该模型即为logit回归模型。logit回归模型实际上是普通多元
线性回归模型的推广，但它的误差项服从二项分布而非正态分布，
因此，需要采用极大似然估计方法进行参数估计，参数称为 logit回归系数，表示当其他自变量取值保持不变时，该自变量取
值增加一个单位引起的发生比自然对数值的变化量。
2、发生比




g（P）= log （P/1-P）

以对数比率为因变量对自变量X1，X2，X3……做回归称为对数比率 回归（logistic regression），其方程式为：

P log( ) a i X i 1 P
表1 概率、比率和对数比率
概率 0.01 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.99


四、极大似然估计的基本思想
1) 概率问题 例1、假定我们要估计一样本中男性的发生概率。以s表示样本中男性 的数量；N是样本规模；π 是总体中男性的概率（ =0.5 ）。 根据贝努利公式：
Pr( s / , N ) N! s (1 ) N s s !( N s)!



三、简单对数比率回归
1、模型建立

既然用线性概率回归存在以上两个方面的局限性，我们能否用比率做 因变量呢？ 比如用男女比率作因变量，用成功与不成功之比做因变量。用比率做 因变量可以建立估计方程，但存在的问题是，比率是非对称的. 一个简单的解决办法就是取对数，结果就是所谓对数比率（logit)。 若用P代表某事件的概率，则对数比率函数的定义为

其中：P—党员概率， A—年龄， E—受教育年限， U—单位身份
2、线性概率模型存在的问题

1）异方差性 普通最小二乘法假设残差项的方差是相同的，但二项分布的方差为 p（1-p），这意味着方差是中间大，两边小，所以方程中残差项的方差 不可能恒定。 2）非正态性 在给定自变量x条件下， 是y的预测值与实际值的离差。由于y仅仅 有0和1两个值，误差项 要么等于 0 0 E( y / x* ) ，或者 1 1 E( y / x* ) 很明显，该误差项不是正态分布。 3）无意义的解释 从解释力上看，由于概率的值是有边界的，在0与1之间。但林楠方程 很有可能要超过该限制，因变量的估计值可能是负数，也可能大于1，因 此模型的结果是无意义的。例如，运用林楠方程，我们发现如果年龄为 100岁，受教育程度超过10年，则入党的概率约等于1。 4）非线性关系

P = a + ∑β iXi + ε

对二项分布线性概率模型的结果解释： 在其他变量不变的情形下，x每增加一个单位，事件发生概率的 期望将变动β 个单位。 例如，林楠和谢文（1988）曾用线性概率模型估测入党（政治 资本）的概率，模型为：


P = -0.39 +0.01A +0.04E +0.03U


2) 似然函数
当已知N 和，求s发生的可能性有多大，所建立的函数，称为 概率函数。而当已知N 和s，求发生的可能性有多大，所建立的函 数，称为似然函数。 二者的差异：第一、前者是在参数已知下的数据的函数，后者 是在数据已知条件下的参数的函数。第二、参数值是由可能性最高 的值决定，我们称该值为极大似然估计。 L（π /s=3, N=10）=
发生比是事件的发生频数与不发生频数之间的比，即：

Odds=(事件发生频数)/（事件不发生频数）
oddsk [ pk /(1 pk )]


当比值大于1时，表明事件更有可能发生。比如一 个事件发生的概率为0.6，事件不发生的概率为0.4，发 生比等于0.6/0.4=1.5。事件发生的可能性是不发生的1.5 倍。
第九讲 定类或定序因变量回归分析
一、问题的提出

线性回归模型在定量分析中广为流行，然而当因变量是一个定
类变量而不是一个连续变量时，很难应用线性回归模型。

如政治学中研究是否选举某候选人，经济学研究中涉及的是否销
售或购买某种商品，如在社会学和人口学研究中所涉及的如犯罪、逃 学、迁移、结婚、离婚、生育、患病等等都可以按照二分类变量或多 分类来测量。
y N y (1 )( N y ) y !( N y )!



（2）泊松分布（Poisson）
y e y y!
二、线性概率模型

1、模型建立 以最小二乘法为基础的线性回归方程是估测因变量的平均值，而 二分变量的均值有一个特定的意义，即概率。用普通线性回归方程估 测概率，就是所谓的线性概率回归。用公式表示为：
比率
0.01
0.11
0.25
0.43
0.67
1.00
1.50
2.33
4.00
9.00
99
对数 比率
-4.60
-2.20
-1.39
-0.85
-0.41
0.00
0.41
0.851.39源自2.204.60pi
1 exp( k 0 k xik )
K
exp( k 0 k xik )
K
(i )

又如在研究态度与偏好等心理现象时也经常按几个类型进行测量
的，如“强烈反对”、“反对”、“中立”、“支持”、和“强烈支 持”。

另外，有时对一些连续变量也要转换成类型变量，如在分析升学
考试的影响因素时，将考生分为录取线以上和录取线以下，只要选定 一个分界点，连续变量便可以被转换成定类变量。

从统计理论上看，在进行最小二乘法的参数估计时，我们仅 仅关注残差项ε的分布，很少对因变量Y所服从的分布予以关注， 实际上,我们拥有Y的信息要远远大于拥有残差项ε的信息。 因变量Y服从正态分布的推断来源于残差项服从正态分布，因 为Y 是残差项的线性函数。事实上，社会经济现象往往有不同于 正态分布的其他分布，例如： （1）二项分布（binomial distribution）



其中k!=k(k-1)…2.1
10个样本中有3个男性的概率为：
Pr( s 3 / 0.5, N 10) 10! 0.53 (1 0.5)103 0.117 3!(10 3)!

如果我们已知样本中s、N及其概率分布的信息，需要估计总体特征， 则需要借助极大似然估计法来完成。极大似然估计ML就是估计这样一个参 数值，由于该参数的存在可以使得被观察的事件最有可能发生。