若
，则
存在
这表明所有能量有限的信号其傅里叶变换一定存在。 第二组条件即为满足狄利赫里条件。
四、常用信号的傅里叶变换：
1、 ，
2、
，
我们看到：实偶信号的傅里叶变换是实偶函数，此时可以用 一幅图表示信号的频谱。对此例
3、
这表明 中包括了所有的频率成分，所有频率分量的幅度、 相位都相同。因此单位冲激响应 才能完全描述一个LTI系统 的特性， 才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。
4.1 非周期信号的表示—连续时间傅里叶变换
一、从傅里叶级数到傅里叶变换 首先让我们考察一下周期矩形脉冲信号，其时域与频域波形 如这里动画4-1所示 。 当 增大的时候，频谱的幅度随 的增大而下降；谱线间隔 随 增大而减小；而频谱的包络不变。当 时，周期性 矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号。 当 由于 时， ， 也随 增大而减小并最终趋于0。
4.4 卷积性质
一、 若 则 由于卷积特性的存在，使对LTI系统在频域进行分析成为 可能。本质上，卷积特性成立正是因为复指数信号是LTI 系统的特征函数。由
将 分解成复指数分量的线性组合，每个 统时都要受到系统频响 的加权，其中 即是系统与 对应的特征值，故有
通过LTI系
所以： 由于 的傅氏变换 就是频率为 的复指数信号 通过LTI系统时，系统对输入信号在幅度上产生的影响，所以 称为系统的频率响应。
1、已知
，求
的傅里叶变换 ；
2、求信号
的傅里叶变换；
1、
2、因为
，所以由对偶性可得
所以
考查
的变化，它在
时应该是有限的。
于是，我们推断出：当 的频谱。 由
如果令
时，离散的频谱将演变为连续
，则有 ；
与周期信号的傅里叶级数相比较有：
这表明：周期信号的频谱就是与它相对应的非周期信号频谱的样本。
根据傅里叶级数表示：
当
时，
，
，
，
Hale Waihona Puke 于是有：此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续分布的 振幅为 的复指数信号之和。 由于 而称 具有频谱随频率分布的物理含义，因 为频谱密度函数。
4、
；
4.5 相乘性质：（调制性质）
若
则 利用对偶性可以从卷积性质得出相乘性质。
两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号控制另一个 信号的幅度，这就是幅度调制。其中一个信号称为载波， 另一个是调制信号。
例1： ∴ 例2：正弦幅度调制 （移频性质）
正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的频谱搬移到载频位置。
4、
(具有此频率特性的系统 称为理想低通滤波器)
同时可以看到，信号在时域和频域之间有一种相反的关系，即 信号在时域脉冲越窄，则其频谱主瓣越宽，反之亦然。 6、若
因为：
，则有
，
所以：
五、信号的带宽 信号的主要能量集中于低频分量, 传输信号的系统具有自己的 频率特性。工程中在传输信号时，也没有必要一定要把信号 的所有频率分量都有效传输，而只要保证将占据信号能量主 要部分的频率分量有效传输即可。因此，需要对信号定义带 宽。通常有如下定义带宽的方法：
鉴于 与 是一一对应的，因而LTI系统可以由其频率响 应完全表征。由于并非任何系统的 都存在，因此用频率 响应表征系统时，一般都限于对稳定系统。
二、系统互联时的频率响应： 级联
并联
三、LTI系统的频域分析法： 根据卷积特性，可以对LTI系统进行频域分析，其过程为： 1、 ；
2、根据系统的描述，求出 3、
尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展a倍，则其带宽相应压 缩a倍，反之亦然。从理论上证明了时域与频域的相反关系，也 证明了信号的脉宽带宽积等于常数的结论。 如动画所示。
6. 对偶性 若 证明： 则
利用对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域。
例如： 由 利用时移特性有 再次对偶有
，有对偶关系
根据 得
第四章 连续时间傅里叶变换
通过上一章的学习我们知道，时域的周期信号可以由成谐 波关系的复指数信号来线性表示。时域的波形与频域的频谱是 一一对应的。从而LTI系统对周期信号的响应变得极其简便。 在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，对非周期信号 应该如何进行分解，如何建立是非周期信号的频谱表示，就是 这一章要解决的问题。 在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无穷， 则周期信号将演变成一个非周期信号；反过来，任何非周期信 号如果进行周期性延拓，就一定能形成一个周期信号。 我 们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷时的极限，从 而考查连续时间傅里叶级数在T趋于无穷时的变化，就应该能 够得到对非周期信号的频域表示方法.这正是我们开展对非周 期信号进行频域分析的基本出发点。
考查
所对应的信号
这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激。
若 ，则
于是，当周期信号表示为傅里叶级数时
，就有
这表明，周期信号的傅里叶变换由一系列冲激组成，每一个冲 激分别位于信号各次谐波的频率处，其强度正比于傅里叶级数 系数 。
例：
例、
注意：周期信号不满足绝对可积条件；引入冲激信号后，周期 信号的傅立叶变换是存在的；周期信号的频谱是离散的，其频 谱密度， 即傅立叶变换是一系列冲激。 4.3 连续时间傅里叶变换的性质 讨论连续时间傅里叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示信号 时域特性与频域特性之间的关系，同时掌握和运用这些性质可 以简化傅里叶变换对的求取。 1、线性: 若
则
2、时移: 若 ： 则： 这表明：信号的时移只影响它的相频特性,其相频特性会增加一个 线性相移。 3、共轭对称性 若 则
由
所以
若 是实信号,则
,即
。
于是有： 4. 时域微分与积分 若 则 (可将运算转变为代数运算) (时域积分特性) 由时域积分特性从 也可得到：
5. 时域和频域的尺度变换 若 当 ，则 时，有
频域微分特性：
，这就是移频特性
由
，得
所以 该特性也可由对偶性从时域微分特性得出:
对 利用时域微分特性有
再次对偶得
由
，有 及频域微分特性
由时域积分特性,可对偶出频域积分特性
再次对偶 由 ，有
频域积分特性
7. Parseval定理 若 ，则
这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以在频域 求得。由于 表示了信号能量在频域的分布，因而 称其为“能量谱密度”函数。
与
就构成了一对傅里叶变换式。
二、从物理意义来讨论FT
是一个密度函数的概念； 是一个连续谱； 包含了f(t)的所有频率分量； 傅里叶变换一般为复数。 三、傅里叶变换的收敛 既然傅里叶变换的引出是从周期信号的傅里叶级数表示，讨论 周期趋于无穷时的极限得来的，傅里叶变换的收敛问题就应该 和傅里叶级数的收敛相一致。也有相应的两组条件：
下降到最大值的 分量占有信号总能量的
时对应的频率范围，此时带内信号 。
4.2 周期信号的傅里叶变换
到此为止，周期信号用傅里叶级数表示，非周期信号用傅里 叶变换表示。在涉及周期信号通过LTI系统时，会给分析带来 不便。由于周期信号不满足Dirichlet 条件，因而不能直接从定 义出发，建立其傅里叶变换表示。