数学建模章绍辉版作业集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#第四章作业第二题：针对严重的交通情况，国家质量监督检验检疫局发布的国家标准，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20mg/100ml,小于80mg/100ml 为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80mg/100ml 的为醉酒驾车。
下面分别考虑大李在很短时间内和较长时间内（如2个小时）喝了三瓶啤酒，多长时间内驾车就会违反新的国家标准。
1、问题假设大李在短时间内喝下三瓶啤酒后，酒精先从吸收室（肠胃）吸收进中心室（血液和体液），然后从中心室向体外排除，忽略喝酒的时间，根据生理学知识，假设（1） 吸收室在初始时刻t=0时，酒精量立即为32D ;在任意时刻，酒精从吸收室吸收进中心室的速率（吸收室在单位时间内酒精含量的减少量）与吸收室的酒精含量成正比，比例系数为1k ；（2） 中心室的容积V 保持不变；在初始时刻t=0时，中心室的酒精含量为0；在任意时刻，酒精从中心室向体外排除的速率（中心室在单位时间内酒精含量的减少量）与中心室的酒精含量成正比，比例系数为2k ；（3） 在大李适度饮酒没有酒精中毒的前提下，假设1k 和2k 都是常量，与饮酒量无关。
2、符号说明酒精量是指纯酒精的质量，单位是毫克；酒精含量是指纯酒精的浓度，单位是毫克/百毫升；~t 时刻（小时）；()~x t 在时刻t 吸收室（肠胃）内的酒精量（毫克）；0~D 两瓶酒的酒精量（毫克）；(t)~c 在时刻t 吸收室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升）； 2()~c t 在时刻t 中心室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升）；~V 中心室的容积（百毫升）；1~k 酒精从吸收室吸收进中心室的速率系数（假设其为常数）； 2~k 酒精从中心室向体外排除的速率系数（假设其为常数）；3~k 在短时间喝下三瓶酒的假设下是指短时间喝下的三瓶酒的酒精总量除以中心室体积，即03/2D V ；而在较长时间内（2小时内）喝下三瓶酒的假设下就特指03/4D V . 3、模型建立和求解（1） 酒是在很短时间内喝的：记喝酒时刻为0t =（小时），设(0)0c =，可用()2113212()k t k t k k c t e e k k --=--来计算血液中的酒精含量，此时12k k 、为假设中所示的常数，而033155.792D k V ⎛⎫== ⎪⎝⎭.下面用MATLAB 程序画图展示血液中酒精含量随时间变化并且利用fzero 函数和fminbnd 函数来得到饮酒驾车醉酒驾车对应的时间段，以及血液中酒精含量最高的时刻。
MATLAB 程序如下：k1=;k2=;k3=;c=@(t)(k1.*k3)./(k1-k2).*(exp(-k2.*t)-exp(-k1.*t)); f=@(t)c(t)-20; g=@(t)c(t)-80; h=@(t)-c(t);t1(1)=fzero(f,1);t1(2)=fzero(f,12), t2(1)=fzero(g,1);t2(2)=fzero(g,12) [t3,c3]=fminbnd(h,0,24) fplot(c,[0,20],'k') hold onplot([0,20],[20,20],'k',[0,20],[80,80],'k') hold offxlabel('时刻t（小时），从开始喝酒算起')ylabel('血液中的酒精含量（mg/100ml）')title('短时间喝下三瓶酒时，血液中酒精含量随时间的变化过程')gtext(',20)')gtext(',20)')gtext(',80)')gtext(',80)')gtext(',')运行结果如下：t1 =t2 =t3 =c3 =所绘图形如下：结果分析：所以，当[0.06891,0.38052)(4.1125,11.589]t∈⋃时，20()80c t≤<，属饮酒驾车。
当[0.38052,4.1125]t∈时，属醉酒驾驶；当 1.307t=时，血液中的酒精含量最高为毫克/百毫升。
（2）酒是在2小时内喝的：可假设三瓶啤酒是在2小时内匀速喝的. 同样记喝酒时刻为0t=（小时），设(0)0c=，则吸收室的酒精量1()x t满足分段的初值问题解得于是中心室内的酒精含量2()c t满足分段的初值问题解得其中0334D k V=，3412k k k k =-，1452k k k k =，362= k k k ，1273(1)k k k e =- 12228456k k k k ek ek --=-+，7912k k k k =-，22122()1089k k k k k ek e -=+ 因为1 2.0079k =，20.1855k =以及0/103.86D V =，所以377.896k =，442.743k =，5462.66k =，6419.92k = 74243.1k =，8101.43k =，92328.3k =，10207.82k =下面用MATLAB 程序画图展示血液中酒精含量随时间变化并且利用fzero 函数和fminbnd 函数来得到饮酒驾车醉酒驾车对应的时间段，以及血液中酒精含量最高的时刻。
MATLAB 程序如下：k1=;k2=;k3=;k4=;k5=;k6=;k9=;k10=;c1=@(t)(k4.* exp(-k1.*t)-k5.*exp(-k2.*t)+k6).*(t>=0&t<=2)+... ( k10.* exp(-k2.*t)-k9.*exp(-k1.*t)).*(t>2); f1=@(t)c1(t)-20; g1=@(t)c1(t)-80; h1=@(t)-c1(t);t1(1)=fzero(f1,1);t1(2)=fzero(f1,12), t2(1)=fzero(g1,1);t2(2)=fzero(g1,12), [t3,c3]=fminbnd(h1,0,20) fplot(c1,[0,20],'k') hold onplot([0,20],[20,20],'k',[0,20],[80,80],'k') hold offxlabel('时刻t （小时），从开始喝酒算起') ylabel('血液中的酒精含量（mg/100ml ）')title('短时间喝下三瓶酒时，血液中酒精含量随时间的变化过程') gtext(',20)') gtext(',20)') gtext(',80)') gtext(',80)') gtext(',')运行结果如下：t1 =t2 =t3 =c3 =所绘图形如下：结果分析：所以，当[0.62321,1.6366)(5.1412,12.62]c t≤<，属饮酒驾车。
当t∈⋃时，20()80t=时，血液中的酒精含量最高，为毫克/[1.6366,5.1412]t∈时，属醉酒驾驶；当 2.6328百毫升.下面用图形比较两种不同假设下血液中酒精含量的变化过程。
MATLAB程序如下：k1=;k2=;k3=;k4=;k5=;k6=;k9=;k10=;c=@(t)(k1.*k3)./(k1-k2).*(exp(-k2.*t)-exp(-k1.*t));c1=@(t)(k4.* exp(-k1.*t)-k5.*exp(-k2.*t)+k6).*(t>=0&t<=2)+...( k10.* exp(-k2.*t)-k9.*exp(-k1.*t)).*(t>2);plot(0::20,c(0::20),'--k',0::20,c1(0::20),'k',2,c1(2),'.k')xlabel('时刻t（小时），从开始喝酒算起')ylabel('血液中的酒精含量（mg/100ml）')title('短时间喝下三瓶酒时，血液中酒精含量随时间的变化过程')legend('很短时间内喝三瓶啤酒','两小时内匀速喝下三瓶啤酒','函数的分段点')所绘图形如下：第四题：研究将鹿群放入草场后，草和鹿两个种群的相互作用，草的生长服从Logistic 规律，年固有增长率，最大密度为3000个密度单位，在草最茂盛时，每只鹿每年吃掉个密度单位的草，若没有草，鹿群的年死亡率高达,而在草最茂盛的时候草对鹿的死亡的补偿率为。
1、建立差分方程组模型，比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的两种草场的情况下，草和鹿两个种群的数量演变过程。
（1）符号说明：x ~k 第k 年草场的密度单位 ~k y 第k 年草场上鹿的数量 r ~草场上草的年固有增长率a ~由于捕食导致的草的密度单位减少的速度大小d ~如果没有草，鹿群的年死亡率 b ~草对鹿群死亡的补偿率 N ~草的最大密度单位 （2）模型的建立与求解：基于以上假设，由于草的生长服从Logistic 模型，建立差分方程组模型如下所示： 令1k k x x x +==，1k k y y y +==，与上述方程组联立得到平衡点为0(0,0)P 、1(,0)P N 、2()(,)dN rN b d P b ab- 以下用MATLAB 实现差分方程组模型。
MATLAB 程序如下：n=20;r=;a=;b=;d=;N=3000;t=1:n+1;x1(1)=1000;y1(1)=100; for k=1:nx1(k+1)=x1(k)+r*x1(k)*(1-x1(k)/N)-a*x1(k)*y1(k)/Ny1(k+1)=y1(k)-d*y1(k)+b*x1(k)*y1(k)/Nendsubplot(2,2,1),plot(t,x1,'k^',t,y1,'kv'),axis([-1,21,0,3000]), xlabel('第k年'),ylabel('数量'),gtext('草密度'),gtext('鹿数量'), title('草和鹿随时间的演变');subplot(2,2,2),plot(x1,y1,'ko'),axis([1000,3000,0,1000]), xlabel('草密度'),ylabel('鹿数量'),title('相平面图');x2(1)=3000;y2(1)=100;for k=1:nx2(k+1)=x2(k)+r*x2(k)*(1-x2(k)/N)-a*x2(k)*y2(k)/Ny2(k+1)=y2(k)-d*y2(k)+b*x2(k)*y2(k)/Nendsubplot(2,2,3),plot(t,x2,'k^',t,y2,'kv'),axis([-1,21,0,3000]), xlabel('第k年'),ylabel('数量'),gtext('草密度'),gtext('鹿数量'), title('草和鹿随时间的演变');subplot(2,2,4),plot(x2,y2,'ko'),axis([1000,3000,0,1000]), xlabel('草密度'),ylabel('鹿数量'),title('相平面图');运行结果如下：x1 =Columns 1 through 81000 1480Columns 9 through 161550Columns 17 through 21y1 =Columns 1 through 8100 60Columns 9 through 16Columns 17 through 21x2 =Columns 1 through 83000 2840 2570 2149Columns 9 through 161698 1907Columns 17 through 21y2 =Columns 1 through 8 100 160Columns 9 through 16Columns 17 through 21所绘图像如下： 由图像中可以看出2()(,)dN rN b d P b ab-为渐进稳定的平衡点。