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第二章 流体运动基本方程
2、动量平衡——流体运动方程
1）积分形式
v d n ( v v )ds fd pn ds S V S t V
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2）微分形式
守恒形式 v ( v v ) f P 矢量表示： t
2
外界对质量体所做的功率
单位时间内输入质量体的热量
Q qd kT nds
VM S
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第二章 流体运动基本方程
二、基本方程的推导
用控制体描述的基本定律——欧拉描述法的表现形式。 1、质量守恒——连续性方程
1）积分形式
s ij
N—S方程为
1 p v j 张量表示： vi fj ( ) t x i x j x i x i
矢量表示：
v j
v j
v 1 (v )v f p v t
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P ij ji
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第二章 流体运动基本方程
4、能量守恒
1）积分形式： e s d n (ve s )ds v f b d v pnds t V S V S qd kT nds
Φ 表示的损失包括： 非对称膨胀或压缩 + 流体形状改变两部分
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第二章 流体运动基本方程
三、N—S方程的求解途径
1、流体力学方程组的封闭性 ( v ) 0 连续方程： t
Dv v [ (v )v ] f P 运动方程： Dt t
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第二章 流体运动基本方程
（4）能量守恒的概念 热力学第二定律： dE s dW Q
dt
dt
微体积流体的能量： e d (e 1 v 2 gz )d s 质量体的总能量：
1 2 (e v gz )d VM 2
DW f v d v pn ds S Dt V M
M dm d const
VM VM
质量守恒的表示：
DM D d 0 Dt Dt V M
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第二章 流体运动基本方程
（2）动量平衡的概念 牛顿第二定律：
微体积的动量： 质量体的总动量：
d m a ( m v ) F dt
（2）对矢量函数
n ads ad
S V
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第二章 流体运动基本方程
4、基本定律的概念 基本定律的质量体形式表示——拉格朗日描述法的表现形式
（1）质量守恒定律的概念 微体积的质量： dm d 质量体的总质量：
当Φ 为矢量时，须注意通量项的表示（面的法线方 向与速度矢量的点积）： v jΦi d n (vΦ)ds n j (v jΦi )ds S S Vc x j


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第二章 流体运动基本方程
3、体积分与面积分的转换关系——广义高斯公式
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第二章 流体运动基本方程
3）N—S方程（Navier—Stokes Equations） 引进牛顿流体本构方程，运动方程称为N—S方程。
P ij p ij 2 sij ( v ) ij
ij x i
V S
2）微分形式

De DT cV q (kT ) P : v Dt Dt
其中对牛顿流体
2 P : v p v ( v ) 2 ( s : s) p v
Ф ——耗散函数，为不可逆过程。
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第二讲 流体运动基本方程
一、基本方程推导的基础知识 二、基本方程的推导 三、N—S方程的求解途径 四、经典问题的解析解 五、小雷诺数下N—S方程的近似解
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第二讲 流体运动基本方程
一、基本方程推导的基础知识
1、质量体与控制体的概念 （1）定义 1）质量体：选定的具有确定不变的流体质点所组成的流体 团——对应于拉氏描述。 2）控制体：依据研究问题而选定的，相对于所选定的坐标 系固定不动的有限空间——相应于欧拉描述。 （2）特点与区别 几个方面比较：1）相对于所选定的坐标系是否有运动？ 2）体内流体体积是否变化？ 3）自身形状是否变化？ 4）通过界面是否有质量交换？ 5）通过界面是否有动量交换？ 6）通过界面是否有能量交换？
μ 、λ 为常数，在直角坐标下有
P

v [ p ij 2 s ij l ij ] x i x l
s ij p v l 2 ( ) x j x i x j x l
P p 2 s ( v ) 矢量表示：
对控制体的导数
I (t t ) I (t ) I (t ) (r , t )d lim t 0 t t V t 1 lim (r , t t )d (r , t )d t 0 V t V
ui 张量表示： x 0 ；i =1，2，3 i
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第二章 流体运动基本方程
5）应用举例 确定沿变深度矩形截面河道的水面波动运动，其在一维假设下的连 续方程表达形式。 解：1、描述参数
设河道宽：B，河道静止水深：h(x); 波面高度：ξ (x,t)，一维断面均匀流速u(x,t)；
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第二章 流体运动基本方程
3）耗散函数Ф 在直角坐标中的表示 取：λ =-2μ /3 2 u v 2 v w 2 w u 2 [( ) ( ) ( ) ] 3 x y y z z x
u v 2 v w 2 w u 2 [( ) ( ) ( ) ] y x z y x z
(m r v ) r F
r vd
质量体的总动量矩：
r vd
VM
动量矩平衡的表示：
D r v d r fd r pn ds VM S Dt V M
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第二章 流体运动基本方程
2、雷诺输运定理（Reynolds’ Transport Theorem）
考虑一物理量在质量体上的体积分的随时间的变化率与相应控制体 上体积分随时间的变化率间的关系。 （1）定义 对一物理量Φ （x,y,z,t）， 质量体体积为：VM； t时刻，对应控制的体积为：VC； 此时取控制体的截面积为质量体的界面：S 质量体内总量：
张量表示：
v j t Pij ( v i v j ) f j x i x i
非守恒形式 Dv v [ (v )v ] f P 矢量表示： Dt Dv j
t v j v j Pij 张量表示： ( vi ) f j Dt t x i x i
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第二章 流体运动基本方程
3、动量矩平衡
1）积分形式：
r v d n [v (r v )]ds r fd r pn ds S V S t V
2）微分形式 未增加独立方程，仅证明应力张量的对称性。
~ I (t ) (r , t )d
VM
控制体内总量：
I (t ) (r , t )d
VC
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第二章 流体运动基本方程
对质量体的导数
~ ~ D ~ D I (t t ) I ( t ) I (t ) ( r , t )d lim t 0 Dt Dt V M ,t t 1 lim0 (r , t t )d (r , t )d t V M ,t t V M ,t t
（1）标量函数
S
n ads ad
(v ) nds (v )d
S V
V
a j (n )ads ( )ad x d S V V x i i
能量方程：
De DT cV q (kT ) P : v Dt Dt
当设k、cV、μ 及λ 为常数下，有未知量12个： {ρ 、u、v、w、T、p及六个σ ij} 需补充7个方程，即： 状态方程： ( p, T ) 本构方程： P p 2 s ( v )
C C C
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（2）推证结果
D d d (v ) nds S Dt V M t VC
当控制体的体积Vc不变时，有：
D d (v ) nds d VC t S Dt V M
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