第一章 事件与概率1．写出下列随机试验的样本空间。

（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。

（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。

（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。

（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。

（6）实测某种型号灯泡的寿命。

解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。

（2）}18,,4,3{ =Ω。

（3）},11,10{ =Ω。

（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。

（5）=Ω{(x,y)| 0<x<1,0<y<1}。

（6）=Ω{ t | t ≥ 0}。

2．设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件，。

（1）A 发生，B 与C 不发生。

（2）A 与B 都发生，而C 不发生。

（3）A ，B ，C 中至少有一个发生。

（4）A ，B ，C 都发生。

（5）A ，B ，C 都不发生。

（6）A ，B ，C 中不多于一个发生。

（7）A ，B ，C 至少有一个不发生。

（8）A ，B ，C 中至少有两个发生。

解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ，（5）C B A ，（6）C B C A B A ++或C B A C B A C B A C B A +++，（7）C B A ++，（8）BC AC AB ++或ABC BC A C B A C AB ⋃⋃⋃3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。

（1）B B A B A =（2）AB B A =（3）AB B A B =⊂则若,（4）若A B B A ⊂⊂则,（5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ⊂，则Φ=BC解 : (1) 成立，因为B A B B B A B B A ==))((。

(2) 不成立，因为B A B A AB ≠+=。

(3) 成立，AB B B AB AB B A B =∴⊂⊂∴⊂,,,又 。

(4) 成立。

(5) 不成立，因左边包含事件C ，右边不包含事件C ，所以不成立。

(6) 成立。

因若BC ≠φ，则因C ⊂A ，必有BC ⊂AB ，所以AB ≠φ与已知矛盾，所以成立。

图略。

4．简化下列各式：（1） ))((C B B A ++（2）))((B A B A ++（3）))()((B A B A B A +++ 解:（1）BC B AC AB C B B A +++=++))((，因为B BC AB ⊂+，所以，AC B C B B A +=++))((。

（2）B B BA B A A B A B A +++=++))((，因为A A BA B A =Ω=+，Φ=B B 且C C =Φ+，所以))((B A B A ++A =。

（3）))()((B A B A B A +++AB AB B A A =+Φ=+=)(。

5．设A ，B ，C 是三事件，且P （A ）＝P （B ）＝ P （C ）＝41，,81)(,0)()(===AC P BC P AB P 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。

解∵ABC ⊂AB ∴0∠P(ABC)∠P(AB)=0，故P(ABC)=0∴所求概率为P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)8700810214141=+---++6．从1、2、3、4、5这5个数中，任取其三，构成一个三位数。

试求下列事件的概率：（1）三位数是奇数；（2）三位数为5的倍数；（3）三位数为3的倍数；（4）三位数小于350。

解设A 表示事件“三位数是奇数”， B 表示事件“三位数为5的倍数”，C 表示事件“三位数为3的倍数”，D 表示事件“三位数小于350”。

基本事件总数为35A V =Ω，(1)6.060363)(,3352424==⨯=⨯=A A A P A V A ； (2)2.060121)(,1352424==⨯=⨯=A A B P A V B ； (3)4.06024!34)(,!3435==⨯=⨯=A A P V C ；(4) 55.060332)(,235131324131324==⋅+⨯=⋅+⨯=A A A A D P A A A V D 。

7．某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交贷人随意将这些油漆发给顾客。

问一个定货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？解随机试验E 为任意取9桶交与定货人，共有917C 种交货方式。

其中符合定货要求的有410C ·34C ·23C 种，故所求概率为24312529172334410==C C C C P8．在1700个产品中有500个次品、1200个正品。

任取200个。

（1）求恰有90个次品的概率；（2）求至少有2个次品的概率。

解（1）试验E 为1700个产品中任取200个，共有2001700C 种取法，其中恰有90个次品的取法为90500C ·1101200C ，故恰有90个次品的概率为20017001101200905001C C C P ⋅= （2）设事件A 表示至少有2个次品，B 表示恰有1个次品，C 表示没有次品，则A=S-(B ∪C)，且BC=φ，B ∪C ⊂S∴P(A)=P[S-(B ∪C)]=P(S)-[P(B)+P(C)]20017002001200199120015001C C C C +⋅-=9．把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。

解 V Ω=P 10=10！，设所论事件为A ，则V A =8！×3！067.0!10!3!8)(≈⨯=∴A P10．从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？解V Ω=C 410，设A 表示事件“4只鞋中至少有2只配成一双”，则 A 表示“4只鞋中没有2只能配成一双”。

先求出P(A )，再求P(A)。

有利于A 的情形共有!446810⨯⨯⨯种（因为不考虑取4只鞋的次序，所以被4！除）。

381.0218!446810)(410≈=⨯⨯⨯∴C A P 故619.021132181)(1)(≈=-=-=A P A P 另一解法：有利于事件A 的总数为)(25252815是重复的数目C C C C -619.02113)(410252815≈=-=∴C C C C A P11．将3鸡蛋随机地打入5个杯子中去，求杯子中鸡蛋的最大个数分别为1，2，3的概率。

解依题意知样本点总数为53个。

以A i (i=1, 2, 3)表示事件“杯子中鸡蛋的最大个数为i ”，则A 1表示每杯最多放一只鸡蛋，共有35A 种放法，故25125)(3351==A A P A 2表示由3个鸡蛋中任取2个放入5个杯中的任一个中，其余一个鸡蛋放入其余4个杯子中，放法总数为141523C C C 种25125)(31415232=⋅⋅=C C C A P A 3表示3个鸡蛋放入同一个杯中，共有15C 种放法，故2515)(3153==C A P 12．把长度为a 的线段在任意二点折断成为三线段，求它们可以构成一个三角形的概率。

解设所论事件为A ，线段a 被分成的三段长度分别用x ，y 和a-x-y 表示，则样本空间Ω为：0＜x ＜a ，0＜y ＜a ，0＜x+y ＜a ，其面积为,2)(2a L =Ω而有利于A 的情形必须满足构成三角形的条件，即.2,20,20a y x a a y a x <+<<<<< 其面积为,)2(21)(2a A L =25.04121)2(21)()()(22===Ω=∴a a L A L A P 。

13．甲乙两艘轮船要在一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。

若甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需等候码头空出的概率。

解设自当天0时算起，甲乙两船到达码头的时刻分别为x 及y ，则Ω为：0≤x ≤24，0≤y ≤24，∴L(Ω)=242，设所论事件为A ，则有利于A 的情形分别为：（1）当甲船先到时，乙船应迟来一小时以上， 即y-x ≥1或y ≥1+x ；（2）当乙船先到时，甲船应迟来两小时以上， 即x-y ≥2或y ≤x-2；∴事件A 应满足关系：y ≥1+x ，y ≤x-2， L(A) 22)224(21)124(21-+-=879.024)2223(21)()()(222≈+=Ω=∴L A L A P 。

14．已知,21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P 求)(),(B A P B P 。

解由乘法公式知1214131)()|()(=⨯==A P A B P AB P)()|()(B P B A P AB P = ∴612/112/1)|()()(===B A P AB P B P ∴311216141)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P15．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样。

求下列事件的概率。

（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品。

解设以A i (i=1,2)表示事件“第i 次取出的是正品“，因为不放回抽样，故（1）452897108)|()()(12121=⋅==A A P A P A A P （2）45191102)|()()(12121=⋅==A A P A P A A P （3）45169810292108)|()()|()()()()(12112121212121=⋅+⋅=+=+=A A P A P A A P A P A A P A A P A A A A P （4）4599110292108)()()()(212121212=⋅+⋅=+==A A P A A P A A A A P A P 16．在做钢筋混凝土构件以前，通过拉伸试验，抽样检查钢筋的强度指标，今有一组A3钢筋100根，次品率为2%，任取3根做拉伸试验，如果3根都是合格品的概率大于0．95，认为这组钢筋可用于做构件，否则作为废品处理，问这组钢筋能否用于做构件？解设i A 表示事件“第i 次取出的钢筋是合格品”，则9896)(,9997)(,10098)(213121===A A A P A A P A P所以95.09406.0)()()()(213121321<≈=A A A P A A P A P A A A P故这组钢筋不能用于做构件。