七宝中学高三
数学模拟试题（理科）
一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
１．为虚数单位，复数的虚部是＿＿＿＿．
2．设函数若函数存在两个零点，则实数的取值范围是＿＿．
3．在极坐标系中，为曲线上的点，为曲线上的点，则线段长度的最小值是＿＿．
4.阅读如右图所示的程序框图，如果输入的的值为6，那么运行相应程序，输出的的值为＿＿．
5．若，则方程的解为＿＿＿＿．
6．已知正方形的四个顶点分别为，，，，点
分别在线段上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是＿＿＿．
7．年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：
健康指数 2 1 0 -1
60岁至79岁的人
120 133 34 13
数
80岁及以上的人
9 18 14 9
数
其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，-1代表“生活不能自理”.按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位.则被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率是_____（用分数作答）.
8．已知数列{}的通项公式为，则
+++的最简表达式为_____.
9 ．平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是_________________.
10．祖暅原理对平面图形也成立，即夹在两条平行线间的两个平面图形被任意一条平行于这两条直线的直线截得的线段总相等，则这两个平面图形面积相等.利用这个结论解答问题：函数、
与直线所围成的图形的面积为_______.
11．对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：对于n是偶数时，
n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于n是奇数时，n!!=n·(n －2)·(n－4)……5×3×1．
现有如下四个命题：①(2018!!)·(2018!!)=2018!；②
2018!!=21007·1007!；③2018!!的个位数是0；④2018!!的个位数不是5．正确的命题是________．
12．已知关于t的一元二次方程.当方程有实根时，则t的取值范围______.
13．已知是内部一点，，记、、的面积分别为、、，则________.
14. 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）：与：
，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别
相同；②线段，其中，则称与互为正交点列.则：的正交点列为
二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．
15．已知集合，则集合的非空真子集数为（）（A）14 （B） 512 （C）511 （D）510 16．已知函数.若存在，使
成立，则称为函数的一个“生成点”.函数
的“生成点”共有（）
（Ａ） 1个（Ｂ）2个（Ｃ）3个（Ｄ）4个17. 如图，梯形中，,,, ,将沿对角线折起．设折起后点的位置为，使二面角为直二面角.给出下面四个命题：
①；②三棱锥的体积为；
③平面；④平面平面.
其中正确命题的序号是（）
（A）①②（B）③④（C）①③（D）②④
18．已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且
，则的最小值为（）
（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）
三、解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．
19．（本题12分）
圆形广场的有南北两个大门在中轴线上，东、西各有一栋建筑物与北门的距离分别为30米和40米，且以北门为顶点（视大门和建筑物为点）的角为，求广场的直径（保留两位小数）.
20．（本题14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
设底面直径和高都是4厘米的圆柱的内切球为.
（1）求球的体积和表面积；
（2）与底面距离为1的平面和球的截面圆为，是圆内的一条弦，其长为，求两点间的球面距离.
21．（本题14分）本题共有3小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分6分.
如图，设椭圆两顶点，短轴长为4，焦距为2，过点的直线与椭圆交于两点．设直线与直线交于点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段中点的轨迹方程；
（3）求证：点的横坐标为定值.
22．（本题16分）本题共有3小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
数列满足,且，是的前和.
（1）求；
（2）求；
（3）求.
23．（本题18分）本题共有3小题，第1小题满分4 分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知函数，为常数，且.
（1）证明函数的图象关于直线对称；
（2）当时，讨论方程解的个数；
（3）若满足，但，则称为函数的二阶周期点，则是否有两个二阶周期点，说明理由.
七宝中学５月高三数学模拟试题（理科）理科答案
1、；
2、；
3、2；
4、5；
5、或；
6、
；7、3/5；8、；9、直线；10、1；11、①②③；12、；13、1：2：3；14、 DBBA 19．设南、北门分别为点A、B，东、西建筑物分别为点C、D.
在中，，. 5分
由于为的外接圆直径，所以
.
所以广场直径约为41.63米. 12分
20．（1），…… 3分
…… 6分
（2），…… 12分
所以AB两点间的球面距离为. …… 14分
21．（1）椭圆方程为. …… 3分
（2）设，，，则①，②
①②得，…… 5分
因，
所以，即（）. ……8分
用代入法求解酌情给分。

（3）设直线的方程为：，直线的方程分别为：，两式联立，消去得. (10)
分
由①②得
，即. ③
又三点共线，则，，④
②入③得，
⑤
把③、④代入⑤整理得（定值）. ……14分22．（1）.……2分
（2）由（1）猜想：.……3分
用数学归纳法证明：
①时已经验证.
②时，猜想如上，则
，即；
，
即；……5分
，即；
，即. 由①、②可知，当时，猜想成立. ……7分
从而………… 8分
解2 由已知可得
，
同理可得，
，
，……4分-得
-得
-得，即.
因，所以.
把代入得，把代入得，把代入得.
即. ……6分
所以从而………… 8分
（3）当时，；………10分
当时，
；……11分
当时
；……13分
当时，
. ……15分
综合上述，…… 16分
23．（1）设点为上任意一点，则
，
所以，函数的图象关于直线对称. ……4分
（2）当时， (8)
分
如图，当时，方程有2个解；当时，方程有3个解；当时，方程有4个解；当时，方程有2个解. ……9分
综合上述，当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解；当时，方程有4个解. ……10分
（3）因，
所以，当，.
若，即，；
若，即，.
当，同理可得，，；，. 所以，……14分
从而有四个解：.……16分
又，
，所以只有是二阶周期点. ………… 18分。