因式分解知识点总结及典型试题知识点一：因式分解的总体思路第一步：定项（以加减号为准，区分三项以下的和三项以上的两种因式分解）第二步：三项以下的要观察是否有公因式，有公因式先公因式提再分解。
第三步：三项以上的要分组，分组后再用公式法分解。
第四步：用公式法分解（如果是两项用平方差；三项用完全平方或十字相乘法）知识点二：公因式确定方法：各项中系数取最大公因数，相同字母取最低次幂，乘起来作为公因式1．（2016•平南县二模）分解因式m﹣ma2的结果是（）A．m（1+a）（1﹣a）B．m（1+a）2C．m（1﹣a）2D．（1﹣a）（1+a）2．（2016春•东湖区校级月考）计算：22014﹣（﹣2）2015的结果是（）A．22015B．22014C．﹣22014D．3×220143．（2015•菏泽）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2 C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）4．（2015•宜宾）把代数式3x3﹣12x2+12x分解因式，结果正确的是（）A．3x（x2﹣4x+4）B．3x（x﹣4）2C．3x（x+2）（x﹣2）D．3x（x﹣2）2 5．（2015•长沙校级自主招生）多项式a n﹣a3n+a n+2分解因式的结果是（）A．a n（1﹣a3+a2）B．a n（﹣a2n+a2）C．a n（1﹣a2n+a2）D．a n（﹣a3+a n）6．（2015•杭州模拟）下列代数式3（x+y）3﹣27（x+y）因式分解的结果正确的是（）A．3（x+y）（x+y+3）（x+y﹣3）B．3（x+y）[（x+y）2﹣9]C．3（x+y）（x+y+3）2D．3（x+y）（x+y﹣3）27．（2016•温州校级一模）多项式x2﹣1与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）A．x﹣1B．x+1C．x2﹣1D．（x﹣1）28．（2016•赵县模拟）若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（）A．﹣15B．15C．2D．﹣89．-6xyz+3xy2-9x2y的公因式是（）A．-3x B．3xz C．3yz D．-3xy10.（1）m（a-2）+n（2-a）（2）（y-x）2+2x-2y．11．（2014春•玉环县期中）分解因式：x3﹣2x2﹣8x=．12．（2014春•诸城市校级月考）分解因式：x3﹣4x2﹣21x=．13．（2013秋•瑞安市校级期末）分解因式a3﹣a2﹣2a=．14．（2013•南充模拟）分解因式：2x2﹣2x﹣12=．15．（2015春•文昌校级期中）分解因式：x4﹣3x3﹣28x2=知识点三：平方差公式使用的条件：前提是两项；必须是平方的形式；平方的两项符号必须相反；只有具备上述三个条件才能平方差公式。
1．（2016•富顺县校级模拟）下列各式能用平方差公式分解因式的有（）①x2+y2；②x2﹣y2；③﹣x2﹣y2；④﹣x2+y2；⑤﹣x2+2xy﹣y2．A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2016春•梅州校级月考）下面哪个式子的计算结果是9﹣x2（）A．（3﹣x）（3+x）B．（x﹣3）（x+3）C．（3﹣x）2D．（3+x）23．（2016•天门模拟）分解因式（2x+3）2﹣x2的结果是（）A．3（x2+4x+3）B．3（x2+2x+3）C．（3x+3）（x+3）D．3（x+1）（x+3）4.把x 3-xy 2分解因式的结果是（ ）A ．x （x 2-y 2）B ．x （x-y ）2C ．x （x-y ）（x+y ）D ．x （x+y ）25．因式分解：（1）x 2-xy （3）3y 2-27 （1）a 2-4b 2．6．把下列各式在实数范围内分解因式： （1）a 2-7； （2）x 3-2x ； （3）x 4-25． （4）x 4-9； （5）3x 2-5．7、若|x+y -5|+(x -y -3)2=0，则x 2-y 2的结果是（ ）A.2B.8C.15D.无法确定知识点三：完全平方式的使用条件：前提三项；其中两项是平方形式，一项是±2ab 形式；平方形式的两项必须同号，否则不能此方法。
第一种：系数为１的完全平方式（1）25102+-x x 解：原式=x 2＋2⨯（ ）（ ）＋（ ）2 =（ ）2（2）2816a a ++解：原式=a 2＋2⨯（ ）（ ）＋（ ）2 =（ ）2 （3）442+-a a 解：原式=a 2-2⨯（ ）（ ）＋（ ）2 =（ ）2 （4）21236a a ++解：原式=（ ）2＋2⨯（ ）（ ）＋（ ）2=（ ）2 （5）49142+-x x 解：原式=（ ）2＋2⨯（ ）（ ）＋（ ）2=（ ）2 (6) 81182+-y y 解：原式=（ ）2＋2⨯（ ）（ ）＋（ ）2=（ ）2 第二种：系数不为的完全平方式： （1）2249284a ab b -+ （2）2225204x xy y -+ （3）41242++x x（4）962-+-x x （5） (6)（m +n ）2－6（m +n ）+9(7)－4xy －4x 2－y 2 (8) 2x 3y 2－16x 2y +32x (9)4(2a ＋b )2－12(2a ＋b )＋9（10）()()244x y x y ++++ （11）ab b a 4)(2-+ （12）m mx mx 4842-+-完全平方式的应用：（1）当a 、b 为何值时，多项式a 2+b 2-4a+6b+13的值为零?(2) 当a 、b 为何值时，多项式a 2+b 2-4a+6b+18有最小值，最小值是多少 (3)（本题6分）求证：无论x ，y 为何有理数，多项式x 2＋y 2－2x ＋6y ＋16的值恒为正数． 知识点四：十字相乘法：如果是三项，不能用完全平方式分解，很可能用十字相乘法。
十字相乘法分两种：第一种是二次项系数为1的;第二种二次项系数不为1的。
第一种是二次项系数为1的：最后一项中的数（不带符号）分解质因数并作出选择；如果符号是正，选择两质因数相加结果等于一次项系数的（不包括符号）,一次项系数为负，则同为负，一次项系数为正，则同为正；如果是负数，分解1102524+-x x质因数后相减，选择哪个等于一次项系数的哪组质因数，负数只能分解为一正一负，一次项的符号与大数一致。
1．（2016春•常州期中）多项式x2﹣4x﹣12可以因式分解成（）A．x（x﹣4）﹣12B．（x﹣2）（x+6）C．（x+2）（x﹣6）D．（x+3）（x﹣4）2（2014•怀化模拟）分解因式：x2﹣x﹣2=．3．（2014秋•平南县期末）因式分解：x2﹣x﹣12=．4．（2014秋•和平区期末）分解因式x2﹣7x+12=；5．（2016•黔东南州）分解因式：x3﹣x2﹣20x=．6．（2016•陕西一模）分解因式：x2﹣2x﹣15=．7．（2016春•张家港市校级期中）已知x﹣2y=6，x﹣3y=4，则x2﹣5xy+6y2的值为．8.x3﹣x2﹣12x=．x2﹣4x﹣21=．9．（2015•威海模拟）分解因式：2x2﹣6x﹣8=．10．（2015•潍坊）因式分解：ax2﹣7ax+6a=．11．（2015•昆山市一模）因式分解：x3﹣5x2+4x=．12．（2015春•达州校级期中）分解因式：x2﹣4x﹣21=．．13．（2014•黔东南州）因式分解：x3﹣5x2+6x=．14．（2014秋•洪山区期末）若把多项式x2﹣5x﹣6因式分解为．15．（2013秋•浦东新区期末）分解因式x2﹣3x+2=．第二种是二次项系数不为１的，二次项系数和最后一项的系数都要分解质因数，然后十字相乘，如果等于中间一项的系数，说明就能用十字相乘法，否则不行。
1．（2014•吴江市模拟）因式分解：4a2+4a﹣15=．2. 2x2+7x+3=；3．（2014秋•惠城区校级月考）（十字相乘法）分解因式：2x2﹣x﹣15=．4．把多项式3x2+3x-6分解因式的结果是 .5．分解因式：2x2-3x+1= 3x2-12x2y+12xy2= ．6．2x2-x-6= . 5x2+17x-12= .知识点五：在实数范围内分解因式1．在实数范围内分解因式：（1）2x2-3 （2）4x4-9．2．在实数范围内分解下列因式：（1）y4-6y2+5；（2）x2-11；（3）a2-2√3a+3；（4）5x2-2．9．在实数范围内因式分解：（1）5x2-3；（2）（x+y）2-4（x+y-1）；（3）a4-9．10．把下列各式因式分解（在实数范围内）（1）3x2-16 （2）x4-10x2+2511．在实数范围内分解因式：（1）x3-2x；（2）x4-6x2+9．知识点六：用分组法分解因式：如果项数超过三项，哪么就用分组法。
四项一般分为两种2+2或3+1;五项分为3+2.第一种：四项分组法练习：1．多项式x2y2-y2-x2+1因式分解的结果是（）A．（x2+1）（y2+1）B．（x-1）（x+1）（y2+1）C．（x2+1）（y+1）（y-1）D．（x+1）（x-1）（y+1）（y-1）2.分解因式x2-m2+4mn-4n2等于（）A．（x+m+2n）（x-m+2n）B．（x+m-2n）（x-m+2n）C．（x-m-2n）（x-m+2n）D．（x+m+2n）（x+m-2n）3.多项式x2-10xy+25y2+2（x-5y）-8分解因式的结果是（）A．（x-5y+1）（x-5y-8）B．（x-5y+4）（x-5y-2）C．（x-5y-4）（x-5y-2）D．（x-5y-4）（x-5y+2）4.把a2-b2+2b-1因式分解，正确的是（）A．（a+b）（a-b）+2b-1B．（a+b+1）（a-b-1）C．（a+b-1）（a+b+1）D．（a+b-1）（a-b+1）5.分解因式a2-2a+1-b2正确的是（）A．（a-1）2-b2B．a（a-2）-（b+1）（b-1）C．（a+b-1）（a-b-1）D．（a+b）（a-b）-2a+1 6．把x2-y2+2y-1分解因式结果正确的是（）A．（x+y+1）（x-y-1）B．（x+y-1）（x-y+1）C．（x+y-1）（x+y+1）D．（x-y+1）（x+y+1）7.分解因式a2-b2+4bc-4c2的结果是（）A．（a-2b+c）（a-2b-c）B．（a+2b-c）（a-2b+c）C．（a+b-2c）（a-b+2c）D．（a+b+2c）（a-b+2c）8.分解因式：x2-2xy+y2+x-y的结果是（）A．（x-y）（x-y+1）B．（x-y）（x-y-1）C．（x+y）（x-y+1）D．（x+y）（x-y-1）9.对多项式4x2+2x-y-y2用分组分解法分解因式．下面分组正确的是（）A．（4x2+2x）-（y+y2）B．4x2+（2x-y-y2）C．（4x2-y2）+（2x-y）D．（4x2-y）+（2x-y2）二．填空题（共13小题）10．分解因式：1-a2+2ab-b2= ．11．分解因式：b2-ab+a-b= ．12．分解因式：y+y2+xy+xy2=．13．将xy-x+y-1因式分解，其结果是．14．因式分解：x2+2xy+y2-z2= ．15．若m-n=-1，则m2-n2+m+n= ．16．分解因式：a2-1+b2-2ab=．17．因式分解：a2-b2+4b-4=．18．分解因式：x2-4+y2+2xy=．19．分解因式：x2-xy+xz-yz= .第二种：五项分组法：20．因式分解：x2-4xy-2x+4y2+4y-3= ．21．分解因式：1-x2-y2+x2y2-4xy= ．22．分解因式：m+m2-2mn+n2-n= ．。