (0, b)分别为两坐标轴上的点，且a、b满足： 0A=1： 3.22 a b 12a 12b 72 0, OC(1)求A、B、C三点的坐标；(2)若D (1, 0),过点D的直线分别交AB BC于E、F两点，设E、F两点的横坐标分别为X E、X F .当BD平分△ BEF的面积时，求X E+X F的值；(3)如图2,若M (2, 4),点P是x轴上A点右侧一动点，AH L PM于点H,在HM 上取点G,使HG=H,连接CG当点P在点A右侧运动时，/ CGM勺度数是否改变若不变，请求其值；若改变，请说明理由.6. 如图，点D E分别在等边△ ABC勺AB AC上，且CD> BD, AE> EC, AD和BE相交于点 F..(1)若/ BAD=/ CBE 贝V AD BE ;(填“〉”、“=”、“<”)(2)若AD=BE 求证：/ BAD=/ CBE(3)在(2)的条件下，以AB为边作如图所示的等边厶ABG连接FG若FG=11, BF=3,请直接写出线段AF的长度为7. 如图1，已知A( a，0)，B( 0，b) .22(1)当a、b满足a 8a b 8b 32°时，求/ BAO的度数；(2)如图1,在(1)的条件下，点C为线段AB上一点(BC>CA),以点C为直角顶点，0C 为腰作等腰Rt△ OCD连接BD求证：/ BDO M BCO(3)如图2, △ ABO的两条角平分线AE BF交于点Q,若厶ABQ£面积为24,求四边形AFEB的面积.8. 已知：点A、C分别是/ B的两条边上的点，点D E分别是直线BA BC上的点，直线AE、CD相交于点P⑴点D E分别在线段BA BC上①若/ B= 60° (如图1),且AD= BE BD= CE 则/ APD的度数为 __________________②若/ B= 90° (如图2),且AD= BE BD= CE 求/ APD的度数(2)如图3，点D E分别在线段AB BC的延长线上，若/ B= 90° , AD= BC, Z APD= 45°,求证：BD= CE9. 已知A(a , 0)、B(0 , b),且满足2a2+ b2 + 4a—4b= —6,以A为直角顶点，且以AB为腰作等腰直角厶ABC(1) 求C点的坐标(2) 如图，若点C在第二象限，点M在BC的延长线上，且AM= AN AML AN,则CM与BN 存在怎样的关系请予以证明⑶如图，若点C在第二象限，以AB为边在直线AB的另一侧做等边厶ABD连接CD 过A作AF丄BC于F, AF与CD交于点E,试判断线段CE AE、CD之间存在何种数量关系并证明你的结论10. 如图(1),已知A(0,a),B(b,0), 且a,b 满足a2+2ab+b2+ (b+3)2=0,D 为x轴上B点左边一动点，连AD,过A作AE! AD交x轴于F,且AE=AD连BE交y轴于点P.(1)求Z ABO的度数；⑵若AO=3OP求E点的坐标;(3) 如图(2)若C为线段BF(靠近B)的一个三等分点，且/ ACO=6O0试求/ AFB的度数。
11. (1)如图，△ ACB和厶DCE均为等边三角形，点A、D E在同一直线上，连接BE 求证：AD=BE(2)如图2,^ACB和△ DCE均为等腰直角三角形，/ ACB2 DCE=90，点A、D E在同一直线上，DCE边DE上的高，连接BE①求证：2CM+BE=A；E②若将图2中的△DCE绕点C旋转至图3所示位置，①中的结论还成立吗若不成立，写出它们之间的数量关系12. (1)如图1,在厶ABC中，/ ABC的平分线BF交AC于F,过点F作DF// BC,求证：BD=DF．(2)如图2,在厶ABC中，/ ABC的平分线BF与/ A CB的平分线CF相交于F,过点F 作DE// BC,交直线AB于点D,交直线AC于点E.那么BD, CE DE之间存在什么关系并证明这种关系．(3)如图3,在厶ABC中，/ ABC的平分线BF与/ ACB的外角平分线CF相交于F,过点F 作DE// BC,交直线AB于点D,交直线AC于点E.那么BD CE DE之间存在什么关系。
请写出你的猜想．(不需证明)13. 已知在等腰△ ABC中, AB=AC在射线CA上截取线段CE,在射线AB上截取线段BD连接DE DE所在直线交直线BC与点M请探究：(1)如图(1),当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论。
(2)如图(2)，当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE则(1)中的结论还成立吗如果成立,请证明；如果不成立,说明理由；(3)如图(3)，当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上(点D不与A, B重合)，DE所在直线与直线BC交于点M若CE=2 BD,请直接写出线段MD与线段ME的数量关系。
14. 已知两个共一个顶点的等腰直角△ ABC和等腰直角厶CEF, Z ABC=/ CEF=90，连接AF, M是AF的中点，连接MB ME(1) 如图1,当CB与CE在同一直线上时，求证：MB/ CF;(2) 如图1,若CB=a, CE=2a 求BM, ME的长；(3) 如图2,当Z BCE=45 时，求证：BM=ME15. 如图，△ ABC中，AB=AC点P是三角形右外一点，且Z APB Z ABC(1) 如图1,若Z BAC=60，点P恰巧在Z ABC的平分线上，PA=2求PB的长;(2) 如图2,若Z BAC=60，探究PA PB, PC的数量关系，并证明；(3) 如图3,若Z BAC=120，请直接写出PA PB PC的数量关系.16•如图，若△ ABC和厶ADE为等边三角形，M,N分别为EB,CD的中点，易证：CD BE , △ AMN是等边三角形.(1)当把△ ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD BE是否仍然成立若成立,请证明；若不成立，请说明理由；(2)当厶ADE绕A点旋转到图11的位置时，△ AMN是否还是等边三角形若是，请给出证明，若不是，请说明理由．17. 如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H.(1)证明：△ ABG = △ ADE ;(2)试猜想BHD的度数，并说明理由；(3)将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转(0°v BAE v 180°)，设△ ABE的面积为S1 , △ ADG的面积为S2，判断S1与S2的大小关系，并给予证明.D18.直线CD经过的顶点C, CA=CB E、F分别是直线CD上两点，且.（1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题:①如图1,若BCA 90°, 90°，则（填“”“”或“”号）；②如图2,若，若使①中的结论仍然成立，则与应满足的关系是（2）如图3,若直线CD经过的外部，，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系, 并给予证明.19.如图1,已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE ,GC（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2,连接AE和GC •你认为（1）中的结论是否还成立若成立，给出证明；若不成立，请说明理由•20. 已知Rt ABC 中，AC BC , C 90 , D 为AB 边的中点，EDF 90 , EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB （或它们的延长线）于E、F .成立若成立，请给予证明；若不成立, 出你的猜想，不需证明.当EDF绕D点旋转到DE AC于E时（如图1），易证S D EF S CEF ABC2EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否SDEF , S CEF , S ABC又有怎样的数量关系请写图1 图2 图321. 如图1,四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。
直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A, B重合)，另一条直角边与Z CBM的平分线BF相交于点F.⑴如图14—1,当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是；③请证明你的上述两猜想.⑵ 如图14—2,当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N,使得NE=BF进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明22. 在Rt△ ABC中，AC= BC, Z ACB= 90°, D 是AC的中点，DGL AC交AB于点G.(1)如图1, E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF连结EF与CF, 过点F作FH丄FC,交直线AB于点H.①求证：DG=DC②判断FH与FC的数量关系并加以证明.(2)若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上, (1)中的其他条件不变，借助图 2 画出图形。