《建筑力学与结构》静定结构的内力分析【学习目标】1、能够计算多跨静定梁、刚架、桁架的内力2、能够画出多跨静定梁、静定平面刚架的内力图。

【知识点】静定梁、静定平面刚架、静定平面桁架的内力计算。

【工作任务】任务多跨静定梁的计算任务静定平面刚架的内力计算及内力图绘制任务静定平面桁架内力计算【教学设计】通过对静定梁、静定平面刚架、静定平面桁架例题的求解让同学们对静定结构的内力计算及内力图的绘制有个清楚的认识。

8.1静定梁的计算若干根梁用铰相连，并和若干支座与基础相连而组成的静定梁，称为多跨静定梁。

在实际的建筑工程中，多跨静定梁常用来跨越几个相连的跨度。

下图(a) 8-1所示为一公路或城市桥梁中，常采用的多跨静定梁结构形式之一，其计算简图如图8-1 (b)所示。

图8-1在房屋建筑结构中的木檩条，也是多跨静定梁的结构形式，如图8-2(a)所示为木檩条的构造图，其计算简图如图8-2(b)所示。

连接单跨梁的一些中间铰，在钢筋混凝土结构中其主要形式常采用企口结合(上图8-1a)，而在木结构中常采用斜搭接并用螺栓连接(图8-2b)。

从几何组成分析可知，上图8-1(b)中AB梁是直接由链杆支座与地基相连，是几何不变的。

且梁AB本身不依赖梁BC和CD就可以独立承受荷载，称之为基本部分。

如果仅受竖向荷载作用，CD梁也能独立承受荷载维持平衡，同样可视为基本部分。

短梁BC是依靠基本部分的支承才能承受荷载并保持平衡，所以，称为附属部分。

同样道理在下图8-2(b)中梁AB、CD和EF均为基本部分，梁BC和梁DE为附属部分。

为了更清楚地表示各部分之间的支承关系，把基本部分画在下层，将附属部分画在上层，如上图8-1(c)和下图8-2（c)所示，我们称它为关系图或层叠图。

从受力分析来看，当荷载作用于基本部分时，只有该基本部分受力，而与其相连的附属部分不受力；当荷载作用于附属部分时，则不仅该附属部分受力，且将通过铰把力传给与其相关的基本部分上去。

因此，计算多跨静定梁时，必须先从附属部分计算，再计算基本部分，按组成顺序的逆过程进行。

例如上图8-1（c），应先从附属梁BC计算，再依次考虑CD、AB 梁。

这样便把多跨梁化为单跨梁，分别进行计算，从而可避免解算联立方程。

再将各单跨梁的内力图连在一起，便得到多跨静定梁的内力图。

图8-2【例8-1】试作下图8-3 (a)所示多跨静定梁的内力图。

【解】 (1)作层叠图如图(b)所示，AC梁为基本部分，CE梁是通过铰C和D支座链杆连接在AC梁上，要依靠AC梁才能保证其几何不变性，所以CE梁为附属部分。

(2)计算支座反力从层叠图看出，应先从附属部分CE开始取隔离体，如下图(c)所示。

ΣM B =0 -80×6+V D×4=0 V D=120KNΣM D=0 -80×2+V C×4=0 V C=120KN将V C反向，作用于梁AC上，计算基本部分ΣX=0 H A=0ΣM A =0 40×10-V B×8-10×8×4+64=0V B=18 KNΣM B =0 40×2+10×8×4+64-V A×8=0V A=58 KN校核：由整体平衡条件得Σy=一80+120—18+58—10×8=0，无误(3)作内力图．除分别作出单跨梁的内力图，然后拼合在同一水平基线上这一方法外，多跨静定梁的内力图也可根据其整体受力图直接绘出，如下图(d)、(e)所示。

图8-38.2静定平面刚架的内力计算及内力图绘制8.2.1 静定平面刚架的特点(1) 刚架(亦称框架)是若干根直杆组成的具有刚节点的结构。

静定平面刚架常见的形式有简支刚架、悬臂刚架、三铰刚架、门式刚架等，分别如下图(a)、(b)、(c)、(d)所示。

图8-4刚架中的所谓刚节点，就是在任何荷载作用下，梁、柱在该节点处的夹角保持不变。

如上图8-4 (a)、(b)、(c)、(d)中虚线所示，刚节点有线位移和转动，但原来节点处梁、柱轴线的夹角大小保持不变。

(2) 在受力方面，由于刚架具有刚节点，梁和柱能作为一个整体共同承担荷载的作用，结构整体性好，刚度大，内力分布较均匀。

在大跨度、重荷载的情况下，是一种较好的承重结构，所以刚架结构在工业与民用建筑中，被广泛地采用。

8.2.2 静定刚架的内力计算及内力图8.2.2.1 内力计算如同研究梁的内力一样，在计算刚架内力之前，首先要明确刚架在荷载作用下，其杆件横截面将产生什么样的内力。

现以左图8-5（a）所示静定悬臂刚架为例作一般性的讨论。

图8-5 现在我们研究刚架任意一截面m—m产生什么内力。

先用截面法假想将刚架从m---m截面处截断，取其中一部分隔离体图(b)。

在这隔离体上，由于作用荷载，所以截面m—m上必产生内力与之平衡。

从ΣX=0可知，截面上将会有一水平力，即截面的剪力Q；从ΣY=0可知，截面将会有一垂直力，即截面的轴力N；再以截面的形心0为矩心，从Σmo=0可知，截面必有一力偶，即截面的弯矩M。

因此可得出结论：刚架受荷载作用产生三种内力：弯矩、剪力和轴力。

要求出静定刚架中任一截面的内力(M、N、Q)也如同计算梁的内力一样，用截面法将刚架从指定截面处截开，考虑其中一部分隔离体的平衡，建立平衡方程，解方程从而求出它的内力。

因此，关于静定梁的弯矩和剪力计算的一般法则，对于刚架来说同样是适用的。

即：“任一截面的弯矩在数值等于该截面任一侧所有外力(包括支座反力)对该截面形心力矩的代数和”。

“任一截面的剪力在数值上等于该截面任一侧所有外力(包括支座反力)沿该截面切向投影的代数和”。

“任一截面的轴力在数值上等于该截面任一侧所有外力(包括支座反力)在该截面法向投影的代数和”。

8.2.2.2 内力图的绘制在作内力图时，先根据荷载等情况确定各段杆件内力图的形状，之后再计算出控制截面的内力值，这样即可作出整个刚架的内力图。

对于弯矩图通常不标明正负号，而把它画在杆件受拉一侧，而剪力图和轴力图则应标出正负号。

在运算过程中，内力的正负号规定如下：使刚架内侧受拉的弯矩为正，反之为负；轴力以拉力为正、压力为负；剪力正负号的规定与梁相同。

为了明确的表示各杆端的内力，规定内力字母下方用两个角标表示，第一个角标表示该内力所属杆端，第二个角标表示杆的另一端。

如AB 杆A 端的弯矩记为，B 端的弯矩记为；CD 杆C 端的剪力记为、D 端的剪力记为等等。

全部内力图作出后，可截取刚架的任一部分为隔离体，按静力平衡条件进行校核。

【例8-2】 计算图8-6所示刚架刚节点C 、D 处杆端截面的内力。

【解】(1)利用平衡条件求出支座反力，如图8-6所示；(2)计算刚节点C 处杆端截面内力取AC1段上的所有外力可求得：图8-6N CA = 4KNV CA =12-3×4=0M CA =12×4-3×4×2=24KN . m （内侧受拉）取AC 2杆上所有的外力可求得 N CD = 12-3×4=0V CD = -4KNM CA =12×4-3×4×2=24KN . m （下侧受拉）AB M BA M CD Q C D Q（3）计算刚接点D处杆端截面内力取BD1杆上所有的外力可求得:N DB = -4 KNV DB = 0M DB =0取BD2杆上所有的外力可求得:N DC = 0V DC = -4 KNM DC =08.3静定平面桁架内力计算8.3.1 桁架的特征桁架是由若干根直杆在其两端用铰连接而成的结构。

在建筑工程中，是常用于跨越较大跨度的一种结构形式。

实际桁架的受力情况比较复杂，因此，在分析桁架时必须选取既能反映桁架的本质又能便于计算的计算简图。

通常对平面桁架的计算简图作如下三条假定(图8-7)：(1)各杆的两端用绝对光滑而无摩擦的理想铰连接；(2)各杆轴均为直线，在同一平面内且通过铰的中心；(3)荷载均作用在桁架节点上。

图8-7必须强调的是，实际桁架与上述理想桁架存在着一定的差距。

比如桁架节点可能具有一定的刚性，有些杆件在节点处是连续不断的，杆的轴线也不完全为直线，节点上各杆轴线也不交于一点，存在着类似于杆件自重、风荷载、雪荷载等非节点荷载等等。

因此，通常把按理想桁架算得的内力称为主内力(轴力)，而把上述一些原因所产生的内力称为次内力(弯矩、剪力)。

此外，工程中通常是将几片桁架联合组成一个空间结构来共同承受荷载，计算时，一般是将空间结构简化为平面桁架进行计算，而不考虑各片桁架间的相互影响。

在理想桁架情况下，各杆均为二力杆，故其受力特点是：各杆只受轴力作用。

这样，杆件横截面上的应力分布均匀，使材料能得到充分利用。

因此，在建筑工程中，桁架结构得到广泛的应用。

如屋架、施工托架等。

8.3.2 静定平面桁架分类杆轴线、荷载作用线都在同一平面内的桁架称为平面桁架。

按照桁架的几何组成方式，静定平面桁架可分为三类：1 简单桁架在铰接三角形(或基础)上依次增加二元体所组成的桁架，如下图8-8 (a)所示。

2 联合桁架由几个简单桁架按几何组成规则所组成的桁架，如下图8-8 (b)所示。

3 复杂桁架凡不属于前两类的桁架都属于复杂桁架，如下图8-8 (c)所示。

图8-88.3.3 节点法节点法就是取桁架的铰节点为隔离体，利用各节点的静力平衡条件计算杆件内力的方法，因为杆件的轴线在节点处汇交于一点，故节点的受力图是平面汇交力系，逐一选取节点平衡，利用每个节点的两个平衡方程可求出所有杆的轴力。

在计算过程中，通常先假设杆的未知轴力为拉力，利用ΣX=0，ΣY=0两个平衡方程，求出未知轴力，计算结果如得正值，表示轴力为拉力；如得负值，表示轴力为压力。

选取研究对象时，应从未知力不超过两个的节点开始，依次进行。

【例8-3】用节点法计算图8-9所示桁架中各杆的内力。

【解】由于桁架和荷载都是对称的，支座反力和相应杆的内力也必然是对称的，所以只需计算半个桁架中各杆的内力即可。

(1)计算支座反力，（2）计算各杆内力由于A 节点只有两个未知力，故先从A 节点开始计算。

A 节点以1节点为隔离体，可以断定14杆为零杆，A1杆与12杆内力相等，性质相同，即以1节点为隔离体，有将KN Y Y B A 80)202403(21=⨯+⨯==020:04=+-=∑A AY YY KN Y A 604-=KN Y N A A 16.1345603634224-=⨯-+=0:041=+=∑A A X NX KN N X N A A A 120560536536441=⨯⨯-=-=-=KN N N A 120112==0:04414245=----=∑A Y N Y P Y Y 0:044245=-+=∑AXX X X 4545454551,52N Y N X ==4242424251,52N Y N X ==代入两式得联立求解得以节点5为隔离体由于对称性，所以（3）校核以以节点6为隔离体进行校核,可以满足平衡方程. 8.3.4 截面法用节点法计算桁架的内力时，是按一定顺序逐个取节点计算，但在桁架分析中，有时我们仅需求桁架中的某几根杆件的轴力，用节点法求解就显得繁琐，这时用截面法比较方便。