BOX -JENKINS 预测法1（1）()AR p 模型（Auto regression Model ）——自回归模型p 阶自回归模型：y t =c +∅1y t−1+∅2y t−2+⋯+∅p y t−p +e t式中，y t 为时间序列第t 时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量；y t−1，y t−2，⋯，y t−p 为时序y t 的滞后序列，这里作为自变量或称为解释变量；e t 是随机误差项；c ，∅1，∅2，⋯，∅p 为待估的自回归参数。

（2）()MA q 模型（Moving Average Model ）——移动平均模型q 阶移动平均模型：1122t t t t q t q y e e e e μθθθ---=+----式中，μ为时间序列的平均数，但当{}t y 序列在0上下变动时，显然μ=0，可删除此项；t e ，1t e -，2t e -，…，t q e -为模型在第t 期，第1t -期，…，第t q -期的误差；1θ，2θ，…，q θ为待估的移动平均参数。

（3）(,)ARMA p q 模型——自回归移动平均模型（Auto regression Moving Average Model ）模型的形式为：11221122t t t p t p t t t q t q y c y y y e e e e φφφθθθ------=+++++----显然，(,)ARMA p q 模型为自回归模型和移动平均模型的混合模型。

当q =0,时，退化为纯自回归模型()AR p ；当p =0时，退化为移动平均模型()MA q 。

2 改进的ARMA 模型（1）(,,)ARIMA p d q 模型这里的d 是对原时序进行逐期差分的阶数，差分的目的是为了让某些非平稳（具有一定趋势的）序列变换为平稳的，通常来说d 的取值一般为0,1,2。

对于具有趋势性非平稳时序，不能直接建立ARMA 模型，只能对经过平稳化处理，而后对新的平稳时序建立(,)ARMA p q 模型。

这里的平文化处理可以是差分处理，也可以是对数变换，也可以是两者相结合，先对数变换再进行差分处理。

（2）(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型对于具有季节性的非平稳时序（如冰箱的销售量，羽绒服的销售量），也同样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。

这里的D 即为进行季节差分的阶数；,P Q 分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S 为季节周期的长度，如时序为月度数据，则S =12，时序为季度数据，则S =4。

在SPSS19.0中的操作如下● 必须要先打开一个数据源，才可以定义日期● 数据→定义日期→选择日期的起始点，此时变量栏中会出现日期变量。

（3）ARIMAX 模型在(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型中，再加入除自身滞后时序变量以外的解释变量X 。

3 模型的识别模型的识别的本质是确定(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 中的,,p d q 以及,,P D Q 与S 的取值。

借助于自相关函数（Auto correlation Function, ACF ）以及自相关分析图和偏自相关函数（Partial Correlation Function, PACF ）以及偏自相关分析图来识别时序特性，并进一步确定p 、q 、P 、Q 。

3.1 自相关函数自相关是时间序列12,,t Y Y Y 诸项之间的简单相关。

它的含义与相关分析中变量之间的简单相关一样，只不过它所涉及的是同一序列自身，因而称作自相关。

自相关程度的大小，用自相关系数k r 度量。

121()()()n ktt k t k ntt yy y y r yy -+==--=-∑∑式中，n 为样本数据的个数；k 为滞后期；y 为样本数据平均值。

自相关系数k r ，可看作自变量k 的函数，即自相关函数。

它表示时间序列滞后k 个时间段的两项之间相关的程度。

如1r 表示每相邻两项间的相关程度；2r 表示每隔一项的两个观察值得相关程度。

随机序列自相关系数的抽样分布，近似于以0为均值，分布。

自相关系数的95%置信区间为( 1.96,1.96)σσ-，此处σ=时间序列的自相关系数全部落入这个区间，则认为该序列是纯随机序列。

将时间序列的自相关系数绘制成图，并标出一定的置信区间（通常采用2±倍标准差作为置信区间的两个端点），被称作自相关分析图。

SPSS19.0中的操作1. 输入变量数据；定义时间序列日期（数据⇒定义日期）2. 分析⇒预测⇒自相关（如下）；将要分析的变量从左侧移入右侧变量框中3. 勾选自相关、偏自相关，转换暂时不选（如果为非平稳序列，可勾选差分/自然对数转换，其中差分的阶数需要根据自相关图形来确定，通常为0,1,2）未进行差分处理，由图可知几乎一半的自相关系数未进入置信区间，说明该序列非平稳，此时需要进行差分处理，即在重复第2步时，差分选项选择1或2。

3.2 偏自相关函数偏自相关函数是时间序列t Y ，在给定了121,,t t t k Y Y Y ---+的条件下，t Y 与t k Y -之间的条件相关。

由于它需要考虑排除其他滞后期的效应，因而被称为偏自相关。

偏自相关系数kk φ计算公式如下。

111,111,1 1 2,3,1k k k j k jkk j k k j k j j r k r r k r φφφ---=---==⎧⎪⎪-⋅⎪=⎨=⎪⎪-⋅⎪⎩∑∑偏自相关系数kk φ，可看作自变量k 的函数，即偏自相关函数，11kk φ-≤≤。

它用以测量当剔除其他滞后期（1,2,3,,1t k =-）的干扰的条件下，t Y 与t k Y -之间相关的程度。

与自相关系数类似，同样可以采用偏自相关分析图来对模型进行识别。

3.3 ARIMA 模型的参数确定Step1：判断时序是否平稳，若不平稳，经过若干次逐期差分或季节差分使其平稳，则可确定d 和D 。

对于社会经济现状，一般d 和D 的数值取0,1或2。

若自相关系数ACF 随着滞后期（一般设为16）增大，而迅速趋于0，则认为该时序是平稳的。

若自相关系数ACF 随着滞后期增大，自相关系数ACF 不趋于0，则认为该时序是非平稳的。

更具体地说，若随着时滞k 的增大，自相关系数ACF 缓慢减小，说明随着序列两项间隔的提前，相关程度变弱，则序列具有趋势性；若对于季度数据或月度数据，当滞后期为4（或12），8（24）等时，自相关系数ACF 显著地部位0，即在随机区间之外，则意味着该时序具有季节性。

如果时序具有趋势性，那么需要进行逐期差分，由逐期差分的次数决定d 的取值；如果序列具有季节性，那么要进行季节差分，由季节差分次数决定D 的值。

左侧图形为未经过差分处理的某城市农村居民收入的ACF 图，可以看出自相关系数并未迅速趋于0，说明该时序是非平稳的。

右侧为该序列的线性图，也正说明了该时序是有明显的上升趋势的，需要进行差分处理。

Step2：经差分平稳后，确定时序所适合的模型，其依据如下表所示。

关于,p q 的取值当不包括时滞12k =（或4），24（或8），p 取落入随机区间之外的偏相关系数PACF 的个数或与0有显著差异的PACF 的个数，q 取落入随机区间之外的自相关系数ACF 的个数或与0有显著差异的ACF 的个数。

当仅观察时滞12k =（或4），24（或8），p 取显著不为0的PACF 的个数，q 取显著不为0的季节自相关数目。

4案例分析4.1数据准备某城市农村居民收入数据（1980-2015年）单位：元对36年农村居民收入建立B-J模型，并预测2016年的收入情况。

4.2时序分析Step1：将数据输入到SPSS19.0中，并定义变量的精度为小数点后两位；Step2：定义日期。

数据——定义日期——输入“1980”因为本次数据没有季节性，所以只需要选择年份为1980年，如下图。

Step3：绘制其时序图，观察其是否平稳。

分析——预测——序列图此时可以看出该曲线有明显上升趋势，为非平稳序列，需要进行差分平稳化。

同时，也可以绘制自相关图形（操作：分析——预测——自相关）来观察其趋势，如下图。

由上面自相关系数图可知，随着延迟数目的增加，系数并没有显著的趋近于0，且许多数值较大的系数落在了置信区间之外，说明该时间序列并非平稳的。

4.3差分平稳化对时间序列进行差分平稳，并绘制相关系数图和偏自相关系数图如下。

操作为：分析——预测——自相关（勾选：1阶差分）从右侧图形可以看出，在滞后期k=3之后，自相关函数衰减，并且均在置信区间范围之内，因此可以认为该序列平稳了。

再观察变换后的序列的偏自相关函数图，如下图。

=0.437较大，其他并没有明显趋于0，可以认为在K=3后拖尾，而其中33自相关函数可以看做是K=3后截尾，也可以看做为拖尾。

（自拖，偏拖）——ARIMA 模型，（自截，偏拖）——MA模型，因此，经过一阶差分变换后的农村居民收入所选定的模型为(3,1,3)ARIMA。

分别对两个模型进行拟合和预ARIMA或(0,1,3)测，比较其精度。

4.4建立ARIMA模型4.4.1ARIMA（3,1,3）模型Step1：菜单栏：分析——预测——创建模型在变量栏中，将农村居民收入移入因变量框中；方法选择ARIMA模型，点击右侧“条件”，输入自回归，差分和移动平均数的值。

Step2：确定输出的统计量和相关信息。

其中拟合值和置信区间可备选，根据需要选择。

如果需要预测下一年的数据值，必须要在变量栏中的时间变量下再加入一个年份值，否则不会显示预测值，如下图。

模型结果分析可以看到模型的R平方为0.990，平稳的R方为0.493，说明模型的拟合效果较好，预测值为13387.9。

将实际值和预测值画在同一个时序图中如下。

4.4.2ARIMA（0,1,3）模型步骤和上面基本一致，只是在创建模型的时候，把条件中的自回归p值改为0，运算结果如下。

上述统计量表明，该模型的R平方值为0.988，平稳的R方为0.365，sig值为0.421，与(3,1,3)ARIMA模型，因此可ARIMA相比，三个统计量都小于(3,1,3)以认为(3,1,3)ARIMA模型的结果更为可信和准确。

则2016年农村收入为13387.9。