北京市大兴区2013年高三统一练习数学（理科）一、选择题1、复数2(1i)-的值是（A ）2 （B ）2- （C ）2i （D ）2i -2、若集合{|2}-==xM y y ，{|==P y y ，则M P =(A)}1|{>y y (B)}1|{≥y y (C)}0|{>y y (D)}0|{≥y y3、执行如图所示的程序框图．若5n =，则输出s 的值是（A ）-21 （B ） 11 （C ）43 （D ） 864、双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等于 （A ）14 （B ）12（C ）2 （D ）4 5、已知平面βα,，直线n m ,，下列命题中不．正确的是 （A ）若α⊥m ，β⊥m ，则α∥β （B ）若m∥n ，α⊥m ，则⊥n （C ）若m ∥α，n =βα ，则m ∥n （D ）若α⊥m ，β⊂m ，6、函数()cos f x x=（A ）在ππ(,22-上递增 （B ）在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减（C ）在ππ(,22-上递减 （D ）在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增7、若实数,a b 满足221a b +≤，则关于x 的方程220x x a b -++=有实数根的概率是（A ）14 （B ） 34 （C ）3π24π+ （D ）π24π- 8、抛物线2(22)y x x =-≤≤绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体（A ）1 （B ）8 （C ）（D ）二、填空题9、函数f x x x()s i nc o s =的最大值是 。

10、已知直线y kx =与曲线42cos ()2sin x y q q q ì=+ïïíï=ïî为参数有且仅有一个公共点，则k = 11、已知矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，则()AE AF AC +等于 ．12、设5260126(1)(12)-+=+++鬃?x x a a x a x a x ，则2a = 。

13、如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E （E 在A,O 之间），EF BC ^,垂足为F ．若6AB =，5CF CB ?，则AE = 。

14、已知函数12,02()122,12x x f x x x ìïïïï=íïï-<ïïïî≤≤≤，定义 1()()f x f x =,1()(())n n f x f f x -=，(2n ≥,n *ÎN )．把满足()n f x x =（[]0,1x Î）的x 的个数称为函数()f x 的“n -周期点”．则()f x 的2-周期点是 ；n -周期点是 ． 三、解答题15、（本小题满分13分）在∆A B C 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,3cos 5=A ，π4B =，b =．(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)求sin C 及∆A B C 的面积． 16、（本小题满分13分）期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩，如下表：（1）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。

（1）从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X 表示选中同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望E(X)的值． 17、（本小题满分13分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，ABC D 是等边三角形，D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：A 1B//平面ADC 1；（Ⅱ）若AB=BB 1=2，求A 1D 与平面AC 1D 所成角的正弦值．18、（本小题满分14分） 已知函数2()=(1)x af x x --，(1,)x ? ． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)函数()f x 在区间[2,)+ 上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 19、（本小题满分14分）已知动点P 到点A （-2,0）与点B （2,0）的斜率之积为14-，点P 的轨迹为曲线C 。

(Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)若点Q 为曲线C 上的一点，直线AQ ，BQ 与直线x=4分别交于M 、N 两点，直线BM 与椭圆的交点为D 。

求证，A 、D 、N 三点共线。

20、（本小题满分13分）已知数列}{n a 的各项均为正整数，且12 n a a a <<<，设集合1{|101}1，，或，或（≤≤）nk i i ii i i A x x a k n λλλλ====-==∑。

性质1 若对于k x A ∀∈，存在唯一一组i λ（1,2,，i k =⋅⋅⋅）使1ki i i x a λ==∑成立，则称数列}{n a 为完备数列，当k取最大值时称数列}{n a 为k 阶完备数列。

性质2 若记1（1≤≤）kk i i m a k n==∑，且对于任意≤k x m ，x ∈Z ，都有k x A ∈成立，则称数列}{n a 为完整数列，当k 取最大值时称数列}{n a 为k 阶完整数列。

性质3 若数列}{n a 同时具有性质1及性质2，则称此数列}{n a 为完美数列，当k 取最大值时}{n a 称为k 阶完美数列；（Ⅰ）若数列}{n a 的通项公式为12-=n a n ，求集合2A ，并指出}{n a 分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；（Ⅱ）若数列}{n a 的通项公式为110-=n n a ，求证：数列}{n a 为n 阶完备数列，并求出集合n A 中所有元素的和n S 。

（Ⅲ）若数列}{n a 为n 阶完美数列，求数列}{n a 的通项公式。

参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1、D2、C3、A4、D5、C6、D7、C8、B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9、 12 ； 10、11、 152；12、30； 13、1； 14、4，2n ； 三、解答题（共6小题，共80分）15、（本小题共13分）解:（Ⅰ）因为3cos , 5是内角A A ABC =∆,所以,54sin =A 由正弦定理:Bb A a sin sin = 知4sin 25π=a 得: 58=a（Ⅱ）在 AB C ∆中, sin sin[π()]sin()C A B A B =-+=+102722532254sin cos cos sin =⨯+⨯=+=B A B A AB C ∆的面积为:2528102725821sin 21=⨯⨯⨯==C ab s 16、（本小题共13分）解：（Ⅰ）5名学生数学成绩的平均分为:93)9795939189(51=++++ 5名学生数学成绩的方差为:8])9397()9395()9393()9391()9389[(5122222=-+-+-+-+- 5名学生物理成绩的平均分为:90)9392898987(51=++++ 5名学生物理成绩的方差为:524])9093()9092()9089()9089()9087[(5122222=-+-+-+-+- 因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定. （Ⅱ）由题意可知，0X =，1，2022221(0)6C C P X C ⋅===；112222(1)3C C P X C ⋅===；202221(2)6C C P X C ⋅===随机变量X 的分布列是121()0121636E X =⨯+⨯+⨯=17、（本题满分13分）证明：（I ）因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以四边形11A ACC 是矩形。

连结1A C 交1AC 于O ，则O 是1A C 的中点，又D 是BC 的中点，所以在1ADC ∆中，1//ODA B 。

因为1A B ⊄平面1ADC ，OD ⊂平面1ADC，所以1//A B 平面1ADC 。

（II ）因为ABC ∆是等边三角形，D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥。

以D 为原点，建立如图所示空间坐标系D xyz -。

由已知12AB BB ==，得：(0,0,0)D ，A ，1A ，1(0,1,2)C -.则DA = ，1(0,1,2)DC =- ，设平面1ADC 的法向量为(,,)n x y z =。

由100n DAn DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020y z =-+=⎪⎩，令1z =，则0x =，2y=，所以(0,2,1)n = .又1DA = ，得1020122n DA ⋅=⨯+⨯=。

所以1cos,DA n <>==设1A D 与平面1ADC 所成角为θ，则1sin |cos |DA n θ=<>=所以1A D 与平面1ADC 。

由()0f x '=，得11x =，或221x a =-.①当211a -≤，即1a ≤时，在(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 单调递减；②当211a ->，即1a >时，在(1,21)a -上，()0f x '>，()f x 单调递增，在(21,)a -+∞上，()0f x '<，()f x 单调递减。

综上所述：1a ≤时，()f x 的减区间为(1,)+∞； 1a >时，()f x 的增区间为(1,21)a -，()f x 的减区间为(21,)a -+∞。

（II ）（1）当1a ≤时，由（I ）()f x 在[2,)+∞上单调递减，不存在最小值； （2）当1a >时， 若212a -≤，即32a ≤时，()f x 在[2,)+∞上单调递减，不存在最小值； 若212a ->，即32a >时，()f x 在[2,21)a -上单调递增，在(21,)a -+∞上单调递减， 因为21(21)0(22)a f a a --=>-，且当21x a >-时，10x a a ->->，所以21x a ≥-时，()0f x >。

又因为(2)2f a =-，所以当20a -≤，即2a ≥时，()f x 有最小值2a -；20a ->，即322a <<时， ()f x 没有最小值。

综上所述：当2a ≥时，()f x 有最小值2a -；当2a <时，()f x 没有最小值。

19、（本题满分14分）解：（I ）设P 点坐标(,)x y ，则2AP y k x =+（2x ≠-），2BP yk x =-（2x ≠）， 由已知1224y y x x ⋅=-+-，化简得：2214x y +=.所求曲线C 的方程为2214x y +=（2x ≠±）。