绝密★启用前数学试卷学校：___________题号 一 二 三 总分 得分注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一. 填空题1. 已知集合{1,3,}A m =，{1,}B m =，A B A =，则非零实数m =2. 不等式2log (21)1x -<的解集为3. 已知sin()2m πα+=，则cos(2)πα-=4. 若满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为5. 已知1()y f x -=是函数3()f x x a =+的反函数，且1(2)1f -=，则实数a =6. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，已知23a =，2c =，sin sin 0020cos 01C B b c A -=，则△ABC 的面积为7. 已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=8. 在平面直角坐标系O 中，O 为原点，(1,0)A -，(0,3)B ，(3,0)C ，动点D 满足，则||OA OB OD ++的最大值为9. 我校5位同学报考了北京大学“强基计划”第I 专业组，并顺利通过各项考核，已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类、物理学类、力学类这三个专业中的某一个专业，则这三个专业都有我校学生的概率是 （结果用最简分数表示） 10. 设(,)n n n P x y 是直线2()1nx y n n +=∈+*N 与圆222x y +=在第四象限的交点，则极限1lim 1nn ny x →∞+=- 11. 设1x 、2x 分别是函数()x f x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则122020x x +的取值范围是12. 已知12a =，点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图像上()n ∈*N ，112n n n b a a =++，则数列{}n b 的前n 项和n S =二. 选择题13. 设复数z 满足3(2i)12i z +⋅=-，则复数z 对应的点位于复平面内（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限14. 若动点A 、B 分别在直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为（ ） A. 22 B.522C. 32D. 72215. 椭圆221168x y +=上有10个不同的点1210,,,P P P ⋅⋅⋅，若点T 坐标为(1,0)，数列{||}n TP (1,2,,10)n =⋅⋅⋅是公差为d 的等差数列，则d 的最大值为（ ）A.29 B. 89C. 57-D. 57+16. 已知x ∈R ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数[]()(0)x f x a x x=-≠有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 34(,]45 B. 43[,)32 C. 33(,)42D. 3443(,][,)4532三. 解答题17. 如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，AD 与平面BCD 所成的角为30°，且2AB BC ==. （1）求三棱锥A BCD -的体积；（2）设M 为BD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18. 已知函数()||2f x x x a x =-+.（1）当3a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）对任意[1,2]x ∈，当函数()f x 的图像恒在函数()21g x x =+图像的下方时，求实数a 的取值范围.19. 如图，有一块扇形草地OMN ，已知半径为R ，2MON π∠=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD 作为儿童乐园使用，其中点A 、B 在弧MN 上，且线段AB 平行于线段MN . （1）若点A 为弧MN 的一个三等分点，求矩形ABCD 的面积S ； （2）当A 在弧MN 上何处时，矩形ABCD 的面积S 最大？最大值为多少？20. 已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60°，直线l 交双曲线于A 、B 两点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均存在，求证：PA PB k k ⋅ 为定值；（3）若l 过双曲线右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎样转动，都有成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.21. 如果一个数列从第2项起，每一项都与它的前一项的差都大于2，则称这个数列为“H -数列”. （1）若数列{}n a 为“H -数列”，且113a m =-，21a m=，34a =，求实数m 取值范围； （2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“H -数列”，且其前n 项的和n S 满足2()n S n n n <+∈*N ？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“H -数列”，23n n b a =，5(1)2n n n a c n -=+⋅，当数列{}n b 不是“H -数列”时，试判断数列{}n c 是否为“H -数列”，并说明理由.参考答案及其解析一. 填空题1. 32. 13(,)223. 212m -4. 35. 16. 237. 7-8. 179.5081 10. 1 11. (2021,)+∞ 12. 22131n n S =-- 【第10题解析】改编自2015年上海高考理18当n →∞时，直线方程无限趋近于直线21+=x y ，直线21+=x y 与圆222x y +=在第四象限的交点坐标为(1,1)-，11+-n n y x 表示点(,)n n x y 与点(1,1)-连线的斜率， 当n →∞时，(,)n n x y 无限趋近于点(1,1)-，因此，极限1lim1+-n n ny x →∞实际上就是圆222x y +=上一点(1,1)-处切线2-=x y 的斜率，计算得斜率为1．【第11题解析】1()0x x f x x a a x -=-=⇒=，1()log 10log a a g x x x x x=-=⇒=， ∴1x 为x y a =与1y x =交点111,A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的横坐标，其中1(0,1)x ∈， 2x 为log a y x =与1y x =交点221,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的横坐标，其中2(1,)x ∈+∞，又x y a =与log a y x =互为反函数，∴A B 、关于y x =对称，∴211x x =， ∴121120202020+=+x x x x ，由于1(0,1)x ∈，∴122020(2021,)+∈+∞x x ．【第12题解析】由题意，得212+=+n nn a a a ，∴211(1)++=+n n a a ，两边取常用对数，得1lg(1)2lg(1)++=+n n a a ，∴{lg(1)}+n a 是以lg3为首项，2为公比的等比数列，∴112lg(1)2lg3lg3--+=⋅=n n n a ，从而1231-=-n n a ，又211111112(2)22+⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭n n n n n n n a a a a a a a ，∴11122+=-+n n n a a a ， ∴11111121122++⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭n n n n n n n n b a a a a a a a ， ∴2122311111111111222131++⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭nn n n n S a a a a a a a a ． 二. 选择题13. A 14. C 15. C 16. D【第15题解析】设椭圆上一点(,)P x y ，其中221168+=x y 且[4,4]∈-x ，则2222221||(1)(1)81(2)7[7,25]162⎛⎫=-+=-+-=-+∈ ⎪⎝⎭x T P x y x x ，∴||[7,5]∈T P ，∴max min max ||||571019--==-T P T P d ，选C ． 【第16题解析】即[]()(0)=≠x g x x x与=y a 的图像有且仅有3个不同的交点．(0,1)∈x 时，[]0=x ，()0=g x ；[1,2)∈x 时，1()=g x x ；[2,3)∈x 时，2()=g x x ；如图，易得3443,,4532⎛⎤⎡⎫∈ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭a ，选D ．三. 解答题 17.（1）42；（2）3arccos . 18.（1）5(,]2-∞和[3,)+∞；（2）322a <<. 19.（1）如图，作⊥OH AB 于点H ，交线段CD 于点E ，连接OA 、OB ，∴6AOB π∠=，…2分∴2sin,cos1212ππ==A B R OH R ，1sin 212π===OE DE A B R ，∴cos sin 1212ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭EH OH OE R …4分222sincos sin 2sin cos 2sin 121212121212ππππππ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭S A B EH R R R 2231sin cos 1662ππ-⎛⎫=+-=⎪⎝⎭R R .…6分 （2）设02πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭A OB …7分∴2sin ,cos 22θθ==A B R OH R ，1sin 22θ==OE A B R∴cos sin 22θθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭EH OH OE R …9分222sin cos sin 2sin cos 2sin 222222θθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭S A B EH R R R()22sin cos 12sin 14πθθθ⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦R R …11分∵0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3,444πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭…12分 ∴42ππθ+=即4πθ=时，13分()2max 21=-S R ，此时A 在弧MN 的四等分点处，答：当A 在弧MN 的四等分点处时，()2max 21=-S R …14分20.（1）由题意得：224913⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩a b b a…2分解得：2213⎧=⎨=⎩a b …3分∴双曲线C 的方程为221.3-=y x …4分（2）证明：设A 点坐标为00(,)A x y ，则由对称性知B 点坐标为00(,)--B x y …5分 设(,)P x y ，则2200022000-+-⋅=⋅=-+-PA PBy y y y y y k k x x x x x x …7分 2200221313⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩y x y x ，得2222003()-=-y y x x …8分∴2202203-⋅==-PA PB y y k k x x …10分 （3）当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为(2)=-y k x ， 与双曲线方程联立消y 得：2222(3)4430--++=k x k x k ，∴2300⎧-≠⎨∆>⎩k 得23≠k 且2122212243433k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪⋅=⎪-⎩……12分设11(,)A x y 、22(,)B x y ∵212122222121222222222()()(2)(2)(1)(2)()4(1)(43)4(2)433=--+--=+-+++++++=-++--x m x m k x x k x x k m x x m k k k k k m m k k k2223(45)3-+=+-m k m k…14分 假设存在实数m ，使得，∴2223(1)(45)0-+--=m k m m 对任意的23≠k 恒成立，∴2210450⎧-=⎪⎨--=⎪⎩m m m ，解得1=-m ．。