一元二次方程的概念
知识点：
一、一元二次方程的定义：
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程称为一元二次方程。

识别一元二次方程必须抓住三个方面： （1）整式方程
（2）含有一个未知数
（3）未知数的最高次数是2次
【例】下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是？说说你的理由. (1)16x 2= (2)0125x 2=--x (3)032x 2=-+y
(4)03x
1
2=-+x (5)0x 2= (6)052x 24=--x
二、一元二次方程的一般形式：02
=++c bx ax （a ≠0）
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下的形式：02=++c bx ax （a ≠0）.这种形式叫做一元二次方程的一般形式。

其中2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项. 【整理】2ax 是二次项，a 是二次项系数，
bx 是一次项，b 是一次项系数， c 是常数项.
例1.把6)4)(3(-=-+x x 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次
项系数和常数项。

例2.指出 mx 2-nx-mx+nx 2=p 二次项，一次项，二次项系数，一次项系数， .
练习：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项，常数项。

①()x x x x 3422
-=- ②()()2
21248-+=+x x x
③12132=+-x x ④
()0p 2
2≠+-=++-n m q nx mx nx mx
小结：理解一元二次方程以下方面入手：
（1）一元：只含有一个未知数，"元"的含义就是未知数 （2）二次：未知数的最高次数是2，注意二次系数不等于0. （3）方程：方程必须是整式方程，这是判断的前提。

方程的解的定义: 使方程两边左右相等的未知数的值，叫做这个方程的解。

一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

例如：x=2,x=3都是一元二次方程x 2-5x+6=0的根。

练习巩固：
1．关于x 的方程mx 2-3x= x 2-mx+2是一元二次方程,则m___________．
2．方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是____________________,二次项系数是____,一次项系数是____, 常数项是______.
3．方程x 2=1的解为______________. 4．方程3 x 2
=27的解为______________. x 2
+6x+____=(x+____)2
, a 2
±____+
4
1=(a ±____ )2 5．关于x 的一元二次方程(m+3) x 2
+4x+ m 2
- 9=0有一个解为0 , 则m=______. 二．选择题：
6．在下列各式中
①x 2
+3=x; ②2 x 2
- 3x=2x(x- 1) – 1 ; ③3 x 2
- 4x – 5 ; ④x 2
=- x
1+2 7．是一元二次方程的共有( )
A 0个
B 1个
C 2个
D 3个 8．一元二次方程的一般形式是( )
A x 2
+bx+c=0 B a x 2
+c=0 (a ≠0 ) C a x 2
+bx+c=0 D a x 2
+bx+c=0 (a ≠0) 9．方程3 x 2+27=0的解是( )
A x=±3
B x= -3
C 无实数根
D 以上都不对 10．方程6 x 2- 5=0的一次项系数是( ) A 6 B 5 C -5 D 0
11．将方程x 2- 4x- 1=0的左边变成平方的形式是( )
A (x- 2)2
=1 B (x- 4)2
=1 C (x- 2)2
=5 D (x- 1)2
=4
12.关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ）
A 、1
B 、1-
C 、1或1-
D 、1
2
14.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______.
15. 解方程： （1）（x+5）2=16 （2） 8（3 -x ）2 –72=0
作业： 一、填空
1．一元二次方程化为一般形式为： ，二次项
系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。

2．关于x 的方程,当 时为一元一次方程；当 时为一元二次方程。

3．已知直角三角形三边长为连续整数，则它的三边长是 。

4. ； 。

5．直角三角形的两直角边是3︰4，而斜边的长是15㎝，那么这个三角形的面积是 。

6．若方程的两个根是和3，则的值分别为 。

7．若代数式与的值互为相反数，则的值是 。

8．方程与的解相同，则= 。

9．当 时，关于的方程可用公式法求解。

10．若实数满足，则
= 。

11．若，则= 。

12．已知的值是10，则代数式的值是 。

12)3)(31(2
+=-+x x x 023)1()1(2
=++++-m x m x m m m ++x x 32+=x (2)-2
x x (2=+2
)02
=++q px x 2-q p ,5242
--x x 122
+x x 492
=x a x =2
3a t x 032
=+-t x x b a ,022
=-+b ab a b
a
8)2)((=+++b a b a b a +1322++x x 1642
++x x
二、选择
1．下列方程中，无论取何值，总是关于x 的一元二次方程的是（ ） （A ） （B ）
（C ） （D ） 2．若与互为倒数，则实数为（ ） （A ）±
（B ）±1 （C ）± （D ）±
3．若是关于的一元二次方程的根，且≠0，则的值为（ ） （A ） （B ）1 （C ） （D ）
4．关于的一元二次方程的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ） 5．关于的一元二次方程有实数根，则（ ）
（A ）＜0 （B ）＞0 （C ）≥0 （D ）≤0 6．已知、是实数，若，则下列说法正确的是（ ）
（A ）一定是0 （B ）一定是0 （C ）或 （D ）且 7．若方程中，满足和，则方程的根是（ ）
（A ）1，0 （B ）-1，0 （C ）1，-1 （D ）无法确定 三、解方程
1. 选用合适的方法解下列方程
（1） （2）
02=++c bx ax x x ax -=+2
210)1()1(2
22=--+x a x a 03
1
2
=-+=
a x x 12+x 12-x x 2
1
222m x 02
=++m nx x m n m +1-2
1
-
21x 02=++m nx x 0,0==n m 0,0≠=n m 0,0=≠n m 0,0≠≠n m x 02
=+k x k k k k x y 0=xy x y 0=x 0=y 0=x 0=y 02
=++c bx ax )0(≠a c b a ,,0=++c b a 0=+-c b a )4(5)4(2
+=+x x x x 4)1(2
=+
（3） （4）
四、解答题
1. 已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程的一个根，求这个三角
形的腰。

2. 已知一元二次方程有一个根为零，求的值。

2
2)21()3(x x -=+31022
=-x x 02092
=+-x x 043712
2=-+++-m m mx x m ）（m。