第1讲 集合及其运算A 应知应会一、 选择题 1. (2019·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＞0},B ＝{x |x －1<0},则A ∩B 等于( ) A. (－∞,1) B. (－2,1) C. (－3,－1) D. (3,＋∞) 2. (2019·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{－1,0,1,2},B ＝{x |x 2≤1},则A ∩B 等于( ) A. {－1,0,1} B. {0,1} C. {－1,1} D. {0,1,2} 3. (2019·宁德质检)已知集合A ＝{x |x ≥1},B ＝{x |x 2－2x －3<0},则A ∪B 等于( ) A. {x |1≤x <3} B. {x |x ＞－1} C. {x |1<x <3} D. {x |x ≥1}4. (多选)设集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0},B ＝{x |ax －1＝0},若A ∩B ＝B ,则实数a 的值可以为( )A. 15B. 0C. 3D. 135. (多选)给出下列关系,其中正确的选项是( ) A. ∈{{}} B. ⊆{{}} C. ∈{} D. ⊆{}二、 解答题6. 已知M ＝{2,a ,b },N ＝{2a ,2,b 2},且M ＝N ,求实数a ,b 的值．7. 若A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0},B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0},C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}． (1) 若A ＝B ,求a 的值；(2) 若B ∩A ≠,C ∩A ＝,求a 的值．∅∅∅∅∅∅∅∅∅∅B 巩固提升一、 填空题 1. (2018·南通模拟)已知集合A ＝{0,e x },B ＝{－1,0,1},若A ∪B ＝B ,则x ＝________． 2. (2018·青岛模拟)设集合A ＝{x |(x ＋3)(x －6)≥0},B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x ≤14 ,则(∁R A )∩B ＝________．3. (2019·张家口期末)已知全集U ＝Z,A ＝{x |x ＝3n －1,n ∈Z},B ＝{x ||x |＞3,x ∈Z},则A ∩(∁U B )中元素的个数为________．4. (2019·深圳调研)已知集合M ＝{x |x ＞0},N ＝{x |x 2－4≥0},则M ∪N ＝________． 二、 解答题5. 设集合U ＝{2,3,a 2＋2a －3},A ＝{|2a －1|,2},∁U A ＝{5},求实数a 的值．6. 已知全集S ＝{1,3,x 3＋3x 2＋2x },A ＝{1,|2x －1|},如果∁S A ＝{0},则这样的实数x 是否存在？若存在,请说明理由．第2讲 充分条件与必要条件A 应知应会一、 选择题1. 设a ,b ,c ,d 是非零实数,则“ad ＝bc ”是“a ,b ,c ,d 成等比数列”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 2. (2019·淄博诊断)若a ,b ∈R,则“|a |＋|b |＞1”是“|a ＋b |＞1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知直线b 和平面α,则“b α”是b 与α平行的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. (2019·江西九校联考)已知命题p ：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －21－x ≤0 ,命题q ：B ＝{x |x －a <0},若命题p 是命题q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( )A. (2,＋∞)B. [2,＋∞)C. (－∞,1)D. (－∞,1]5. “a ＝b ＝1”是“直线ax －y ＋1＝0与直线x －by －1＝0平行”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. (2019·烟台一模)已知a ,b ∈R,则“ab ＞0”是“b a ＋ab ＞2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. (2019·济宁一模)将函数f (x )＝sin (2x ＋φ)的图象向左平移π6 个单位长度后,得到函数g (x )的图象,则“φ＝π6”是“g (x )为偶函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 8. (2019·枣庄一模)设a ,b 都是不等于1的正数,则“0<b <a <1”是“log a 3<log b 3”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件二、 解答题9. 已知p ：(x －m )2＞3(x －m ),q ：x 2＋3x －4<0.若p 是q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围．⊂B巩固提升一、填空题1. (2019·合肥质检)若“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件,则m的取值范围是________．2. “|x|<3”是“x2－x－6<0”的________条件．3. 设a∈R ,则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y＝0与直线l2 ：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________条件．4. (2019·郴州三模)已知p：x2－3x－4≤0；q：x2－6x＋9－m2≤0,若非q是非p的充分不必要条件,则实数m的取值范围是________．二、解答题5. (2020·江苏八校联考)已知集合A＝{x|y＝log2(－4x2＋15x－9),x∈R},B＝{x||x－m|≥1,x∈R}．(1) 求集合A；(2) 若p：x∈A,q：x∈B,且p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围．6. 已知数列{a n}的前n项和S n＝3n＋t(n∈N*).求证：数列{a n}是等比数列的充要条件是t＝－1.第3讲全称量词和存在量词A应知应会一、选择题1. (多选)下列命题中是全称命题并且是假命题的是()A. π是无理数B. 若2x为偶数,则任意x∈NC. 对任意x∈R,x2＋2x＋1＞0D. 所有菱形的四条边都相等2. (2019·南昌调研)下列命题中的假命题是( ) A. 存在x 0∈R,lg x 0＝1 B. 存在x 0∈R,sin x 0＝0 C. 任意x ∈R,x 3＞0 D. 任意x ∈R,2x ＞03. 命题“任意n ∈N *,f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A. 任意n ∈N *,f (n )∉N *且f (n )＞n B. 任意n ∈N *,f (n )N *或f (n )＞n C. 存在n 0∈N *,f (n 0)N *且f (n 0)＞n 0 D. 存在n 0∈N *,f (n 0)N *或f (n 0)＞n 04. (2019·中原名校联盟)已知命题“x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14 ≤0”是假命题,则实数a 的取值范围为( )A. (－∞,0)B. [0,4]C. [4,＋∞)D. (0,4)5. 若命题p ：x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π4 ,sin 2x 0＋cos 2x 0<a 是假命题,则实数a 的取值范围是( )A. (－∞,1]B. (－∞,2 ]C. [1,＋∞)D. [2 ,＋∞) 二、 解答题6. 判断下列命题的真假．(1) 已知a ,b ,c ,d ∈R,若a ≠c 或b ≠d ,则a ＋b ≠c ＋d ； (2) ∀x ∈N,x 3＞x 2；(3) 若m ＞1,则方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根； (4) 存在一个三角形没有外接圆．7. 已知命题“∀x ∈R,x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题,求实数a 的取值范围．∉∉∉∃∃B 巩固提升一、 填空题1. 若命题p ：x ∈⎣⎡⎦⎤12，2 ,使得2x 2－λx ＋1<0成立,则非p 为_______________． 2. 若命题p 的否定是“对所有正数x ,x ＞x ＋1”,则命题p 可写为________________． 3. 若命题“t ∈R, t 2－2t －a <0”是假命题,则实数a 的取值范围是________．4. 已知函数f (x )＝x ＋4x ,g (x )＝2x ＋a ,若任意x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1 ,存在x 2∈[2,3],使得f (x 1)≤g (x 2),则实数a 的取值范围是________． 二、 解答题5. 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a ＞1).若f (x )在区间(－∞,2]上是减函数,且对任意的x 1,x 2∈[1,a ＋1],总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4,求实数a 的取值范围．6. 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋1,g (x )＝ax,其中a ＞0,x ≠0.(1) 对任意x ∈[1,2],都有f (x )＞g (x )恒成立,求实数a 的取值范围；(2) 对任意x 1∈[1,2],x 2∈[2,4],都有f (x 1)＞g (x 2)恒成立,求实数a 的取值范围．∃∃第4讲 不等式的性质、一元二次不等式一、 选择题1. (2019·南昌模拟)下列三个不等式：①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a <cb (a ＞b ＞c ＞0)；③a ＋m b ＋m＞ab(a ,b ,m ＞0且a <b ),恒成立的个数为( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 02. (多选)已知a ,b ,c ,d 均为实数,则下列命题中正确的是( ) A. 若ab ＞0,bc －ad ＞0,则c a －db ＞0B. 若ab ＞0,c a －db ＞0,则bc －ad ＞0C. 若bc －ad ＞0,c a －db＞0,则ab ＞0D. 若a ＞b ＞0,c ＞d ＞0,则ac ＞bd3. (多选)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0),下列判断正确的是( ) A. 若不等式的解集为{x |x <－3或x ＞－2},则k ＝－25B. 若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠1k ,则k ＝66C. 若不等式的解集为R,则k <－66 D. 若不等式的解集为,则k ≥664. (2019·黄冈联考)若关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集是(1,＋∞),则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0的解集是( )A. (－∞,1)∪(2,＋∞)B. (－1,2)C. (1,2)D. (－∞,－1)∪(2,＋∞)5. (2019·合肥模拟)若不等式2kx 2＋kx －38 <0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( )A. (－3,0)B. [－3,0)C. [－3,0]D. (－3,0] 二、 解答题6. 已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2<x <3},求不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集．7. 若对于满足0≤p ≤3的任意实数p ,不等式x 2＋2px ＞4x ＋p －3恒成立,求x 的取值范围．∅B 巩固提升一、 填空题1. 不等式4x －2x ＋2＞0的解集为________．2. 若关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8<0的解集为空集,则实数k 的取值范围为________．3. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ＞0时,f (x )＝x 2－4x ,则不等式f (x )＞x 的解集为________．4. 已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ,a ∈R},∃a ∈R,使得集合A 中所有整数的元素和为28,则a 的取值范围是________．二、 解答题5. 若不等式ax 2＋5x －2＞0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <2 .(1) 求实数a 的值；(2) 求不等式ax 2－5x ＋a 2－1＞0的解集．6. 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R),当x ∈[－1,＋∞)时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围．第5讲 基本不等式一、 选择题1. (多选)有下面四个不等式,其中恒成立的有( ) A.a ＋b2≥ab B. a (1－a )≤14C. a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋caD. b a ＋ab≥2 2. (多选)下列四个函数中,最小值为2的是( ) A. y ＝sin x ＋1sin x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤π2 B. y ＝ln x ＋1ln x (x ＞0,x ≠1)C. y ＝x 2＋6x 2＋5D. y ＝4x ＋4－x3. 已知a ＞0,b ＞0,若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立,则m 的最大值为( )A. 9B. 12C. 18D. 244. (2019·豫南九校一联)若a ＞0,b ＞0,且2a ＋b ＝4,则1ab 的最小值为( )A. 2B. 12C. 4D. 145. (2019·济宁期末)已知圆C 1：x 2＋y 2－kx ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋ky －4＝0的公共弦所在直线恒过定点(a ,b ),且点P 在直线mx －ny －2＝0上,则mn 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫0，14B. ⎝⎛⎦⎤0，14C. ⎝⎛⎭⎫－∞，14D. ⎝⎛⎦⎤－∞，14 二、 解答题6. (2019·黄山质检)已知f (x )＝x 2＋3x ＋6x ＋1 (x ＞0),求f (x )的最小值．7. 已知lg 3x ＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1). (1) 求xy 的最小值； (2) 求x ＋y 的最小值．B 巩固提升一、 填空题1. (2017·山东卷)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0,b ＞0)过点(1,2),则2a ＋b 的最小值为________．2. (2017·天津卷)若a ,b ∈R,ab ＞0,则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．3. 若a ＞0,b ＞0,且12a ＋b ＋1b ＋1＝1,则a ＋2b 的最小值为________．4. 已知a ,b 均为正数,且ab －a －2b ＝0,则a 2 ＋b 的最小值为________,a 24 －2a ＋b 2－1b的最小值为________．二、 解答题5. (1) 设x 为正实数,且x 2＋y 22＝1,求x 1＋y 2 的最大值． (2) 若a ,b 均为大于1的正数,且ab ＝10,求lg a ·lg b 的最大值．6. 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30 m,其中大圆弧所在圆的半径为10 m ．设小圆弧所在圆的半径为x m,圆心角为θ(弧度).(1) 求y 关于x 的函数关系式；(2) 已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ,求y 关于x 的函数关系式,并求出x 为何值时,y 取得最大值．(第6题)微难点1 “三个二次”关系一、 选择题1. 若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点,则实数a 的取值范围是( )A. (－∞,1)B. (1,＋∞)C. (－∞,1]D. [1,＋∞)2. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴的交点为(1,0)和(3,0),则函数f (x )( )A. 在(－∞,2]上单调递减,在(2,＋∞)上单调递增B. 在(－∞,3)上单调递增C. 在[1,3]上单调递增D. 单调性不能确定二、 填空题3. (2019·南昌质检)若二次函数f (x )＝ax 2－x ＋b (a ≠0)的最小值为0,则a ＋4b 的取值范围是________．4. 已知函数f (x )＝x 2＋abx ＋a ＋2b .若f (0)＝4,则f (1)的最大值为________．5. 已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R)的值域为[0,＋∞),则c ＋2a ＋a ＋2c的最小值为________．6. 已知函数f (x )＝x 2－2|x |＋4的定义域为[a ,b ],其中a <b ,值域为[3a ,3b ],则满足条件的数组(a ,b )为________．三、 解答题7. 对任意a ∈[－1,1],函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于零,求x 的取值范围．8. 已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c 的零点为－13 ,12. (1) 试求a ＋c 的值；(2) 解不等式－cx 2＋2x －a ＞0.9. 设a ∈R,关于x 的一元二次方程7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0有两实数根x 1,x 2,且0<x 1<1<x 2<2,求a 的取值范围．10. 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ,b ∈R 且a ≠0),x ∈R ．(1) 若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0,求f (x )的解析式,并写出单调区间；(2) 在(1)的条件下,f (x )＞x ＋k 在区间[－3,－1]上恒成立,试求k 的取值范围．。