集合0集合的概念我们把所要研究的事物全体称为集合，构成集合的事物称为元素，集合一般用大写字母A、B C……表示，元素一般用小写字母a、b、c……表示。

如果元素二是集合A中的元素，记二三上，否则记厘三上。

有限集：只有有限个元素的集合。

无限集：有无穷多个元素的集合。

空集：不含有任何元素的集合叫空集，记常。

臼集合的表示方法列举法：如乂■仙上心町,召-卩2和・・」5描述法：如八㈤只* 1 = —w旳，U< ,曲旳0子集如果集合A中的元素都是B的元素，称A是B的子集（或称A包含于B）,记A u召或月二）卫如:0并集:集合A 与集合B 的元素放在一起构成的集合，称为 A 与B 的并集。

记」•_」三，即HUE = (x | re 卫或工匡5)如：一一 .......... 「一二…-丄 …一…—.NS ■叶 2C x < 4,xs K)O 交集：记集合A 与集合B 的公共元素构成的集合，称为 A 与B 的交集，记 卫门/即丿门月：｛和工乞卫且工€月｝ZnF-(J-- < x< 0,ie2?)则：2绝对值与绝对值不等式几何意义：点T 到原点的距离。

如:Y CUE 幻月珂*2—*忒刃?x> 0 x< 0几何意义：点芒到点*的距离。

性质：1) •、 ■A |20?3)十 UI4)设a>0 , 环|3}・{兀卜说""}区间与邻域*+y|“|+恫6)- _ 「7)例1 :解下列不等式x -4| < 40 <〔―分 < 4^r-j|2 H~ H2… -,3)匕十4| > 15)解.1)- -上.、.--二 _ 4 =〕_ ?.■ _LE2) •.：:-；；3) 卞一一"-或 F _ 丄：_ [ — - - _ 二或二 一二4)(^ - 2| < 2fCl < x < 4 "2=(工产25)G >0< 0J A <0或1■'......... 称为以-<■、/为端点的开区间，1■■ 称为以空、勺为端点的闭区间，(>團1-1（迟切二<耐也劝氷仍?以上为有限区间(a,+«) ■ ｛彳齐> a) [说严8)- ｛处 > a)?以上为无穷区间I'd（咼-戈心+ §）・｛咔-心|< 5占■> 6 x0上砧占加7 %斗_ .、称为0点的°邻域，0为对称中心，为半径。

（心Y冷血询■｛朮5-讣羽》Q）称为抵点的去心占邻域。

函数的定义设有两个变量 T 与》，当变量在实数某范围任取一值时，变量 》按确定的规则有 确定的值与之对应， 那么称°是工的函数，记-叫自变量，丁叫因变量，卞的 取值范围称为函数的 定义域，记'■'。

对'1 "■ ' - '称为函数-'：=：在点"的函数值，所有函数值的集合称为 值域。

记’「。

说明：（1） 定义中的记号 「I 表示自变量与因变量的对应法则。

（2） 函数的两要素：定义域与对应法则。

厂"与表示同一函数；»引讨与表示同一函数；八1y -- -------兀十1与» 7 1表示不同的函数；冷‘与—表示不同函数（3）单值函数与多值函数对于函数」」 '，如果对自变量 芒的一个取值，函数；'只有一个数值与 之对应，则称函数"―•是单值函数；如果对自变量"的一个取值，函数“7 Mb開1-3(2) 有两个或更多个数值与之对应，则称函数"-厂匸）是多值函数；如：I -、 是单值函数J ■' 1是多值函数。

（4）定义域实际问题中建立的函数关系，其定义域要根据实际问题来确定，而用数学式 表达的函数，当不表示任何实际意义时，其定义域由 函数表达式来确定。

定义域求法（i ） 分母不能为零；（ii ） 偶次根号内部分不能小于零； （iii ）对数函数中，真数部分要大于零；（iv ）反三角函数■ ■■ "-中要"：。

例2求下列函数的定义域解：（ 1）疋义域为：[T 厂DuLlRuClf®)定义域为：（2，3]y = ---- y 十点十云1） -'2)y = arc sin】十以工-2）3)4）lnO + 23-X(3)定义域为：1' ■■p-? >0 L + 2 >0 => J A>-2(4)〔所以定义域为：'■''■-例3已知■■■ ■■ 的定义域为•’，，求’r亠L 的定义域解-:工巴「［二J - 丁-■'j」的定义域为(0, 1)例4设齐，求，⑴，心)J0)1 丁1例5设满足-，求■ 1 -解设据討陶厂，则y ■ x, =才，即/M = 2'例6已知丨回I求畑解令工•: + -,贝「［- - ■,f(u) = (u _1尸+3(w-l) + 5 = 3 +3 ../(X)" n函数的表示方法公式法，表格法，图示法。

分段函数：在不同区间上用不同的解析式表示的函数如:/«-r< 0^2 0—1, 恳<0符号函数：1-firi—X2A + 1,Q < 忑冬 1x a - 6 盂，1 < r 4(2 J™—;(3)0 V 加< 1 时，/(Ax)-/(0)解（i ）定义域为：1 一-(3) -"".■ -12 -^-2,M2x 〉2/(0) = 丁讨* =°畑■〔宀6胡口 ■今?例8将函数-：''：l ： I写成分段函数的形式。

A >0...v i：则/[g(l)] l tA >1 时，/[g(r)] 的表达式为匚-■!. ’：。

函数的简单性质O.单调性设丿、「在忆；内有定义,如果对于且有■ -11■ ■---,则称-■ ■在「内单调增加；如果有「r -1 -■，则称-’」在•…―内单调减少。

单调增加、单调减少统称单调。

如果■-■■在整个定义域内单调，称为单调函数。

如：」’在‘单调减，在-丄■•单调增，所以不是单调函数。

都是单调函数。

图1-Ho.有界性设丿在区间 ''有定义，如果存在数厂一，使对于一切 1 - -L'，有成立，则称=在区间.亠二有上界，二-是J -J'-在区间-I 的一个上界。

如果存在数r;，使对于一切丄二-二，有■-二，则称在区间i:—■ 有下界，’〜是「；二在区间. '的一个下界。

设-■'■ -' ■'在区间 ''有定义，如果存在正数Ef，使对于一切n小，有伍訓'"成立，则称了E在区间3）有界，否则称在Q）为无界。

如果在它的整个定义域内有界，称-为有界函数。

如：厂—誥在区间［1 , 2］有界，在（0, 1）无界，它不是有界函数。

是有界函数，因为对一切2有竝1 ■+壬是有界函数。

显然，函数-V,在区间有界的充分必要条件是：它在区间既有上界又有下界。

Q.奇偶性设」-■1的定义域关于原点对称，如果对定义域中任何x，有-/W1称-'为偶函数，如果有-■1--，称为奇函数。

偶函数的图形关于T轴对称，奇函数的图形关于原点对称胃1-12例 10 判断下列函数的奇偶性(3) P = k 十1| (旳丿・欣“ J1心)(5) -'所以是奇函数;'J f （亠盂）=|_A CO£ 是偶函数； '（3）是非奇非偶函数;厝劝也十E ）二In （一沪E 严+时）（工 + Jl +:+■-/(町所以是奇函数；（5 ）是偶函数奇函数X 奇函数为 偶函数，奇函数X 偶函数为 奇函数，偶函数X 偶函数为 偶函数。

例 11 设」在・ ..................... 内有定义,F （希（-机G （力■_/（＞） 4/（_町，则F0）为奇函数，。

⑶为偶函数,(1)y = Ncos —(2)■—。

O.周期性对函数；-;■,如果存在正数 -，使对于定义域中的-有J - - -■1■ ■', 称-为周期函数，使此式成立的最小正数T，称为最小正周期。

女口：」亠…"---- 是周期为二丁的周期函数，厂姑厂阪讨是周期为盼勺周期函数。

如果■- ：1是以T为最小正周期的函数，则'；的最小正周期为如：」I. ) -II 的最小正周期是-。

O 、反函数给定函数」，如果变量 L 在值域内每取定一值时， V 在定义域内有一值与 之对应，则得到一个定义域为 -的值域，•丁为自变量，-为因变量的函数’'■ -1：， 称其为」決的反函数，记：习惯上用二作自变量，匸作因变量，所以「 v 的反函数记作y = /-1W=V (x) 图形特点： 」-’「的图形与其反函数 • 1 '■■■的图形关于直线J •'对称。

圈 1-15 例12 求下列函数的反函数(1) >-3^ + 2（ 2）厂诃#2=2耳(3)宀(4)；，= '-(5)"Z,所以反函数为（i）（2）'二」:,所以反函数为■'(3)（4）力七厂，，尹7（1■刃，才‘总，"1爲总所以反函数为兀J5）（5）/（祷士矶QT-蛊，所以反函数为 1 ■人。