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等比数列及其前n项和

等比数列及其前n 项和[考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.【知识通关】1.等比数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示,定义的数学表达式为a n +1a n=q (n ∈N *,q 为非零常数). (2)等比中项:如果a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.即G 是a 与b 的等比中项⇒a ,G ,b 成等比数列⇒G 2=ab .2.等比数列的有关公式(1)通项公式:a n =a 1q n -1=a m q n -m .(2)前n 项和公式:S n =⎩⎨⎧ na 1(q =1),a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q (q ≠1).[常用结论]1.在等比数列{a n }中,若m +n =p +q =2k (m ,n ,p ,q ,k ∈N *),则a m ·a n =a p ·a q =a 2k . 2.若数列{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n }(λ≠0),⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ,{a 2n },{a n ·b n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍然是等比数列. 3.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为q n ,其中当公比为-1时,n 为偶数时除外.【基础自测】1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)满足a n +1=qa n (n ∈N *,q 为常数)的数列{a n }为等比数列.( )(2)G 为a ,b 的等比中项⇔G 2=ab .( )(3)若{a n }为等比数列,b n =a 2n -1+a 2n ,则数列{b n }也是等比数列.( )(4)数列{a n }的通项公式是a n =a n ,则其前n 项和为S n =a (1-a n )1-a.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2.已知{a n }是等比数列,a 2=2,a 5=14,则公比q =( ) A .-12 B .-2 C .2 D .12D3.已知数列{a n }满足a n =12a n +1,若a 3+a 4=2,则a 4+a 5=( ) A .12B .1C .4D .8 C4.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( ) A .13 B .-13 C .19 D .-19C5.在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n =__________.6【题型突破】等比数列的基本运算1.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知3S 3=a 4-2,3S 2=a 3-2,则公比q =( )A .3B .4C .5D .6B2.等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n ,已知a 3=32,S 3=92,则a 2=________.-3或323.(2019·济宁模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n 且a 1+a 3=52,a 2+a 4=54,则S n a n=________. 2n -1[方法总结] (1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论,当q =1时,{a n }的前n项和S n =na 1;当q ≠1时,{a n }的前n 项和S n =a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q.等比数列的判定与证明【例1】 (2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1=1,na n +1=2(n +1)a n .设b n =a n n .(1)求b 1,b 2,b 3;(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由;(3)求{a n }的通项公式.[解] (1)由条件可得a n +1=2(n +1)n a n .将n =1代入得,a 2=4a 1,而a 1=1,所以,a 2=4.将n =2代入得,a 3=3a 2,所以,a 3=12.从而b 1=1,b 2=2,b 3=4.(2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得a n +1n +1=2a n n,即b n +1=2b n ,又b 1=1,所以{b n }是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得a n n =2n -1,所以a n =n ·2n -1.[方法总结](1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n =1时的情况进行验证.n n 1n +1n n=a n +1-2a n ,(1)求证:{b n }是等比数列.(2)求{a n }的通项公式.[解] (1)因为a n +2=S n +2-S n +1=4a n +1+2-4a n -2=4a n +1-4a n , 所以b n +1b n =a n +2-2a n +1a n +1-2a n =4a n +1-4a n -2a n +1a n +1-2a n =2a n +1-4a n a n +1-2a n=2. 因为S 2=a 1+a 2=4a 1+2,所以a 2=5.所以b 1=a 2-2a 1=3.所以数列{b n }是首项为3,公比为2的等比数列.(2)由(1)知b n =a n +1-2a n =3·2n -1,所以a n +12n +1-a n 2n =34, 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12,公差为34的等差数列. 所以a n 2n =12+(n -1)·34=3n -14, 所以a n =(3n -1)·2n -2.等比数列性质的应用【例2】 (1)等比数列{a n }中,已知a 1+a 3=8,a 5+a 7=4,则a 9+a 11+a 13+a 15的值为( )A .1B .2C .3D .5(2)(2019·海口调研)在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a m ·a m +2=2a m +1(m ∈N *),数列{a n }的前n 项积为T n ,且T 2m +1=128,则m 的值为( )A .3B .4C .5D .6 (3)等比数列{a n }满足a n >0,且a 2a 8=4,则log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+…+log 2a 9=________.(1)C (2)A (3)9 [方法总结] (1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m +n =p +q ,则a m ·a n =a p ·a q ”,可以减少运算量,提高解题速度.(2)等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变形;二是等比中项的变形;三是前n 项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(1)等比数列{a n}的首项a1=-1,前n项和为S n,若S10S5=3132,则公比q=________.(2)(2019·石家庄模拟)在等比数列{a n}中,若a7+a8+a9+a10=158,a8a9=-98,则1a7+1a8+1a9+1a10=________.(1)-12(2)-53【真题链接】1.(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏B2.(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21 B.42C.63 D.84B3.(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=________.-84.(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为________.645.(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{a n}的通项公式;(2)记S n为{a n}的前n项和.若S m=63,求m.[解](1)设{a n}的公比为q,由题设得a n=q n-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故a n=(-2)n-1或a n=2n-1.(2)若a n=(-2)n-1,则S n=1-(-2)n3.由S m=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若a n=2n-1,则S n=2n-1.由S m=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.。

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