3. x(t )
1 ak T
X ( j )

n
(t nT )
2 T 2 T

0
0
0


(t )e

j
2 kt T
1 dt T

2 T 2
T
1 (t )dt T
2 X ( j ) T
2 ( k) T k
23
jk 0 t h t e dt jk 0 n

jk 0
hn e
n
1
第四章
连续时间傅里叶变换
The continuous time Fourier Transform
本章的主要内容:
连续时间傅里叶变换;
傅里叶级数与傅里叶变换之间的关系;
傅里叶变换的性质;
系统的频率响应;
2
§4.0引言
在工程应用中有相当广泛的信号是非周
期信号，本章要解决的问题有两个：
1. 对非周期信号应该如何进行分解？
2. 什么是非周期信号的频谱表示？
3
在时域可以看到：
周期信号--------非周期信号 反过来： 非周期信号--------周期信号
周期延拓
20
方波变成到冲激,傅立叶变换的变化 动画
§4.2周期信号的傅里叶变换
Fourier Transform of Periodic Signals
到此为止,周期信号用傅里叶级数表示,非周期信号用 傅里叶变换表示。在涉及周期信号通过LTI系统时, 会给 分析带来不便.由于周期信号不满足Dirichlet 条件,因而 不能直接从定义出发,建立其傅里叶变换表示。
若 x (t ) X ( j )
dx(t ) j X ( j ) (可将微分运算转变为代数运算) 则 dt
1 (将 x(t ) 2
t
j t X ( j ) e d 两边对 t 微分即得该性质)

1 x( )d j X ( j ) X (0) ( ) （时域积分特性）
33
例 :求
u(t ) 的频谱:
1
u(t )
u(t ) ue (t ) uo (t )
t
0
ue (t )
1 u e (t ) 2
1/2
t
0
uo (t )
1 u0 (t ) Sgn (t ) 2
1/2 0 -1/2
t
34
35
4.时域微分与积分 differential & integral
5
6
~ x (t )
:周期性矩形脉冲信号
:等于一个周期内的
xt
~ x (t ) ，具有有限持续期
周期性矩形脉冲信号将演变成 为非周期的单个矩形脉冲信号.
~ x (t ) xt
考查 的. 的变化:它在 时可以是有限
jk0t
Tak xt e


dt
7
如果令
＝
则有
13
三 常用信号的傅里叶变换：
at x ( t ) e u(t ), a 0 1.单边指数信号：

X ( j ) e e
0
at j t
1 dt a j
X ( j ) tg
1
X ( j )
x(t )
1
1 a2 2
1/ a

a
X ( j )
讨论连续时间傅里叶变换的性质,旨在通过这些 性质揭示信号时域特性与频域特性之间的关系,同时 掌握和运用这些性质可以简化傅里叶变换对的求取。
28
29
30



31
d
32
X ( j ) X ( j )
表明 X ( j ) 是奇函数 表明 X ( j ) 是纯虚函数
X ( j ) X * ( j )
21
于是当周期信号表示为傅里叶级数时 就有 X ( j ) 2 ak ( k 0 ) k k 这表明,周期信号的傅里叶变换由一系列冲激组 成,每一个冲激分别位于信号各次谐波的频率处,其 强度正比于傅里叶级数系数 ak 。 例 1：
k
x(t )
ae

jk0t



x(t ) dt
12
b. 在任何有限区间内， x(t ) 只有有限个极值点，且 极值有限。
c. 在任何有限区间内，x(t ) 只有有限个第一类间断点。 这些条件只是傅里叶变换存在的充分条件， 这两组条件并不等价。 和周期信号的情况一样，当 x(t )的傅里叶变 换存在，其傅里叶变换在 x(t ) 的连续处收敛于信 号本身,在间断点处收敛于左右极限的平均值， 在间断点附近会产生Gibbs现像。
复习知识点：
x(t )
k
a e
k

jk0t
xn
1 ak x(t )e jk0t dt T T
h（ t） h [n]
其中： H jk0 H e

k N
a e
k
jk
2 n N
1 ak N
n N
xne
jk
2 n N
t
由时域积分特性从 (t ) 1 也可得到:
1 u (t ) ( ) j
36
37
5.时域和频域的尺度变换
Scaling 1 若 x (t ) X ( j ) 则 x(at ) X ( j ) a a 当 a 1 时 ,有
x (t ) X ( j )
0 1
17
5.
X ( j )
W

j t
1 W 0 W
(具有此频率特性的系 统称为理想低通滤波器)
1 x (t ) 2
SinWt W W Wt W e d t Sa(Wt) Sinc( )
W
X ( j )

x(t )
W
1
W

t
0 0 W 和矩形脉冲情况相比,可以发现信号在时域和频 域间存在一种对偶关系（如下图所示）。 18
说明：在时域周期为T的周期冲激串的傅里叶变换在频域是
一个周期为
的周期冲击串。
24
25
周期信号的傅里叶变换存在条件：
1. 周期信号不满足绝对可积条件。 2. 引入冲激信号后，周期信号的傅里叶变换 是存在的。 3. 周期信号的频谱是离散的，其频谱密度， 即傅里叶变换是一系列冲激。
26
27
4.3 连续时间傅里叶变换的性质
上边两式称为傅里叶变换对
11
二、傅里叶变换的收敛
既然傅里叶变换的引出是从周期信号的傅里 叶级数表示讨论周期趋于无穷时的极限而来的，傅 里叶变换的收敛问题就应该和傅里叶级数的收敛相 一致。 也有相应的两组条件： 1 若



x(t ) dt 则 X ( j ) 存在
2
这表明所有能量有限的信号其傅里叶变换一定存在。 2 Dirichlet 条件 a. 绝对可积条件
与上例对偶的图如下:
19
同时可以看到,信号在时域和频域之间有一种 相反的关系,即信号在时域脉冲越窄,则其频谱主 瓣越宽,反之亦然。 由例五可以想到，如果 ， 将趋向
于一个冲激。
Tak X j 1 x(t ) 2



x t e jt dt



X ( j )e jt d
2 2a
X ( j )
2
t
0
a
0
a

a


2
a

14
,a 0 0 1 1 2a at j t at j t X ( j ) e e dt e e dt 2 2 0 a j a j a
2.双边指数信号： 我们看到:实偶信号的傅里叶变换是实偶函数,此时可以 用一幅图表示信号的频谱。 对此例, X ( j ) X ( j )
(t )
1
X ( j )
t
0

16
0
t T1 0, T 2SinT1 2T1SinT1 T1 j t X ( j ) e dt 2T1Sa(T1 ) 2T1Sinc( ) T T1 2T1 x(t ) X ( j )
1 1
4.矩形脉冲信号: x(t )

1 x(t ) Sin 0t [e j0t e j0t ] 2j
X ( j )

j
[ ( 0 ) ( 0 )]
0

X ( j )
0

j

j
0

22
2.
1 j0t x(t ) cos 0t [e e j0t ] 2 X ( j ) [ ( 0 ) ( 0 )]
39
x(at b) ?
1 jb a x(at b) X j e a a
40
41
42
Hale Waihona Puke 3频域微分特性44
45
46
7. 帕斯瓦尔定理
47
例题4.14
48
49
h（ t） h [n]
其中： H jk0 H e jk0
x(t ) e
a t
x(t ) e
a t
,a 0
x(t )
1
X ( j ) 0
1 a
2 a
a
X ( j )