考点01 函数的概念和性质11.（2020•石景山区模拟测试）函数的定义域是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【解答】解：函数中，令，解得x≥﹣1且x≠1；所以f（x）的定义域是[﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：D．【知识点】函数的定义域及其求法2.（2020•汕头校级模拟测试）定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x（3﹣2x），则f（）＝（）A．﹣1B．﹣C．D．1【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则有f（﹣x）＝f（x+2），又由f（x）为奇函数，则f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（）＝f（﹣+16）＝f（﹣）＝﹣f（）＝﹣[（3﹣2×）]＝﹣1；故选：A．【知识点】函数奇偶性的性质与判断3.（2020•安庆模拟测试）已知幂函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）•x a在区间（0，+∞）上是单调递增函数，则a的值为（）A．3B．﹣1C．﹣3D．1【解答】解：∵幂函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）•x a在区间（0，+∞）上是单调递增函数，∴，解得a＝3，故选：A．【知识点】幂函数的性质4.（2020•福州模拟测试）函数y＝x2e x的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：任意x∈R，y＝x2e x＞0，排除C．y′＝2xe x+x2e x＝（x2+2x）e x，在区间（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上，y′＞0，y单调递增，在区间（﹣2，0）上，y′＜0，y单调递减，故选：A．【知识点】函数的图象与图象的变换5.（2020•扬州模拟测试）若，则f（3）的值为（）A．4B．5C．9D．10【解答】解：根据题意，，若+1＝3，解可得x＝4，当x＝4时，则有f（3）＝4+1＝5；故选：B．【知识点】函数的值6.（2020•铜仁市模拟测试）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．（0，B．（﹣∞，C．，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：∵f（x）的定义域为R，∴x2+x+a≥0的解集为R，∴△＝1﹣4a≤0，解得，∴实数a的取值范围是．故选：C．【知识点】函数的定义域及其求法7.（2020•巴宜区校级模拟测试）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．y＝2x C．y＝x2D．y＝2x【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝，为反比例函数，是奇函数但在区间（0，+∞）上是减函数，不符合题意；对于B，y＝2x，为正比例函数，既是奇函数又在区间（0，+∞）上是增函数，符合题意，对于C，y＝x2，是二次函数，是偶函数，不符合题意；对于D，y＝2x，是指数函数，不是奇函数，不符合题意；故选：B．【知识点】奇偶性与单调性的综合8.（2020•巴宜区校级模拟测试）函数f（x）＝xα的图象经过点，则等于（）A．B．3C．9D．81【解答】解：∵函数f（x）＝xα的图象经过点，∴f（9）＝9α＝，解得α＝﹣，∴f（x）＝，∴＝（）＝3．故选：B．【知识点】函数的值9.（2020•新乡模拟测试）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝3﹣2x，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝3﹣2x，则其图象如图：且f（）＝f（﹣）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣）∪（0，）；故选：C．【知识点】函数奇偶性的性质与判断10.（2020•江门模拟测试）函数f是（）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数【解答】解：根据题意，f若x＞0，则﹣x＜0，此时f（x）＝x（x+4），f（﹣x）＝（﹣x）（﹣x﹣4）＝x（x+4），有f（﹣x）＝f（x），若x＜0，则﹣x＞0，此时f（x）＝x（x﹣4），f（﹣x）＝（﹣x）（﹣x+4）＝x（x﹣4），有f（﹣x）＝f（x），若x＝0，有f（0）＝0，综合可得：f（x）＝f（﹣x）对任意x都成立，则f（x）为偶函数；故选：B．【知识点】函数奇偶性的性质与判断11.（2020•拉萨校级模拟测试）复利是一种计算利息的方法．即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%．如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息（）元．（参考数据：1.02254＝1.093，1.02255＝1.117，1.04014＝1.170，1.04015＝1.217）A．176B．104.5C．77D．88【解答】解：将1000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为1000•1.04015＝1217，故而共得利息1217﹣1000＝217元．将1000元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满5年后的利息为1000•0.0225×5＝112.5，故可以多获利息217﹣112.5＝104.5．故选：B．【知识点】根据实际问题选择函数类型12.（2020•扬州模拟测试）已知函数y＝f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）＝x2+mx+1，且f（1）＝﹣2，则实数m的值为（）A．﹣4B．0C．4D．2【解答】解：根据题意，函数y＝f（x）是奇函数，且f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝2，又由当x＜0时，f（x）＝x2+mx+1，则f（﹣1）＝2﹣m＝2，解可得：m＝0；故选：B．【知识点】函数奇偶性的性质与判断13.（2020•绵阳模拟测试）已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），且满足条件f（﹣a）＞f（a+1），则实数a的取值范围是﹣．【解答】解：∵幂函数f（x）＝x a的图象经过点（3，），∴f（3）＝3a＝，解得a＝，∴f（x）＝，∵f（﹣a）＞f（a+1），∴，解得﹣1．∴实数a的取值范围是[﹣1，）．故答案为：[﹣1，）．【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域14.（2020春•安康模拟测试）已知正实数x，y，满足x+3y＝5xy，若不等式3x+4y≤m2﹣4m有解则实数m的取值范围是【解答】解：由已知，得，由题意：，∴m2﹣4m﹣5≥0，解得：m≤1或m≥5．故答案为：（﹣∞，1]∪[5，+∞）．【知识点】函数最值的应用15.（2020•韶关模拟测试）已知函数f（x）＝，则f（0）+f（1）＝﹣．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（0）＝20＝1，f（1）＝﹣2×1＝﹣2．∴f（0）+f（1）＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．【知识点】函数的值16.（2020•徐汇区校级模拟测试）设函数为奇函数，则实数a的值为．【解答】解：是奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即，∴x2+（a﹣1）x﹣a＝x2+（1﹣a）x﹣a，∴（a﹣1）x＝（1﹣a）x，∴a＝1．故答案为：1．【知识点】函数奇偶性的性质与判断17.（2020•徐汇区校级模拟测试）已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m是R上的增函数，则m的值为．【解答】解：函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m是幂函数，则m2﹣5m+7＝1，即m2﹣5m+6＝0，解得m＝2或m＝3；当m＝2时，f（x）＝x2不是R上的增函数，不满足题意；当m＝3时，f（x）＝x3是R上的增函数，满足题意．则m的值为3．故答案为：3．【知识点】幂函数的性质、幂函数的概念、解析式、定义域、值域18.（2020春•东湖区校级模拟测试）函数f（x）＝，（a＞0且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是．【解答】解：∵函数，（a＞0且a≠1）是R上的减函数，∴，求得0＜a≤，故答案为：（0，]．【知识点】函数单调性的性质与判断19.（2020•徐汇区校级模拟测试）已知函数为奇函数．（1）求常数a的值；（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并用定义证明．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数；∴f（﹣1）＝﹣f（1）；∴；解得；（2）f（x）在（0，+∞）上是减函数，证明如下：设x1＞x2＞0，则：；∵x1＞x2＞0；∴；∴，；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．【知识点】函数单调性的性质与判断、函数奇偶性的性质与判断20.（2020•成都模拟测试）某公司在2020年承包了一个工程项目，经统计发现该公司在这项工程项目上的月利润P与月份x近似的满足某一函数关系．其中2月到5月所获利润统计如表：月份（月）2345所获利润（亿元）89908986（1）已知该公司的月利润P与月份x近似满足下列中的某一个函数模型：①P（x）＝ax2+bx+c；②P（x）＝a•b x+c；③P（x）＝a log b x+c．请以表中该公司这四个月的利润与月份的数据为依据给出你的选择（需要说明选择该模型的理由），并据此估计该公司2020年8月份在这项工程项目中获得的利润；（2）对（1）中选择的函数模型P（x），若该公司在2020年承包项目的月成本符合函数模型Q（x）＝（单位：亿元），求该公司2020年承包的这项工程项目月成本的最大值及相应的月份．【解答】解：（1）由题意知a≠0，由于P（x）＝a•b x+c或P（x）＝a log b x+c是单调函数，由所给数据，不具备单调性，故②③函数不满足条件．故选择①函数，选择表格中的前三组数据，代入解析式得，即该公司的月利润P与月份x近似满足下列中的某一个函数模型为P（x）＝﹣x2+6x+81，（x∈[1，12]且x∈N）当x＝8时，P（8）＝﹣64+48+81＝65亿元．即估计该公司2020年8月份在这项工程项目中获得的利润为65亿元．（2）Q（x）＝＝＝＝，即当x＝2时，Q（x）取得最大值为＝11，此时对应的月份在2月份．【知识点】根据实际问题选择函数类型21.（2020•海淀区模拟测试）已知函数f（x）＝x2+bx+c，存在不等于1的实数x0使得f（2﹣x0）＝f（x0）．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）判断函数f（x）在f（1，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明；（Ⅲ）直接写出f（3c）与f（2c）的大小关系．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，对于函数f（x）＝x2+bx+c，因为实数x0使得f（2﹣x0）＝f（x0），所以，即（2b+4）（x0﹣1）＝0．因为x0≠1，所以2b+4＝0，即b＝﹣2；经检验，b＝﹣2满足题意，所以b＝﹣2．（Ⅱ）根据题意，函数f（x）＝x2﹣2x+c，在（1，+∞）上单调递增，证明如下：任取1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝，又由1＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1+x2﹣2＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，则函数f（x）在（1，+∞）上为增函数；（Ⅲ）当c＝0时，有3c＝2c，则有f（3c）＝f（2c）；当c≠0时，有3c＞2c＞1或0＜3c＜2c＜1，则有f（3c）＞f（2c）．【知识点】函数单调性的性质与判断、函数解析式的求解及常用方法22.（2020•上海模拟测试）已知a＞1，函数：f（x）＝a1+x﹣a1﹣x．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给与证明；（2）判断函数f（x）的单调性，并给与证明．【解答】解：（1）根据题意，由f（x）＝a1+x﹣a1﹣x，可得x∈R，函数的定义域关于原点对称又由f（﹣x）＝a1﹣x﹣a1+x＝﹣（a1+x﹣a1﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数；（2）f（x）＝a1+x﹣a1﹣x＝a（a x﹣a﹣x），设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝a[﹣﹣（﹣）]＝a[﹣﹣（﹣）]＝a（﹣）（1+）因为，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上单调递增．【知识点】奇偶性与单调性的综合23.（2020•天河区模拟测试）已知函数f（x）＝是定义在R上的奇函数，且f（2）＝．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在区间（0，1）上的单调性，并用定义法证明．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝是定义在R上的奇函数，则f（0）＝＝0，则n＝0，又由f（2）＝，则f（2）＝＝，解可得m＝1，则f（x）＝，（2）由（1）的结论，f（x）＝在（0，1）上为增函数，证明：0＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝又由0＜x1＜x2＜1，则（x1﹣x2）＜0，（1﹣x1x2）＞0，则有f（x1）﹣f（x2）＜0，则函数f（x）在（0，1）上为增函数．【知识点】奇偶性与单调性的综合24.（2020•虹口区模拟测试）已知函数f（x）＝10x﹣10﹣x．（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）判断f（x）在R上的单调性，并说明理由．【解答】解：（1）f（﹣x）＝10﹣x﹣10x＝﹣（10x﹣10﹣x）＝﹣f（x）；∴f（x）为奇函数；（2）∵y＝10x和y＝﹣10﹣x在R上都是增函数；∴f（x）＝10x﹣10﹣x在R上是增函数．【知识点】函数单调性的性质与判断、函数奇偶性的性质与判断25.（2020•浙江模拟测试）已知函数为偶函数，（Ⅰ）求实数t的值；（Ⅱ）是否存在实数b＞a＞0，使得当x∈[a，b]时，函数f（x）的值域为？若存在请求出实数a，b的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若函数为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即，解得：t＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，，则f（x）在[a，b]上是增函数，若当x∈[a，b]时，函数f（x）的值域为则，解得a＝b＝1；又由b＞a，所以不存在满足要求的实数a，b．【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数的值域26.（2020•榆树市模拟测试）已知函数f（x）＝x2+2ax+10，x∈[﹣10，10]．（1）当a＝﹣1时，求函数的最大值和最小值．（2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[﹣10，10]上是单调减函数．【解答】解：（1）根据题意，f（x）＝x2+2ax+10，当a＝﹣1时，f（x）＝x2﹣2x+10，开口向上，对称轴x＝1，则f（x）min＝f（1）＝9，f（x）max＝f（﹣10）＝130，∴f（x）max＝130，f（x）min＝9．（2）根据题意，函数f（x）＝x2+2ax+10，其对称轴x＝﹣a，若y＝f（x）在区间[﹣10，10]上是单调减函数，必有﹣a≥10，解可得a≤﹣10；故a的取值范围为（﹣∞，﹣10]．【知识点】函数的最值及其几何意义。