Black-Scholes 期权定价鞅模型与风险中性模型相关分析
罗小明（江西吉水二中，331600）
摘 要：在风险中性模型中分析B-S 期权定价公式的内容，把期权价格看作期权交易过程
中依赖于股票价格的收益期望值，通过计算这个期望值得出B-S 期权定价公式。
关键词: 期权定价 鞅 风险中性模型
Analysis of Black Scholes option pricing martingale model and risk-neutral model LUO Xiao-Ming
（School of Math, Y unnan Normal University, Kunming, 650092）
Abstract : analyzed the contents of the Black-Scholes option pricing formula in risk-neutral
model, the income expectation value of the option price make depend on in the option bargain process in the stock price, and get a formula of Black-Scholes by compute this expectation value.
Key words: Option pricing martingale risk-neutral model
本文主要讨论了鞅模型和如何在风险中性模型中对欧式看涨期权定价及理论依据。
一、B-S 期权定价鞅模型
1、模型的基本假设
（1）无风险利率r 为常数，且对所有到期日都相同。
（2）标的资产为股票的价格过程为t
Y t e S S 0=，],0[+∞∈t 其中{}t Y 是一个Wiener
process （维纳过程），S t 的分布用P 表示，S 0为t=0时的股价。
（3）标的股票无分红、无交易费、无税。
（4）所有证券都是高度可分的，对卖空无限制。
（5）证券交易是连续的，不存在无风险套利机会。
2、B-S 模型在定价日t=0（T>0）的欧氏看涨期权价格
)()(2100d N ke
d N S C rT
--= （1）
其中T
T r k
S In d 6]
)62
1()(
[2
2-
+= T d d 621+=
3、推导思路
找一个新的概率测度P 使得在此概率测度下S t 成为一个鞅，然后计算这个期望值： {})0,max (0K S e
E C T rT
P
-=- （2）
由（2）可得（1），但找概率测度P 较难，要用到测度变换的Girsanov I.V （基尔沙诺夫）定理，下文在风险中性模型中确定C 0。
二、鞅模型与风险中性模型
在鞅模型中，我们知道P 的分布由)6,)62
1((2
2
t t r N -
给定，t rt
S e
-在此概率测度P 下
变成一个鞅，再由鞅的性质由（2）式直接计算C 0。
而在风险中性模型中，证券价格是它在风险中性测度Q 下的期望支付对无风险利率的折现。
在此风险中性测度Q 不是实际概率测度P 取期望值，为理解这点，请看下例；在1期有两个概率相等的状态a 和b ，市场上有两
只证券1和2，它们的支付和价格如下：
证券1：1＜11
证券2：
2
1＜0
2
证券1是无风险债券，由它的支付和价格可知R=0。
给定两个状态发生的概率，证券2的期望支付为1与证券1的期望支付相同，但是它的价格为
2
1，原因很明显，尽管两者支
付的期望值相同，证券1的支付是确定的，而证券2的支付是有风险的。
由两只证券的价格有1=+b a q q 及2
12=
a q 得4
1=
a q ，3
1=b q ，故风险中性测度⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=43,41Q 、
1011
43
14
1
01]
[1=+⨯+
⨯=+X E Q
、2
1010
43
241
01]
[2=+⨯+
⨯=+X E Q
这正是这两只证券的正确价格，
因此风险中性定价求期望值时所用的是风险中性测度Q 而不是P 。
在简单的静态框架下，我们可直接拓展到更一般的动态情形，把价格当成随机过程，从而使这些经济含义可以运用到更一般的动态框架中去。
在此利用风险中性定价方法可大大简化问题的分析过程。
下面思路，在风险中性模型中对欧氏看涨期权定价。
三、模型分析
这里仍用最为广泛的一种描述股票价格行为的模型：
sdz sdt ds σμ+= （3）
其中μ通常称股价预期收益率，σ通常为股价波动率，z 股从维纳过程。
注：维纳过程：设z 是一个随机变量，如果它满足：
（1）dt dz ε
=，其中：ε∽N （0，1），（2）对任何两个不同时间间隔t ∆，z ∆的值
相互独立，则称z 服从维纳过程。
由股票价格过程可知：t
t e S S E μ0][= （4）
在风险中性时，0时的股价可通过将t 时风险中性期望值以无风险中性利率r 贴现而得，即][ˆ0t rt
S E e
S -=，如果rt t e S S E 0
][ˆ=，则上式成立。
如果我们定义下面过程：由（3）（4）可得 z
sd rsdt ds ˆσ+= （5） 其中z
ˆ是标准维纳过程，即有)0(ˆ)(ˆz T z -∽N （0，T ）定义E ˆ为z ˆ与过程相关的期望值。
在此，我们从利率为μ的对数正态O
IT ˆ过程，开始建立一个利率为r 的类似过程，得到等价的风险中性过程，由此可确定风
险中性概率测度Q 。
因为概率测度不同，我们用Z 和z
ˆ区分它们。
设股价S 服从O
IT ˆ过程，由z sd rsdt ds ˆσ+=，令G=Ins 由O IT ˆ过程的O IT ˆ公式可得 z
d dt r ds S
ds s
dG ˆ6)2
6
()()1(2
112
2
2
+-
=⋅-+= （6）
（按此规则计算：dt z d z
d =⋅ˆˆ，0ˆˆ=⋅=⋅=⋅dt z d dt dt z d dt ） 它具有恒定的漂移率为2
6
2
-r 和恒定的方差率2σ，可见在当前t 和将来某一时刻T 之
间G 的变化是正态分布的。
即
)(0
S S In T
∽T T r N 2
2
6,)2
6
((-
） （7）
由此知T S 具有对数正态分布，且风险中性概率测度Q 也确定了。
下可用风险中性定价方法计算s 的任意衍生证券的价值，特别地，欧式看涨期权定价公式为
{}],max[ˆ0O K S E e
C T
rT
-=- （8） 由（7）式可得T S 的密度函数为
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨⎧≤>---⋅=0
S 00S ]26))26((exp[6211T T 222
02
T T r S S In T S f T T
T S π （9） 由（8）（9）再令0
S S In
Y T T =、且K S T ≥，K 为执行价,得：
T T S k In
Y rT
dY T r Y T
k e
S T
e
C T
)]))62
1((261exp[)(622
22
02
00
-
--
-=
⎰
∞+-π
)()(210d N ke
d N S rT
--=（令T
T
r Y z T 6)62
1
(2
-
-=
） (10)
其中)6]
)62
1()(
[2
2T
T r k
S In d -
+=
T d d 621+=
由此知两种模型下的定价公式一致，这也证实两种模型下的概率测度是相等的。
但在此我们回避了一些复杂过程，在风险中性模型中，大大简化问题分析过程，通过计算一个关于S T 的函数期望值即得欧式期权定价公式。
参考文献：
（1）Tomas Björk .Arbitrage Theory in Continuous Time. Oxford University Press ，1998:85—90 （2）张波,张景肖，应用随机过程.清华大学出版社,2004:190—191,199—206 （3）范龙振、胡畏.金融工程学.上海人民出版社,2003:178—179 （4）孔爱国，现代投资学，上海人民出版社,2003:238—242,246—247 （5）王江.金融经济学.中国人民大学出版社,2006:59—62
（6）周耀琼、侯木舟.B-S 期权定价公式的博弈论相关分析.数学理论与应用,2006.(9):70—73。