题型切片（四个）对应题目题型目标一元二次方程的概念例1；例2；演练1；例8直接开平方法解一元二次方程例3；例4；演练2；配方解一元二次方程例5；例6；演练3；演练4；因式分解法解一元二次方程例7；演练5．模块一一元二次方程的概念知识互联网一元二次方程的基本解法题型切片定 义示例剖析一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准： ⑴整式方程．⑵方程中只含有一个未知数．⑶化简后方程中未知数的最高次数是2． ⑷二次项的系数不为0 22210x x -+= 此方程满足： 整式方程；只含有一个未知数x ；x 的最高次数是2，系数是2所以这个方程是一个一元二次方程．一元二次方程的一般式：20ax bx c ++=()0a ≠． 其中2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程22210x x -+=，其中221a b c ==-=，，．一元二次方程的根：如果0x 满足2000(0)ax bx c a ++=≠，则0x 就是方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个根．1满足2110-=，则1是方程20x x -=的一个根．0满足2000-=，则0是方程20x x -=的另一个根．∴0,1是方程20x x -=的两个根，表示为12=0, =1x x一元二次方程都可化成如下形式：20ax bx c ++=（0a ≠）． 1．“可化成”是指对整式方程进行去分母，去括号，移项、合并同类项等变形．2．一般形式中，b 、c 可以是任意实数，而二次项系数0a ≠，若0a =，方程就不是一元二次方程了，也未必是一次方程，要对b 进行讨论．3．要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式，然后确定a 、b 、c 的值，不要漏掉．．符号．．． 4．项及项的系数要区分开．建议 强调掌握一元二次方程一般形式对学习一元二次方程很重要，这种从形式上认识数学概念的方法，在今后学习基本初等函数时也要使用．【例1】 1. 判断下列方程是不是一元二次方程． 【例2】 ⑴ 2210x kx --=（k 为常数） ⑵413x =+ ⑶ 210x -=； 【例3】 ⑷ 250x = ⑸ 20x y += ⑹ ()()2233x x +=-； 【例4】夯实基础知识导航⑺ 2320mx x -+=（m 为常数） ⑻ ()()2212150a x a x a ++-+-=（a 为常数）．2. 将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． ⑴ 2216x x -=； ⑵ ()()3213x x x -+=-；⑶ ()()()3253115x x x x ++--=； ⑷ 23323x x x ++=-．【例5】 ⑴关于x 的方程()()2293510m x m x m -+++-=，当m ________时，方程为一元二次方程；当m =_________时，方程为一元一次方程；⑵已知m 是方程210x x --=的一个根，求代数式2552008m m -+的值；⑶已知a 是2200910x x -+=的根，求22120082009a a a +--的值．定 义示例剖析直接开平方法：对于形如2x m =或()2ax b m+=()211x +=11x +=或11x +=-知识导航模块二 直接开平方法解一元二次方程能力提升()00a m ≠≥，的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解．1202x x ==-，【例6】 用直接开平方法解关于x 的方程： 【例7】 ⑴ ()()323212x x +-=； ⑵()22463x -=；⑶ ()2x m n -=； ⑷ ()2214x b c -=+【例8】 解关于x 的方程：⑴ ()()222332x x +=+； ⑵ ()()225293x x -=+；⑶ ()()22425931x x -=-．定 义实例剖析知识导航模块三 配方法解一元二次方程能力提升夯实基础配方法：通过配方把一元二次方程转化成形如()2ax b m +=的方程，再运用直接开平方的方法求解．⑴220x x += ⑵2+2=1x x -22101x x ++=+ 2+2+1=0x x()211x += ()2+1=0x 11x +=± 12==1x x - 11x +=或11x +=- 1202x x ==-，总结：用配方法解一元二次方程的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为2()x m n +=的形式；④求解：若0n ≥时，方程的解为x m n =-±，若0n <时，方程无实数解配方法是一种重要的数学方法，运用配方法解一元二次方程，就是通过配方把方程变成2()x m n +=（0n ≥）的形式，再用直接开平方法求解，当0n <时，方程无实数解．．．． （1）“将二次项系数化为1”是配方的前提条件，第三步配方是关键也是难点．（2）配方法是一种重要的数学方法，它不仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数以及到高中学习二次曲线时还会经常用到，应予以重视．避免后续学习二次函数时出错．【例9】 用配方法解方程：⑴ 2420x x ++=； ⑵ 211063x x +-=； ⑶ 23123y y +=；⑷ 221233x x += ⑸ 2++5=0x x【例10】 用配方法解关于x 的方程 ⑴ 20x px q ++=（p q ，为已知常数）；能力提升夯实基础⑵ 20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数且0a ≠）定 义示例剖析因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0ab =，则0a =或0b =；解方程：20x x -= 解：()10x x -= 则0x =或10x -= ∴0x =或1x =因式分解法的一般步骤：⑴ 将方程化为一元二次方程的一般形式；⑵ 把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0；⑶ 令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程； ⑷ 解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方 程的两个根．总结：1．因式分解法把一元二次方程作为两个一元一次方程来求解，体现了一种“降次”的思想．2．将方程右边变形为0，左边化为()()0ax b cx d ++=的形式．3．因式分解法是比前两种简单的一种方法，若能用此法优先考虑． 4．便于计算，先把方程整理成一般形式且首项为正号．．． 注意：1.解方程时，不能两边同时约去含未知数的代数式2.因式分解法的前提是方程一边等于0，此前提不成立时常得出错误答案知识导航模块四 因式分解法解一元二次方程【例11】 用因式分解法解方程：⑴ 23x x =； ⑵ 22230x x -=；⑶ ()()21210x x -+-=； ⑷ ()23242x x x -=-⑸ ()()21211x x ---=- ⑹ ()()224320x x +--=【例12】 已知a 是一元二次方程2210x x --=的根，求223352a a a --++的值．真题赏析夯实基础知识模块一 一元二次方程的概念 课后演练【演练1】 ⑴ 已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是___________． 【演练2】 ⑵ 若方程2220kx x k k +-+=有一个根是0，则k 的值是____________．【演练3】 ⑶ 如果12x =是关于x 的方程22320x ax a +-=的根，那么关于y 的方程23y a -=的根是________________．【演练4】 ⑷ 已知3-是关于x 的方程22310x x a --+=的一个根，则31a -的值是_____________．⑸ 已知方程20x bx a ++=有一个根是()0a a -≠，则a b -的值是_________________．知识模块二 直接开平方法解一元二次方程 课后演练【演练5】 ⑴已知一元二次方程20ax bx c ++=的一个根为1，且a b 、满足等式223b a a =-+--，求方程2104y c -=的根．⑵用直接开平方法解方程：① ()22340x +-= ② ()241x k +=知识模块三 配方法解一元二次方程 课后演练【演练6】 用配方法解方程：【演练7】 ⑴ 2210x x --=； ⑵ 2660y y -+=；⑶ 23610x x -+=； ⑷ 2568x x =+实战演练【演练8】 用配方法解关于x 的方程：220x x k -+= 【演练9】知识模块四 因式分解法解一元二次方程 课后演练【演练10】 选择适当的方法解方程：【演练11】 ⑴ ()190x x x +--=； ⑵ 22224x x -=； ⑶ ()()222x x x -=-；⑷(20x x -+=； ⑸ 2414x x +=； ⑹ ()()23230x x x -+-=；。