高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧≠-+≥--②①8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。

③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。

故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。

例2 求函数2x161x sin y -+=的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧>-≥②①0x 160x sin 2由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③由②解得4x 4<<-④由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。

（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。

例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。

解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。

（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。

其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。

例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。

解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。

即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。

三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。

特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。

分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项的系数是m ，所以应分m=0或0m ≠进行讨论。

解：当m=0时，函数的定义域为R ；当0m ≠时，08m mx 6mx 2≥++-是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条件是1m 00)8m (m 4)m 6(0m 2≤<⇒⎩⎨⎧≤+--=∆> 综上可知1m 0≤≤。

评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。

例6 已知函数3kx 4kx 7kx )x (f 2+++=的定义域是R ，求实数k 的取值范围。

解：要使函数有意义，则必须3kx 4kx 2++≠0恒成立，因为)x (f 的定义域为R ，即03kx 4kx 2=++无实数①当k ≠0时，0k 34k 162<⨯-=∆恒成立，解得43k 0<<； ②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。

综上k 的取值范围是43k 0<≤。

四、实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。

例7 将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式，并求函数的定义域。

解：设矩形一边为x ，则另一边长为)x 2a (21-于是可得矩形面积。

2x ax 21)x 2a (21x y -=-⋅=ax 21x 2+-=。

由问题的实际意义，知函数的定义域应满足⎩⎨⎧>->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->0x 2a 0x 0)x 2a (210x 2ax 0<<⇒。

故所求函数的解析式为ax 21x y 2+-=，定义域为（0，2a ）。

例8 用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并求定义域。

解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。

因为CD=AB=2x ，所以x CD π=⋂，所以2xx 2L 2CD AB L AD π--=--=⋂， 故2x 2x x 2L x 2y 2π+π--⋅= Lx x )22(2+π+-=根据实际问题的意义知2L x 002xx 2L 0x 2+π<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>π--> 故函数的解析式为Lx x )22(y 2+π+-=，定义域（0，2L +π）。

五、参数型对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。

例9 已知)x (f 的定义域为［0，1］，求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的定义域。

解：因为)x (f 的定义域为［0，1］，即1x 0≤≤。

故函数)x (F 的定义域为下列不等式组的解集：⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1a x 01a x 0，即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-a 1x a a1x a 即两个区间［－a ，1－a ］与［a ，1+a ］的交集，比较两个区间左、右端点，知（1）当0a 21≤≤-时，F （x ）的定义域为}a 1x a |x {+≤≤-； （2）当21a 0≤≤时，F （x ）的定义域为}a 1x a |x {-≤≤；（3）当21a >或21a -<时，上述两区间的交集为空集，此时F （x ）不能构成函数。

六、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。

因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。

例10 求函数)3x 2x (log y 22++-=的单调区间。

解：由03x 2x 2>++-，即03x 2x 2<--，解得3x 1<<-。

即函数y 的定义域为（－1，3）。

函数)3x 2x (log y 22++-=是由函数3x 2x t t log y 22++-==，复合而成的。

4)1x (3x 2x t 22+--=++-=，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t 在区间]1(，-∞上是增函数；在区间)1[∞+，上是减函数，而t log y 2=在其定义域上单调增；3)[1)[1)31(]11(]1()31(，，，，，，，=∞+--=-∞- ，所以函数)3x 2x (log y 22++-=在区间]11(，-上是增函数，在区间)31[，上是减函数。

函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数的值域。

解：∵∴显然函数的值域是： 例2. 求函数的值域。

解：∵故函数的值域是： 2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数的值域。

解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时， 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法例4. 求函数的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程 （1）当时，解得： （2）当y=1时，，而 故函数的值域为例5. 求函数的值域。

解：两边平方整理得：（1） ∵∴x1y =0x ≠0x 1≠),0()0,(+∞-∞ x 3y -=0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴]3,[-∞]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=4)1x (y 2+-=]2,1[x -∈4y min =1x -=8y max =22x 1x x 1y +++=0x )1y (x )1y (2=-+-1y ≠R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆23y 21≤≤0x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21)x 2(x x y -+=0y x )1y (2x 222=++-R x ∈0y 8)1y (42≥-+=∆解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x 的方程：在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例6. 求函数值域。

解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例7. 求函数的值域。

解：由原函数式可得：∵21y 21+≤≤-0)x 2(x ≥-2x 0≤≤0≥∆0y x )1y (2x 222=++-0≥∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,212x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴]2,0[22222x 41∈-+=22222x 41-+=]21,0[+6x 54x 3++3y 5y64x --=3x 5y 64y --=53x ≠⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-53,1e 1e y xx +-=1y 1y e x -+=0e x>∴解得：故所求函数的值域为例8. 求函数的值域。

解：由原函数式可得：，可化为：即 ∵∴即 解得：故函数的值域为 6. 函数单调性法 例9. 求函数的值域。

解：令 则在[2，10]上都是增函数 所以在[2，10]上是增函数 当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：例10. 求函数的值域。

解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数 所以，在上也为无上界的增函数01y 1y >-+1y 1<<-)1,1(-3x sin xcos y -=y 3x cos x sin y =-y 3)x (x sin 1y 2=β++1y y 3)x (x sin 2+=β+R x ∈]1,1[)x (x sin -∈β+11y y 312≤+≤-42y 42≤≤-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-42,42)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-1x log y ,2y 325x 1-==-21y ,y 21y y y +=8112log 2y 33min =-+=-339log 2y 35max =+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,811x 1x y --+=1x 1x 2y -++=1x y ,1x y 21-=+=21y ,y ],1[+∞1y y =2y ],1[+∞所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值 显然，故原函数的值域为 7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。