2奇偶信号的FS:(i) 偶信号的FS:2 a nf (t)cosn T] T 1Fn 弘1tdt ；bn 2 T1 f (t)sin n 1tdtcndnan(ii )jbn an 2 2偶的周期信号的 奇信号的FS:F n ( Fn 实, 偶对称)；nFS 系数只有直流项和余弦项。

2Tf(t)sinn 1tdt ； 5 dn T| 111FnF n jbn ( Fn 纯虚，奇对称)；aan 0；bnbn2jFn 第二章连续时间傅里叶变换1周期信号的频谱分析 一一傅里叶级数FS(1)狄义赫利条件：在同一个周期 T1内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝为T i ,角频率为 ,2 f ,—。

Ti(3)任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。

⑷三角形式的FS:(i) 展开式：f(t) a 0 (ancon it bn sin n ,t) n 1(ii) 系数计算公式：(a) 直流分量： aof (t)dtT 1 T 1(b) n 次谐波余弦分量： a n - f (t) cosn 1tdt, n NT1 T 1 2(c) n 次谐波的正弦分量： bn — f (t)sinn 1tdt, n NT1 T 1(iii) 系数an 和bn 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。

(iv) 称f1 1/T1为信号的基波、基频； nf1为信号的n 次谐波。

(V)合并同频率的正余弦项得：n 和n 分别对应合并后 门次谐波的余弦项和正弦项的初相位。

(vi) 傅里叶系数之间的关系：(5)复指数形式的FS:(i) 展开式：f (t) Fnejn 1tn(ii) 系数计算：Fn 丄 f(t)e jn 1tdt, n ZT] T 1(iii) 系数之间的关系：(iv) Fn 关于n 是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。

(v)正负n (n 非零)处的Fn 的幅度和等于Cn 或dn 的幅度。

对可积 丁 f(t)dt 。

(2)傅里叶级数：正交函数线性组合。

正交函数集可以是三角函数集{1,cosn *,sinn 1t ：nN}或复指数函数集{e jn 术:n Z},函数周期(i) 称Fn 为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或 FS 谱。

(ii) 称Fn 为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称 FS 幅度谱。

(iii) 称n 为傅里叶复数相位频谱，简称 FS 相位谱。

(iv) 周期信号的FS 频谱仅在一些离散点角频率n"或频率nf 1)上有值。

(v) FS 也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为i 2 /Ti 。

(vi) F S 谱、FS 幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示 FS 频谱的值、幅度和相位 (vii) 连接谱线顶点的虚曲线称为包络线， 反映了各谐波处FS 频谱、幅度谱和相位谱随分量的 变化情况。

(viii)称cn 为单边谱，表示了信号在谐波处的实际分量大小。

(ix)称Fn 为双边谱，其负频率项在实际中是不存在的。

正负频率的频谱幅度相加，才是实际 幅度。

(8)周期矩形脉冲序列的 FS 谱的特点： (i)谱线包络线为Sa 函数；(ii ) 谱线包络线过零点：(其中2 一 1 为谱线间隔)nk ，或 n 1T12k，kZ,k 0即当 n 1 2k /时，an cn F n 0。

(iii) 在频域，能量集中在第一个过零点之内。

(iv) 带宽 2 /或f 1/只与矩形脉冲的脉宽有关，而与脉高和周期均无关。

(定义0~2 /为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽)(9) 周期信号的功率：P f(t) |F n |2n2(10) 帕斯瓦尔方程： 丄 f 2(t)dtF n T1 Tln2非周期信号的频谱分析一傅里叶变换(FT)(1)信号f (t )的傅里叶变换：是信号f(t)的频谱密度函数或 FT 频谱，简称为频谱(函数)。

⑵ 频谱密度函数F()的逆傅里叶变换为：f(t) 1F( )ej td ?F 1 F()2⑶ 称e j t 为FT 的变换核函数，e j t 为IFT 的变换核函数。

⑷FT 与IFT 具有唯一性。

如果两个函数的FT 或IFT 相等，则这两个函数必然相等。

⑸FT 具有可逆性。

如果 F f (t) F()，则必有F 1 F( ) f(t);反之亦然。

(i) 称F()为幅度频谱密度函数， 简称幅度谱，表示信号的幅度密度随频率变化的幅频特性;(ii)称()Arg F()为相位频谱密度函数，简称相位谱函数，表示信号的相位随频率变化 的相频特性。

(7) FT 频谱可分解为实部和虚部：F( ) F r ( ) jF i ()(8) FT 存在的充分条件：时域信号f (t)绝对可积，即f(t)dt注意：这不必要条件。

有一些并非绝对可积的信号也有 FT 。

(9) FT 及IFT 在赫兹域的定义：F(f) f (t)e j2 ft dt ； f (t) F(f )e j2 ft df(10)比较FS 和FT :(6)信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成F( ) F( )e j ()3典型非周期信号的FT 频谱 (1)单边指数信号：f(t) e at u(t)(a0)幅度谱：F()1a2 2相位谱：() Arg F()Arga jarctg —a八rg2 2单边指数信号及其幅度谱、相位谱如图 1所示。

图1 (a)单边指数信号(b)幅度谱(c)相位谱(2)偶双边指数信号：f(t) e at (a 0)°e(aj }tdt 0 e (a j }t dt1a j1 22a 2，为实偶函数。

a 2a j幅度谱：F( ) 22a2 a相位谱： ()0偶双边指数信号及其频谱如图 2所示。

图2 (a)偶双边指数信号(b)频谱⑶ 矩形脉冲信号：f(t) EG (t)(脉宽为、脉高为E )E Sin _- /22 E Sa —，为实函数。

幅度谱：F( ) E Sa 一2矩形脉冲信号及其频谱如图 3所示。

图3 (a)矩形脉冲信号(b)频谱矩形脉冲FT 的特点:(i) F T (ii) FT 为Sa 函数，原点处函数值等于矩形脉冲的面积；的过零点位置为2k / (k 0)；(iii) 频域的能量集中在第一个过零点区间2 / ,2 /之内(iv) 带宽为B 2 /或Bf 1/，只与脉宽 有关，与脉高E 无关。

信号等效脉宽：F(0)/f(0)信号等效带宽：Bf 丄图4 (a)信号的等效脉宽(b)等效带宽(4)符号函数：不满足绝对可积条件，但存在FT 。

幅度谱： F( ) 2相位谱：/2,0 ()/2,符号函数及其频谱如图 5所示。

图5⑻符号函数(b)频谱(5)冲激信号：均匀谱/白色谱：频谱在任何频率处的密度都是均匀的。

强度为E 的冲激函数的频谱是均匀谱，密度就是冲激的强度。

相位谱:4k0,11 2(2k 1)2(2k 1) II4(k 1)()(对应 F( ) 0) ______ k Z(对应F( ) 0)(6)FT在0处有一个冲激，该冲激来自 u(t)中的直流分量。

单位阶跃信号及其幅度谱如图 6所示。

图6单位阶跃函数及其幅度谱4 FT 的性质实信号的FT :(实信号可分解为：实偶实部是偶函数，虚部是奇函数：实 偶共扼对称：F( ) F*() 幅度谱为偶函数，相位谱为奇函数： 虚信号的FT 具有奇共扼对称性：F (偶共轭对称或奇共轭对称的函数满足幅度对称： 实信号或虚信号的 FT 幅度谱偶对称，幅度谱函数是偶函数。

反褶和共轭性：F g( ) g( )e j td 表示按自变量 进行傅里叶变换，结果是 t 的函数。

IFT 可以通过 FT 来实现。

FT 的对偶特性：F[F(t)] 2 f()若f (t)为偶函数，则F F(t) 2 f ()； 若f(t)为奇函数，则F F(t) 2 f( ) o此性质表明：时域压缩对应频域扩展、时域扩展对应频域压缩。

⑹时移特性：F f (t to) F( )e j to F f(t)e j to时移不影响幅度谱，只在相位谱上叠加一个线性相位。

与尺度变换特性综合：(7)频移特性:与尺度变换特性综合：F 1 f - e j ot/aF a o , (a 0)a a频谱搬移：时域信号乘以一个复指数信号后, 频谱被搬移到复指数信号的频率位置处。

利用欧(1) 线性性：FanF fn(t)nanf n(t)n 线性性包括：齐次性 F af(t) aF f (t)； 奇偶虚实性：偶 奇 实偶 实奇叠加性 F fi(t) f2(t) F fi(t) F f2(t)。

偶 奇实偶(FT 可变为余弦变换) 虚奇(FT 可变为正弦变换) 实奇)实偶+j 实奇实偶EXP(实奇))F() F()。

对偶性：傅里叶正逆变换的变换核函数是共轭对称的:(5)尺度变换特性:F[f(at)]Fa ，(a 0)e j te j t； e j te j t拉公式，通过乘以正弦或余弦信号达到频谱搬移目的。

(8)微分特性：时域微分： F Af(t) dt j F()频域微分：dF()dF ( jt)f (t)如果连续运用微分特性，则(9)积分特性：时域积分：F t f( )d (j ) 1 F( ) F(O)()如果LL2 在0处有界(或F(0) 0)，则 F t f( )d (j ) 1F()1频域积分：F( )d f (0) (t) f (t)jt(10)卷积定理：时域卷积定理： F f1(t) f2(t) F f1(t) F f2(t)频域卷积定理：F f1(t) f2(t) —F f1(t) F f2(t)2(11)时域相关性定理： F RfM) F f1(t)F* f2(t)若f2(t)是实偶函数，则FR f1f2(t) F1( )F2()。

此时，相关性定理与卷积定理一致。

自相关的傅里叶变换： F Rf(t) F f(t)F* f(t) F f(t) 2。

即函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一对傅里叶变换对)。

212 2(12)帕斯瓦尔定理：f(t) dt — F( ) d F(2 f) df5周期信号的FT(1)正余弦信号的FT:余弦信号和正弦信号的频谱如图7所示：图7余弦信号和正弦信号的FT(2)一般周期信号的FT:(i)设周期为T1的周期信号f(t)在第一个周期内的函数为fo(t)，则(ii)周期单位冲激序列的FT: F T1(t) 1 ( n 1) 1 1()n(a)FT 的对偶性(e jn 1t 2 ( n 1))(b)冲激串FS 为：T1(t) ne jn1tn(c)FT的线性性(iii)一般周期信号的FT：(iv)F n - F0(n 1) F0(n 1)2 T1(v)关系图：图8非周期信号FT与周期信号FS/FT比较6抽样信号的FT1(1)抽样信号的FT: Fs( ) — F( n s)T S n(2)理想抽样前后信号频谱的变化如图9所示：(3)结论1:按间隔Ts进行冲激串抽样后信号的傅里叶变换，是周期函数，是原函数傅里叶变换的Ts分之一按周期s 2 /Ts所进行的周期延拓。