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2019-2020学年上海市七宝中学高一下学期期末数学试题(解析版)



a1 a3
a5 a7
a9 a11
1 q2
1

4
1
故答案为:
4
【点睛】
一般地,如果an 为等比数列, Sn 为其前 n 项和,则有性质:
(1)
am an
qmn ;
(2)若 m, n, p, q N*, m n p q ,则 aman apaq ;
(3)公比 q 1时,则有 Sn A Bqn ,其中 A, B 为常数且 A B 0 ;
a21
a21
a21
故 S1 , S2 ,…, S20 , S21 中最大项和最小项分别为 S10 ; S11 .
a1 a2
a20 a21
a10 a11
故选:C.
2
【点睛】 ,
本题考查等差数列的性质、数列的最大项、最小项等,注意把数列的前 n 和的符号转化
为中间项的符号,另外注意不等式性质的正确使用,本题属于难题.
【详解】
①由
kan1
an1an
an
0
得 an1
k
an an
,当 k
0
时, an1
1, n N * ,因为 a1
1,
故an 为常数列;故①正确;
②当 k
1 时,由 an1 an1an an
1 0得
an1
1 an
1 ,所以 1 an+1
-
1 an
= 1 为常数;因
1 此数列 为等差数列;故②正确;
所以数列an 以 2 为周期,
又 a1 cos 1, a2 cos 2 1 ,
所以 S2020 1010 a1 a2 0 .
故答案为: 0 .
【点睛】
本题主要考查求数列的和,根据数列的周期性,以及分组求和的方法即可求解,属于基
础题型.
10.方程
sin
x
1 4

2
,
3 2
上的解为
果. 【详解】
在 ABC 中,若 A , B 2 A tan B ;
6
3
3
三角形中大边对大角,此时 A B ,所以 a b ,根据正弦定理得到 sin A sin B , 所以由“ tan A tan B ”不能推出“ sin A sin B ”;
S10 S9 S1 0 , S10 S11 S20 0, S21 0 ,
而 a1 a2 a10 0 a11 a21 ,
故 S10 S9 S1 0 , S11 S20 0, S21 0 ,
a1 a2 a10 0, 0 a11 a21
【详解】
当 n 1 时,等式左边为1 a . 故答案为:1 a .
【点睛】 本题主要考查数学归纳法,属于基础题型.
8.已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 4 , S3 9 ,则 S4 ________.
【答案】16
【解析】先设等差数列an 的公差为 d ,根据题中条件,列出方程求出首项和公差,
2019-2020 学年上海市七宝中学高一下学期期末数学试题
一、单选题
1.已知数列an 是等比数列,则下列数列中:①
an3
;②
2an
1 ;③ ,等比数
2an
列的个数是( )
A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个
【答案】C
【解析】根据等比数列的定义可得①③中的数列为等比数列,从而可得正确的选项.
型.
12.已知
f
x
2 cos 2x

2
, 2
,将
f
x
的图像向右平移
6
个单位
得到 g x 的图像,若 g x g x 0 ,则 ________.
【答案】 6
【解析】先由题意,得到
g
x
2 cos
2x
3
,再由函数奇偶性,根据题中条件,
7
即可得出结果.
【详解】
将 f x 2 cos 2x 的图像向右平移 个单位得到 g x 的图像, 6
(4) Sn , S2n Sn , S3n S2n , 为等比数列( Sn 0 )且公比为 qn .
7.用数学归纳法证明:1 a a2 an 1 an1 a 1, n N * ,在验证 n 1 时, 1 a
等式左边为________.
【答案】1 a 【解析】将 n 1 代入左边的式子,即可得出结果.
若 sin A sin B ,根据正弦定理,得到 a b ,根据三角形中大边对大角得 A B ,若 A
为钝角,则 tan A 0 ,不能推出 tan A tan B ; 综上,“ tan A tan B ”是“ sin A sin B ”的既不充分也不必要条件.
故选:D. 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的概念,涉及正弦定理,属于基础题型.
x
________.
【答案】 arcsin 1 4
【解析】根据反三角函数的定义以及诱导公式可求得方程
sin
x
1 4

2
,
3 2
上的解.
【详解】
arcsin
1 4
0,
2
,则
arcsin
1 4
2
,
,且
sin
arcsin
1 4
sin
arcsin
1 4
1 4

6
因此,方程 sin
所以
g
x
2 cos
2x
3

又 g x g x 0 ,所以 g x 为奇函数,
因此只需 k , k Z ,则 5 k , k Z ,
3
2
6

2
,
2
,所以
6
.
故答案为: . 6
【点睛】
本题主要考查由三角函数的奇偶性求参数,考查三角函数的平移原则,属于基础题型.
an
③由
kan1
an1an
an
0 得 an1
k
an an
,因为 a1
1,所以 a2
1 1 k
,则
1
a3
k
1
k 1
k2
1 k
1 ,若 a3
a1
,则
1
1 k
k
2
1,解得 k (1, 0) ;故③正
1 k
确;
3
④由③得 a4
k
a3 a3
k3
1 k2 k
1 ,归纳得 an
k n1
1 kn2 k
【答案】D
【解析】根据题意,令 k 0 ,即可判定an 为常数列,即①正确; k 1 时,原式可
化为
1 an1
1 an
1 ,进而可判断②正确;根据递推式求出 a3 ,由 a3
a1 得出不等式求
解,即可判定③正确;先求出 a4 ,归纳得到 an
k n1
1 kn2
k
,由题中条件,
1
得到 an an1 ,即可判定④正确.
3.在等差数列
an
中,
Sn

an
的前 n
项和,满足
S20
0

S21
0
,则有限项数列
S1 a1

S2 ,…, S20 , S21 中,最大项和最小项分别为( )
a2
a20 a21
A. S21 ; S20 a21 a20
B.
S21 a21

S11 a11
C.
S10 a10

S11 a11
D. S10 ; S20 a10 a20
由不等式性质可得 0
S1 a1
S2 a2
S2 a2
L
S10 a10
即0 1
S1 a1
S2 a2
S2 a2
L
S10 a10
同理 S11 S12 S20 0 ,故 S11 S12 S20 0 ,
a11
a12
a20
a11 a12
a20
而 0 S21 S20 a21 1 S20 1,
9.已知数列an 的前 n 项和为 Sn , an cos(n ) , n N * ,则 S2020 ________.
【答案】 0
【解析】根据题意,先确定数列an 的周期,再由分组求和,即可得出结果.
【详解】
由 an cos(n ) 得 an2 cos n 2 cos n an ,
b1
b2
b1 b2
故选:C. 【点睛】
本题考查等比数列的判断,一般根据等比数列的定义去判断,本题属于基础题.
2.在 ABC 中,“ tan A tan B ”是“ sin A sin B ”的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】根据充分条件与必要条件概念,以及正弦定理与三角形的性质,即可判定出结
【答案】 (2, )
【解析】根据
Sn
求出
an
1, n 1 2n 3, n
2
,再由数列是减数列,得到
a1
a2
,进而可
求出结果.
【详解】
因为数列an 的前 n 项和为 Sn , Sn n2 2n , n N * ,
所以 an Sn Sn1
n2 2n
n
12
2
n
1
2n
x
1 4

2
,
3 2
上的解为
x
arcsin
1 4
.
故答案为: arcsin 1 . 4
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