揭阳市2010—2011学年度高中三年级学业水平考试数学试题(文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时l20分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔在答题卷的选择题答题区上将对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁,考试结束后,将试卷和答题卷一并交回. 参考公式:锥体的体积公式13V Sh =,其中S 表示底面积,h 表示高. 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0A x x =≥,{0,1,2}B =,则A. A B ⊂≠B. B A ⊂≠C. A B B =D. A B =∅2.已知复数z 满足(1)2i z -=,则z 为A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i -- 3.已知幂函数()y f x =的图象过点11(,)28--,则2log (4)f 的值为A. 3B. 4C. 6D. -64.若(,3),(,2)a xb x ==-,则“x =a b ⊥”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5.如果等差数列{}n a 中,35712a a a ++=,那么129a a a +++的值为A. 18B. 27C. 36D. 54 6.设l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是 A.若l m ⊥,m α⊂,则l α⊥ B.若l α⊥,l m //,则m α⊥ C.若l α//,m α⊂,则l m // D.若l α//,m α//,则l m //7.已知11tan ,tan()43ααβ=-=则tan β=. A. 711 B. 117- C. 113- D. 1138.已知双曲线221412x y -=上一点M 的横坐标是3,则点M 到双曲线左焦点的距离是A.4B.1)C. 1)D.89.在ABC ∆中,若1c =,a =23A π∠=,则b 为.俯视图左视图主视图A.1B.210.已知(){},|8,0,0,x y x y x y Ω=+≤≥≥(){},|2,0,30A x y x y x y =≤≥-≥,若向区域Ω上随机投1个点P ,则点P 落入区域A 的概率为 A.14 B. 716 C. 34 D. 316二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11-13题)11.命题P :“2,12x R x x ∃∈+<”的否定P ⌝为: 、P ⌝的真假为 .12.如果执行右面的框图,输入5N =,则输出的数S= .第13题图第12题图13. 四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ,其三视图如上图所示,根据图中的信息,在四棱锥P ABCD -的任两个顶点的连线中,互相垂直的异面直线对数为 .(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 已知曲线C 的参数方程为1cos ,sin .x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),则曲线C 上的点到直线220x y -+=的距离的最大值为 .15.(几何证明选讲选做题) 已知圆O 的半径为3,从圆O 外一点A引切线AD 和割线ABC ,圆心O 到AC 的距离为22,3AB =,则切线AD 的长为 .三.解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本题满分12分)已知函数()cos f x x x ππ=+, x R ∈. (1)求函数()f x 的最小正周期和值域;24131452[185,190)[180,185)[175,180)[170,175)[165,170)[160,165)频数身高(cm )身高(cm )频数[150,155)[165,170)[170,175)[175,180)[155,160)[160,165)1712631频率F E乙DBA(2)求函数()f x 的单调增区间. 17.(本题满分12分)如图甲,在平面四边形ABCD 中,已知45,90,A C ∠=∠=105ADC ∠=,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起, 使平面ABD ⊥平面BDC (如图乙),设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点.(1)求证:DC ⊥平面ABC ;(2)设CD a =,求三棱锥A -BFE 的体积.18. (本题满分14分)为了解高中一年级学生身高情况,某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查,测得身高频数分布表如下表1、表2.表1:男生身高频数分布表表2::女生身高频数分布表(1)求该校男生的人数并完成下面频图乙率分布直方图;(2)估计该校学生身高在165180cm 的概率;(3)从样本中身高在180190cm 之间的男生中任选2人,求至少有1人身高在185190cm之间的概率。
19.(本题满分14分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>倍,1F ,2F 是它的左,右焦点.(1)若P C ∈,且210PF PF ⋅=,12||||4PF PF ⋅=,求1F 、2F 的坐标; (2)在(1)的条件下,过动点Q 作以2F 为圆心、以1为半径的圆的切线QM (M 是切点),且使1QF =,求动点Q 的轨迹方程.20.(本题满分14分)已知数列{}n a 中,11a =,前n 项和为n S 且131,()2n n S S n N *+=+∈ (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设数列1{}na 的前n 项和为n T ,求满足不等式3n n T S >的n 值. 21.(本题满分14分)已知函数()ln f x ax x =-.(a 为常数) (1)当1a =时,求函数()f x 的最值; (2)求函数()f x 在[1,)+∞上的最值;(3)试证明对任意的n N *∈都有1ln(1)1nn+<.揭阳市2010—2011学年度高中三年级学业水平考试数学试题(文科)参考答案及评分说明一. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四. 只给整数分数.一.选择题:BACBC BCDAD解析:2.22(1)112i z i i +===+-,选A. 3.由幂函数()y f x =的图象过点11(,)28--得3111()()3282n n -=-=-⇒=,则目322log (4)log 46f ==,故选C.5.由35712a a a ++=得553124a a =⇒=,129a a a +++=1959()9362a a a +==,选C.7.tan tan[()]βααβ=--11tan tan()14311tan tan()13112ααβααβ---===-+-+,选C.8.依题意可求得点M的坐标为(3,,左焦点1(4,0)F -,根据对称性只需求点到1(4,0)F -的距离,由两点的距离公式易得所求的距离为8,选D.9.由余弦定理得:2222cos a b c bc A =+-220b b ⇒+-=1b ⇒=,选A.10.由右图易得,满足条件A 的区域面积()6S A =,满足条件Ω的区域面积()32S Ω=,故所求的概率633216P ==,故选D. 二.填空题:11. 2,12x R x x ∀∈+≥、真;12.45;13.4;14.15. 15.12.根据框图所体现的算法可知此算法为求和:1111012233445S =++++⨯⨯⨯⨯11111111411223344555=-+-+-+-=-= 13.有PA 与BC;PA 与DB;PA 与CD;PB 与AD;PD 与AB;PC 与DB 共6对互相垂直异面直线.F E乙DBA14.将曲线C 的参数方程为1cos ,sin .x y θθ=+⎧⎨=化为直角坐标方程得22(1)1x y -+=,易得所求最515+=. 15.解析:依题意,BC =,∴AC =5,2AD=.AB AC =15,∴AD =15三.解答题:16.解:(1)∵()cos f x x x ππ=+=1cos )2x x ππ+ =2sin()6x ππ+------------------------------------------------------------------------3分∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==--------------------------------------------------------4分又∵x R ∈ ∴1sin()16x ππ-≤+≤,∴22sin()26x ππ-≤+≤---------------------------------------------------------------------------6分∴函数()f x 的值域为{|22}y y -≤≤.----------------------------------------------------------7分 (2)由22262k x k ππππππ-≤+≤+,k Z ∈----------------------------------------------------9分得212233k x k -≤≤+,k Z ∈----------------------------------------------------------------11分∴函数()f x 的单调增区间为21[2,2]()33k k k Z -+∈------------------------------------12分17.解:(1)证明:在图甲中∵AB BD =且45A ∠= ∴45ADB ∠= ,90ABC ∠=即AB BD ⊥----------------------------------------------------------------------------------------2分 在图乙中,∵平面ABD ⊥平面BDC , 且平面ABD平面BDC =BD∴AB ⊥底面BDC ,∴AB ⊥CD .------------------------------------------4分 又90DCB ∠=,∴DC ⊥BC ,且ABBC B =∴DC ⊥平面ABC . -----------------------------------------------------6分 (2)解法1:∵E 、F 分别为AC 、AD 的中点∴EF//CD ,又由(1)知,DC ⊥平面ABC ,∴EF ⊥平面ABC ,--------------------------------------------------------7分∴13A BFE F AEB AEB V V S FE --∆==⋅-------------------------8分在图甲中,∵105ADC ∠=, ∴60BDC ∠=,30DBC ∠= 由CD a =得2,BD a BC == ,1122EF CD a ==--------------------------10分男生样本频率分布直方图频率/cm65456345623456654321∴211222ABC S AB BC a ∆=⋅=⋅=∴22AEB S a ∆=∴231132212A BFE V a a a -=⋅⋅=-------------------------------------------12分18.解(1)样本中男生人数为40 ,由分层抽样比例为10%可得全校男生人数为400.----2分频率分布直方图如右图示:--------------------------------------------------6分(2)由表1、表2知,样本中身高在165180cm 的学生人数为:5+14+13+6+3+1=42,样本容量为70 ,所以样本中学生身高在165180cm的频率423705==f -------------------------------------------------------8分故由f 估计该校学生身高在165180cm的概率35=p .----------------------------9分(3)样本中身高在180185cm 之间的男生有4人, 设其编号为①②③④ 样本中身高在185190cm 之间的男生有2人,设其编号为⑤⑥ 从上述6人中任取2人的树状图为:--12分故从样本中身高在180190cm 之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15,求至少有1人身高在185190cm 之间的可能结果数为9,因此,所求概率93155p ==.---------------14分[或从上述6人中任取2人的所有可能的情况为、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、 (2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、(3,4)、(3,5)、(3,6)、(4,5)、(4,6)、(5,6) 共15种,其中至少有1人身高在185~190cm 之间的可能结果有9种,故所求概率93155p ==]19.解:(1)依题意知a =-----------------①----------------------------------------------------------1分 ∵021=⋅PF PF ∴12PF PF ⊥, ∴()22222212248PF PF c (a b )b +==-=---------3分又P C ∈,由椭圆定义可知122PF PF a +=,()22212884PF PF b a +=+=------②-----5分由①②得2262a ,b ==⇒2c =. ∴()120F -,、()220F ,---------------------------------------7分 (2)由已知1QF =,即2212QF QM =------9分∵QM 是2F 的切线 ∴222||||1QM QF =-∴()221221QF QF =-------------------------------------------11分 设(,)Q x y ,则()()22222221x y x y ⎡⎤++=-+-⎣⎦即()22634x y -+=(或221220x y x +-+=)------------------------------------------------13分综上所述,所求动点Q 的轨迹方程为:()22634x y -+=-------------------------------------14分 20.解:(1)解法1:由1312n n S S +=+得 当2n ≥时1312n n S S -=+ ∴113()2n n n n S S S S +--=- 即132n n a a += ∴132n n a a +=------------------4分又11a =,得2112312S a a a =+=+ ∴232a = ∴2132a a =----------------------------6分∴数列{}n a 是首项为1,公比为32的等比数列∴13()2n n a -=--------------------------------------------------------------7分解法2:由1312n n S S +=+得132(2)2n n S S ++=+--------------------------------3分即12322n n S S ++=+ ∴数列{2}n S +是首项为123S +=,公比为32的等比数列----4分∴1323()2n n S -+=⋅ 即133()22n n S -=⋅----------------------------------5分当2n ≥时∴1n n n a S S -=-=12333()2[3()2]22n n --⋅--⋅-=13()2n ----------------------6分显然当1n =时上式也成立 ∴13()2n n a -=.----------------------------------------------------------7分(2)∵z 数列{}n a 是首项为1,公比为32的等比数列, ∴数列1{}n a 是首项为1,公比为23的等比数列,------------------------------8分∴21()233[1()]2313nn n T -==--,---------------------------------------------9分 又∵32()22nn S =⋅-∴不等式3n n T S > 即239[1()]2()232n n->⋅------------------------------10分令2()3n m =并整理得291120m m -+<,解得219m <<---------------------11分即22()193n <<,将1,2,3n =代入都符合,又42162()3819=< 且函数2()3x y =在R 上为减函数,故当4n ≥时都有22()39n <-----------------13分∴满足不等式3n n T S >的n 值为:1,2,3.----------------------------------14分21.解:(1)当1a =时,函数()f x =ln x x -,(0,)x ∈+∞∵1'()1f x x=-,令'()0f x =得1x =---------------------------------------2分 ∵当(0,1)x ∈时,'()0f x < ∴函数()f x 在(0,1)上为减函数∵当(1,)x ∈+∞时'()0f x > ∴函数()f x 在(1,)+∞上为增函数∴当1x =时,函数()f x 有最小值,()(1)1f x f ==最小值----------------------------------4分 (2)∵1'()f x a x=-若0a ≤,则对任意的[1,)x ∈+∞都有'()0f x <,∴函数()f x 在[1,)+∞上为减函数 ∴函数()f x 在[1,)+∞上有最大值,没有最小值,()(1)f x f a ==最大值;------------6分若0a >,令'()0f x =得1x a=当01a <<时,11a >,当1(1,)x a ∈时'()0f x <,函数()f x 在1(1,)a上为减函数当1(,)x a ∈+∞时'()0f x > ∴函数()f x 在1(,)a +∞上为增函数∴当1x a =时,函数()f x 有最小值,11()()1ln f x f a a==-最小值-----------------------8分当1a ≥时,11a≤在[1,)+∞恒有'()0f x ≥∴函数()f x 在[1,)+∞上为增函数,函数()f x 在[1,)+∞有最小值,()(1)f x f a ==最小值.----------------------------------------------------------------------------------------------------------9分 综上得:当0a ≤时,函数()f x 在[1,)+∞上有最大值,()f x a =最大值; 当01a <<时,函数()f x 有最小值,1()1ln f x a=-最小值; 当1a ≥时,函数()f x 在[1,)+∞有最小值,()f x a =最小值.-----------------------------------10分(3)证法1:由(1)知函数()f x =ln x x -在(0,)+∞上有最小值1即对任意的(0,)x ∈+∞都有ln 1x x -≥,即1ln x x -≥,---------------------------------------12分 当且仅当1x =时“=”成立∵n N *∈ ∴10n n +>且11n n+≠∴11111ln ln n n n n n n n +++->⇔>111ln(1)1ln(1)n n n n⇔>+⇔>+∴对任意的n N *∈都有1ln(1)1nn+<.---------------------------------------------------------------14分证法2:要证明对任意的n N *∈都有1ln(1)1n n +<,只须证明11ln(1)n n+<,-----------11分设函数()ln(1)g x x x =+-,(1,)x ∈-+∞∵1'()111xg x x x=-=-++,令'()0g x =得0x =-------------------------------12分 ∵当(1,0)x ∈-时'()0g x <,当(0,)x ∈+∞时'()0g x >∴函数()g x 在(1,0)-上单调递减,在(0,)+∞上单调递增 ∴当0x =时,函数()g x 取得最小值,()(0)0g x g ==最小值即对任意的(1,)x ∈-+∞,都有ln(1)x x +≥,当且仅当0x =时“=”成立∵n N *∈ ∴10n > ∴1111ln(1)ln(1)1ln(1)1nn n n n n +>⇔+>⇔+>即对任意的n N *∈都有1ln(1)1n n+<.--------------------------------------------------------------14分。