2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{}{}5,4,3,7,5,4,2,7,6,5,4,3,2,1===B A U ，则()()U U A B ⋃痧＝（ ）（A ）{}6,1 （B ）{}5,4 （C ）{}7,5,4,3,2 （D ）{7,6,3,2,1}（2）在等差数列{}n a 中，若4612a a +=，n S 是数列的{}n a 的前n 项和，则9S 的值为（ ） （A ）48 (B)54 (C)60 （D ）66（3）过坐标原点且与圆2254202x y x y +-++=相切的直线方程为（ ） （A ）x y x y 313=-=或 （B ）x y x y 313-==或（C ）x y x y 313-=-=或 （D ）x y x y 313==或（4）对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （ ）（A ）平行 （B ）相交 （C ）垂直 （D ）互为异面直线（5）若nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）（A ）－540 （B ）－162 （C ）162 （D ）540（6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在[)5.64,5.56的学生人数是（ ） （A ）20 （B ）30 （C ）40 （D ）50 （7）与向量7117,,,2222a b ⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的夹角相等，且模为1的向量是（ ） （A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54（B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,5453,54或（C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322（D ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,32231,322或 （8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（ ）（A ）30种 （B ）90种 （C ）180种 （D ）270种 （9）如图所示，单位圆中AB 的长为x ，()f x 表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数()y f x =的图像是（ ）（10）若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-则2a b c ++的最小值为（ ）（A 1 （B 1 （C ）2 （D ）2 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

把答案填写在答题卡相应位置上（11）复数3123ii ++的值是 。

（12）213(21)lim 21n n n n →∞+++-=-+ 。

（13）已知()33,,,sin ,45παβπαβ⎛⎫∈+=- ⎪⎝⎭12sin()413πβ-=，则cos()4πα+= 。

（14）在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a = 。

（15）设0,1a a >≠，函数2l g (23)()xx f x a -+=有最大值，则不等式()2log 570a x x -+>的解集为 。

（16）已知变量,x y 满足约束条件14,2 2.x y x y ≤+≤-≤-≤若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点()3,1处取得最大值，则a 的取值范围为 。

三、解答题：三大题共6小题，共76分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分13分）设函数2()sin f x x xcos x ωωωα++（其中0,R ωα>∈），且()f x 的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π。

（I ）求ω的值。

（II ）如果()f x 在区间5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦α的值。

（18）（本小题满分13分）某大夏的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠。

若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求： （I ）随机变量ξ的分布列;（II ）随机变量ξ的期望;（19）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，//AB CD ,2,AD CD AB ==E 、F 分别为PC 、CD 中点。

（I ）试证：CD ⊥平面BEF ;（II ）高PA k AB =⋅，且二面角 E BD C --的平面角大小30，求k 的取值范围。

（20）（本小题满分13分）已知函数()22()f x x bx c e =++，其中,b c R ∈为常数。

（I ）若241b c >-，讨论函数()f x 的单调性； （II ）若24(1)b c ≤-，且()lim 4x f x cx→∞-=，试证：62b -≤≤（21）（本小题满分12分）已知定义域为R 的函数()f x 满足()22()().ff x xx f x x x -+=-+（I ）若(2)3f =，求(1)f ;又若(0)f a =，求()f a ;（II ）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式（22）（本小题满分12分）已知一列椭圆222:1,01n n ny c x b b +=<<。

1,2n =……。

若椭圆n C 上有一点n P ，使n P 到右准线n l 的距离n d 是{}n n p F 与{}n n P G 的等差中项，其中n F 、n G 分别是n C 的左、右焦点。

（I）试证：2n b ≤()1n ≥; （II）取2n b n =+，并用n S 表示n n n P F G ∆的面积，试证：12S S <且1n n S S +> ()3n ≥2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）答案（1）已知集合，U ={1，3，6}，U={1，2，6，7}，则()()U UA B⋃痧＝{1，2，3，6，7}，选D.（2）在等差数列{}n a中，若4612a a+=，则56a=，nS是数列的{}n a的前n项和，则9S=1959()92a aa+==54，选B.（3）过坐标原点的直线为y kx=，与圆2254202x y x y+-++=相切，则圆心(2，－1)到直线方程的距2=，解得1或33k k==-，∴切线方程为xyxy313=-=或，选A.（4）对于任意的直线与平面α，若l在平面α内，则存在直线m⊥l；若l不在平面α内，且l⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l，若l不在平面α内，且l于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m垂直于它的射影，则m与l垂直，综上所述，选C.（5）若nxx⎪⎪⎭⎫⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为2n=64，6n=，则展开式的常数项为3336()()C⋅=－540，选A.（6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：根据该图可知，组距=2，得这100名学生中体重在[)5.64,5.56的学生人数所占的频率为(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4，所以该段学生的人数是40，选C.（7）与向量7117,,,2222a b⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的夹角相等，且模为1的向量为(x，y)，则22171172222x yx y x y⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩，解得4535xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4535xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，选B.（8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有12542215C CA⋅=种方法，再将3组分到3个班，共有331590A⋅=种不同的分配方案，选B.（9）如图所示，单位圆中AB的长为x，()f x表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，当AB的长小于半圆时，函数()y f x=的值增加的越来越快，当AB的长大于半圆时，函数()y f x=的值增加的越来越慢，所以函数()y f x=的图像是D.（10）若,,0a b c>且()4a abc bc+++=-所以24a ab ac bc+++=-，22222114(44422)(4442)44a ab ac bc a ab ac bc bc a ab ac bc b c -=+++=+++++++++≤∴222)(2)a b c ++≤，则(2a b c ++)≥2，选D.二、填空题：每小题4分，满分24分。

（11）171010i + （12）12 （13）5665- （14）123n +- （15）()2,3 （16）1a >（11）复数3123i i ++=12(12)(3)1731010i i i ii ++++==-。

（12）213(21)lim 21n n n n →∞+++-=-+221lim 212n n n n →∞=-+。

（13）已知()33,,,sin ,45παβπαβ⎛⎫∈+=- ⎪⎝⎭12sin()413πβ-=，3(,2)2παβπ+∈，3(,)424πππβ-∈，∴ 4cos()5αβ+=，5cos()413πβ-=-，则cos()4πα+=cos[()()]4παββ+--=cos()cos()sin()sin()44ππαββαββ+-++- =4531256()()51351365⋅-+-⋅=- （14）在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，∴ 132(3)(1)n n a a n ++=+≥，即{3n a +}是以134a +=为首项，2为公比的等比数列，113422n n n a -++=⋅=，所以该数列的通项n a =123n +-.（15）设0,1a a >≠，函数2lg(23)()xx f x a -+=有最大值，∵2lg(23)lg 2x x -+≥有最小值，∴ 0<a <1，则不等式()2log 570a x x -+>的解为22570571x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得2<x <3，所以不等式的解集为()2,3.（16）已知变量,x y 满足约束条件14,2 2.x y x y ≤+≤-≤-≤ 在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD ，其中A(3，1)，1,1AD AB k k ==-，目标函数z ax y =+（其中0a >）中的z 表示斜率为－a 的直线系中的截距的大小，若仅在点()3,1处取得最大值，则斜率应小于1AB k =-，即1a -<-，所以a 的取值范围为(1，+∞)。