函数定义域几种类型及其求法
河北省承德县一中 黄淑华
一、已知函数解析式型
即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1、求函数8
31522-+--=x x x y 的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-+≥--0
8301522x x x 即⎩⎨⎧-≠≠-<>11535x x x x 且或 解得1135-≠-<>x x x 且或 即函数的定义域为{}1135-≠-<>x x x x 且或。

二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。

（一）已知)(x f 的定义域，求[])(x g f 的定义域。

其解法是：已知)(x f 的定义域是],[b a 求[])(x g f 的定义域是解b x g a ≤≤)(，即为所求的定义域。

例2、已知)(x f 的定义域为]2,2[-，求)1(2-x f 的定义域。

解：22≤≤-x ，2122≤-≤-∴x ，解得33≤≤-x
即函数)1(2-x f 的定义域为{}3
3≤≤-x x
（二）已知[])(x g f 的定义域，求)(x f 的定义域。

其解法是：已知[])(x g f 的定义域是],[b a 求)(x f 的定义域的方法是：b x a ≤≤，求)(x g 的值域，即所求)(x f 的定义域。

例3、已知)12(+x f 的定义域为]2,1[，求)(x f 的定义域。

解：21≤≤x ，422≤≤∴x ，5123≤+≤∴x 。

即函数)(x f 的定义域是{}53|≤≤x x 。

三、逆向思维型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。

特别是对于已知定义域为R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例4、已知函数862++-=m mx mx y 的定义域为R 求实数m 的取值范围。

分析：函数的定义域为R ，表明0862≥++-m mx mx ，使一切R x ∈都成立，由2
x
项的系数是m ，所以应分0=m 或0≠m 进行讨论。

解：讨论：
①当0=m 时，函数的定义域为R ； ②当0≠m 时，0862
≥++-m mx mx 是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条件是⎩⎨⎧≤+--=∆>0
)8(4)6(02m m m m 10≤<⇒m 综上可知：10≤≤m 。

评注：不少学生容易忽略0=m 的情况，希望通过此例解决问题。

例5、已知函数3
47)(2+++=kx kx kx x f 的定义域是R ，求实数k 的取值范围。

解：要使函数有意义，则必须0342≠++kx kx 恒成立，
因为)(x f 的定义域为R ，即0342=++kx kx 无实数解
讨论：①当0≠k 时，034162<⨯-=∆k k 恒成立，解得430<
<k ； ②当0=k 时，方程左边03≠=恒成立。

综上得：k 的取值范围是4
30<≤k 。

四、实际问题型
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。

例6、将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式，并求函数的定义域。

解：设矩形一边为x ，则另一边长为)2(2
1x a -于是可得矩形面积。

ax x x ax x a x y 2
121)2(2122+-=-=-⋅=。

由问题的实际意义，知函数的定义域应满足
⎪⎩⎪⎨⎧>->0)2(2
10x a x ⎩⎨⎧>->⇒020x a x 20a x <<⇒。

故所求函数的解析式为：ax x y 212+-=，定义域为)2
,0(a 。

五、含参数型
对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。

例7、已知)(x f 的定义域为]1,0[，求函数)()()(a x f a x f x F -++=的定义域。

解：因为的定义域为]1,0[，即10≤≤x 。

故函数)(x F 的定义域为下列不等式组的解集：⎩
⎨⎧≤-≤≤+≤1010a x a x ，即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-a x a a x a 11 即两个区间[]a a --1,与[]a a +1,的交集，比较两个区间左、右端点：
（1）当02
1≤≤-
a 时，)(x F 的定义域为{}a x a x +≤≤-1|； （2）当2
10≤≤a 时，)(x F 的定义域为{}a x a x -≤≤1|； （3）当21>a 或21-<a 时，上述两区间的交集为空集，此时)(x F 不能构成函数。