一元二次方程的概念
【知识点1】整式方程
都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程。

如之前学过的一元一次方程和我们将要学习的一元二次方程都是整式方程。

【知识点2】一元二次方程的概念
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

如02x 2=-，02419x 22=+-x ，0x 2=-x 等都是一元二次方程。

说明：（1）一元二次方程属于整式方程，定义中的“只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”这句话，是指对方程“整理合并”之后而言的。

（2）由一元二次方程的概念可知，只有同时满足三个条件：①方程两边都是关于未知数的整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2，这样的方程
才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程。

（3）判断一个方程是否为一元二次方程时，先观察其是否属于整式方程，再看
其合并同类项后是否符合“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”。

【知识点3】一元二次方程的一般形式
任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成0ax 3=++c bx （a ，b ，c 是常
数，0a ≠），这种形式叫做一元二次方程的一般形式。

其中2a x ，bx ，c 分别叫
做二次项、一次项和常数项，a ，b 分别叫做二次项系数和一次项系数。

说明：（1）a ≠0是一个一元二次方程一般形式的一个重要组成部分，因为
方程0a 2=++c bx x ，只有当a 0≠时才叫做一元二次方程，反之，如果明确指出
方程0a 2=++c bx x 是一元二次方程，那就隐含了0a ≠这个条件，即是说方程中
含有字母系数的2x 项，且出现“关于x 的方程”这样的语句，就要对方程中的
字母进行讨论。

（2）任何一个一元二次方程经过整理（去分母、去括号、移项，合并同类项）
都可以化成一元二次方程的一般形式，但需指出的是一元二次方程的二次项、一
次项、常数项、二次项系数、一次项系数都是针对方程的一般形式而言的，所以
即使题目没有指出先把方程化成一般形式，只要求写出方程的项和某一项系数，
解题时也要把一元二次方程化成一般形式。

（3）注意区分二次项与二次项系数，一次项与一次项系数，它们都包含前面
的符号，如023x 43=--x ，二次项为2x 4，二次项系数为4，一次项为x 3-，一
次项系数为-3，常数项为-2。

【知识点4】一元二次方程的解
能使一元二次方程左右两边都相等的未知数的值，称为一元二次方程的
解。

（说明）一元二次方程的解类同于一元一次方程的解，通常已知方程的解代
入方程即可使等式成立。

1、一个“形似一元二次方程”的方程，当二次项系数不能判定一定不为零时，
它就不是一元二次方程。

2、一元二次方程中各项系数均是相对于一元二次方程的一般形式而言的，要确
定方程的各项系数首先应将方程化为一般形式，在写各项或各项系数时，应连同
符号在内。

3、检验一个数是否是一元二次方程的解的方法：将这个数作为未知数的值分别
代入方程的左、右两边，分别计算结果，再比较左右两边的值是否相等。

4、解决与一元二次方程有关问题时，一定要注意二次项系数0≠a 这一隐含条件。

根据科学分析，舞台上的节目主持人应站在舞台前沿的黄金分割点（即该点
将舞台前沿这一线段分为两条线段，使较短线段与较长线段之比等于较长线段与
总线段之比）视觉效果最好，已知学校礼堂舞台长20m ，你知道举行文娱汇演时
主持人应站在何处吗？
例1 下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程？
①93x 22=+y ；②（3x -）(3x +)=x -2x ； ③0)1(2=--x x ）
（； ④ 02x
22=-； ⑤ 223=-y x ； ⑥ 0ax 2=+bx ，（a ，b 为已知数）； ⑦ y y 222x 32=++；
例2 当m 取何值时，方程0231m 1=-+-+x x m ）（是一元二次方程。

例3 将下列关于x 的一元二次方程化成一般形式，再写出它的二次项系数、
一次项系数及常数项。

（1）23x 62+=x （2）0)23(x 22=-+--b b a x a
例4 把下列一元二次方程化为一般式，并指出方程中的各项与各项的系数。

（1）)1(23x 42+=-x （2）)32(3x 5
5-152+=x ）（
例5 判断方程后面括号里的数是否是方程的解：
（1）x 32x 22=-，（2
1-，2）； （2）33x 22=-）（，（3，3-）
例6 已知关于x 的方程：
05)1(1(m 3m 2=+-+-+x m x ））（ （1）当m 为何值时，方程是一元二次方程？
（2）当m 为何值时，方程是一元一次方程？
1、下列方程是一元二次方程的是
① 5x 2x 12-=+； ② 22314x 2
1x x -=+； ③ 4y 29=； ④ )12)(1(2x 22+-=+x x x
2、关于x 的一元二次方程
0432m 2222=-+++m x m x ）（有一根为0，求134m 22+-m 的值。

3、已知关于x 的方程023x -2=+-+m mx 的各项系数和为5，求m 的值。

4、写出一个一元二次方程，使这个方程的一个根是-1，它的二次项系数为3，
并说明有一个根-1的一元二次方程具有什么样的特征？
5、如果2是一元二次方程02x 2=++bx 的一个根，求常数b 的值。

1、已知关于x 的方程023x 2=+-k x 的一个跟是1，求k 的值。

2、判断
3、-2、2
1-是不是一元二次方程x 43x -x 22+=的根？
3、将下列方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）
32-y 2=）（； （2）x =2x ； （3）632(2x =+-））（x ； （4）2233x 7x =+； （5）
0)2(2x =+-x ）（； （6）0)2(3)12(x =---x x x ；
4、小明测量出学校一块长方形的绿地面积是945米2，且宽比长少8米，如果
设宽为x 米，要求出长和宽的长度，可列出怎样的方程？
自我总结： 知识掌握情况： 需要加强的地方：
1、一元二次方程的一般式是
6、当k 为何值时，关于x 的方程
)1(23x 3-k 2x x x -=+-）（不是一元二次方程？
7、当m为何值时，0
+m
x
mx时一元二次方程？
+
-
)2
3(
x2=。