第二章1．解：X 的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12。
X =2对应于一种情形：（1，1），则{}1126636P X；X =3对应于两种情形：（1，2）、（2，1），则{}2136618P X ； X =4对应于三种情形：（1，3）、（2，2）、（3，1），则{}3146612P X； X =5对应于四种情形：（1，4）、（2，3）、（3，2）、（4，1），则{}415669P X ； X =6对应于5种情形：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1），则{}5566636P X ； X =7对应于6种情形：（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），则{}617666P X； 类似地，可以算得{}5586636P X ，{}419669P X ，{}31106612P X， {}21116618P X，{}11126636P X 。
因此，X 的分布律为[()](),,,{}[()](),,,||,,,,,166167 , 23736363666167 , 8912363667234111236i i i i P X i i i i i i2．解：设随机变量X 表示产品质量的等级，X 的可能取值为1，2，3。
由题可知，一级品数量：二级品数量：三级品数量=2 ：1 ：0.5= 4 ：2 ：1， 因此可求得X 的分布律为123421777kX P 3．解：X 的可能取值为0，1，2，3，4，其取值概率为{}.007P X ，{}...10307021P X ，{}....20303070063P X， {}.....30303030700189P X，{} (403030303)00081P X 。
即X 的分布律为.....012340702100630018900081k X P 。
6．解：X 的可能取值为1，2，3，其取值概率为24353{1}5C P X C ，23353{2}10C P X C ，22351{3}10C P X C ； 即X 的分布律为12333151010kX P 。
8．解：设X 表示发生交通事故的次数，则(1000 , 0.0001)X B 。
由于1000n比较大，0.0001p比较小，所以X 近似服从泊松分布，且0.1np。
那么{2}1{0}{1}10.90480.09050.0047P X P X P X 。
9．解：（1）0.50.50.52{0.5}()20.25P X f x dxxdxx ；（2）由课本31页的性质2，可知{0.5}0P X ；（3）当0x 时，()()00xxF x f t dt dt ；当01x 时，0220()()02xx x F x f t dtdttdtt x ； 当1x时，011201()()0201xx F x f t dt dt tdt dtt；所以X 的分布函数为20 , 0(), 011 , 1xF x x x x。
10．解：元件使用1500h 后失效（即元件的寿命不超过1500h ）的概率为：150015001500210001000100010001{1500}()3P X f x dxdx xx ； 设Y 表示5个元件在使用1500h 后失效的个数，则1(5 , )3Y B ，因此恰有2个元件失效的概率为：23251280{2}33243P Y C 。
11．解：（1）因为连续型随机变量的分布函数是连续函数，所以有2111lim ()lim ()lim (1)xxxF x F x Ax F ，即有A=1；（2）由分布函数的性质1，有22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F ；（3）由课本38页的（2-14）式，有2 , 01()()0 , x x f x F x 其他。
12．解：（1）由课本31页的性质1，有()22[]21xx x f x dxAe dxAe dxA e A ，即有12A； （2）由于X 的概率密度函数是分段函数1 , 02()1 , 02xxe xf x e x ，因此当0x 时，111()()222xxxt t xF x f t dte dt e e ， 当0x时，11111()()122222x xx t t t t xF x f t dte dt e dt e e e ；所以X 的分布函数为1 , 02()11 , 02xx e x F x e x。
13．解：（1）由课本37分布函数的性质2，可得到()lim ()lim (arctan )()lim ()lim (arctan )0212x x x x F F x A B x A B F F x A B x A B ππ→-∞→-∞→+∞→+∞⎧-∞==+=-=⎪⎪⎨⎪+∞==+=+=⎪⎩ ， 因此，可求得,11 2A B π== ，即()arctan 112F x x π=+ ； （2）由分布函数的性质1，有{}{}()()1111112P x P x F F <=-<<=--=； （3）由课本38页的（2-14）式，有()()(arctan )2111121f x F x x xππ''==+=+ 。
14．解：对于实系数一元二次方程()20 0ax bx c a ++=≠，其有实根的充分必要条件为240b ac -≥。
因此，方程2230x Tx ++=有实根的充要条件是()22430T -⨯≥，也就是要求随机变量T 满足23T ≥，亦即 T T ≤≥或[,]2 4T U -，所以方程有实根的概率为{}{{{2423 1 16P T P T T P T P T dx dx -≥=≤≥=≤+≥=+=-⎰或 。
15．解：依题意，可知()1200XE ，其中,(),2001 02000 xe xf x -⎧>⎪=⎨⎪⎩其他； （1）{}10011002002002011001200x x P X e dx ee ---≤==-=-⎰；（2）{}320020023003001300200x xP X e dx e e+∞+∞--->==-=⎰ 。
17．解：(,)3 4X N ，可知,3 2μσ==；（2）{}()()()()().ΦΦΦΦΦ933339332310997422P X ----<<=-=--=-= ； （3）{}{}{}[()()][(.)(.)][(.)(.)].ΦΦΦΦΦΦ212122232312210525 1250506977P X P X P X >=-≤=--≤≤---=--=----=--= 。
18．解：钢材的强度(,)2200 18XN ，其中,200 18μσ==；（1）{}()(.)(.).ΦΦΦ180200180111111110866518P X -≥=-=--== ； （2）由于{}()(.).%ΦΦ1502001501278099739918P X -≥=-==>，因此这批钢材合格。
19．解：先计算如下表格sin 111 442022001k P X Y X Y Xπππππ=--= 因此，可求得随机变量函数的分布为：2 0 111442kY X P πππ=-- ，sin 0 1 3144kY XP = 。
20．解：设Y 的分布函数为()Y F y ，由于(,)23 4XN，其概率密度函数表达式为()()22324x X f x --⨯=，可先求得Y 的分布函数：(){}{}{}()343434Y X X F y P Y y P y P X y F y -=≤=≤=≤+=+； 则有()()()()()222433242434434y y X Y Y X dF y f y F y f y dy +---⨯+'===+==， 这显然是标准正态分布的概率密度函数，也就是说(,)0 1YN 。
一般来说，若(,)2 XN μσ，则X 的线性函数Y aX b =+也服从正态分布，并且(,)22 YN a b a μσ+，特别地，(,)0 1X Y N μσ-=。
21．解：设Y 的分布函数为()Y F y ，则(){}{ln }{}()y y Y X F y P Y y P X y P X e F e =≤=≤=≤=，因此，Y 的概率密度函数为()()()(),(,)()22 1y yy y XY Y X y dF e e f y F y e f e y dy e π'====∈-∞+∞+。
（注意：0 , (,)ye y ）。