第二章特殊三角形单元测试一、单选题（共10题；共30分）1、已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里2、如图，在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（）A、（1，2）B、（2，2）C、（3，2）D、（4，2）3、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若BC=9，CD=3，则△ADB的面积是（）A、27B、18C、18D、94、如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（）A、AC=ADB、AB=ABC、∠ABC=∠ABDD、∠BAC=∠BAD5、在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A、75°B、60°C、45°D、30°6、对于命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2．”用反证法证明，应假设（）A、a2＞b2B、a2＜b2C、a2≥b2D、a2≤b27、图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（）A、0B、1C、D、8、用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是（）A、假定CD∥EFB、已知AB∥EFC、假定CD不平行于EFD、假定AB不平行于EF9、如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A、2B、C、D、10、在△ABC中，∠B=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，则下列等式中成立的是（）A、a2+b2=c2B、b2+c2=a2C、a2+c2=b2D、c2﹣a2=b2二、填空题（共8题；共24分）11、用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设 ________12、在△ABC和△MNP中，已知AB=MN，∠A=∠M=90°，要使△ABC≌△MNP，应添加的条件是 ________ ．（只添加一个）13、如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是________14、如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行________ 米．15、如图是一段楼梯，高BC是3米，斜边AC是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯________米．16、如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为________ m2．17、在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形的边长为7cm，则正方形a，b，c，d的面积之和是________ cm2．18、如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为60和38，则△EDF的面积为________．三、解答题（共5题；共40分）19、已知直线m、n是相交线，且直线l1⊥m，直线l2⊥n．求证：直线l1与l2必相交．20、在一个直角三角形中，如果有一个锐角为30度，且斜边与较小直角边的和为18cm，求斜边的长．21、如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东30°的方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东60°的方向以每小时6海里速度前进，两小时后，甲船到M岛，乙船到N岛，求M岛到N岛的距离．22、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于多少cm？23、如图所示，△ABC中，D为BC边上一点，若AB=13cm，BD=5cm，AD=12cm，BC=14cm，求AC的长．四、综合题（共1题；共6分）24、如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB=16，BC=12．(1)△ABD与△CBD的面积之比为________；(2)若△ABC的面积为70，求DE的长．答案解析一、单选题1、【答案】D【考点】勾股定理的应用【解析】【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离。

【解答】∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC=90°，两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32，12×2=24海里，根据勾股定理得：（海里)，2小时后两船相距40海里，故选D.【点评】解答本题的关键是熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单。

2、【答案】 C【考点】坐标与图形变化-对称【解析】【解答】∵点P（﹣1，2），∴点P到直线x=1的距离为1﹣（﹣1）=2，∴点P关于直线x=1的对称点P′到直线x=1的距离为2，∴点P′的横坐标为2+1=3，∴对称点P′的坐标为（3，2）．故选C．【分析】先求出点P到直线x=1的距离，再根据对称性求出对称点P′到直线x=1的距离，从而得到点P′的横坐标，即可得解．3、【答案】D【考点】角平分线的性质【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，BC=9，∴AB==6，∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，∴DE=CD=3，∴△ADB的面积=AB•DE=×6×3=9．故选D．【分析】根据∠C=90°，∠B=30°，BC=9，求得AB==6，根据角平分线的性质得到DE=CD=3，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．4、【答案】A【考点】直角三角形全等的判定【解析】【解答】解：需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为：若添加的条件为BC=BD，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∵，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；若添加的条件为AC=AD，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∵，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．故选A．【分析】由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BC=BD或AC=AD．5、【答案】D【考点】直角三角形全等的判定【解析】【解答】解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数是90°﹣60°=30°．故选D．【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质列式进行计算即可得解．6、【答案】D【考点】反证法【解析】【解答】解：由于结论a2＞b2的否定为：a2≤b2 ，用反证法证明命题时，要首先假设结论的否定成立，故应假设a2≤b2 ，由此推出矛盾．故选D．【分析】由于结论a2＞b2的否定为：a2≤b2 ，由此得出结论．【解析】【解答】解：连接AB，如图所示：根据题意得：∠ACB=90°，由勾股定理得：AB=故选：C．【分析】由正方形的性质和勾股定理求出AB的长，即可得出结果．8、【答案】C【考点】反证法【解析】【解答】解：∵用反证法证明命题：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF．∴证明的第一步应是：从结论反面出发，故假设CD不平行于EF．故选：C．【分析】根据要证CD∥EF，直接假设CD不平行于EF即可得出．9、【答案】C【考点】角平分线的性质，含30度角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线，勾股定理【解析】【解答】解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，∴∠AOP=∠COP=30°，∵CP∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠COP=∠CPO，∴OC=CP=2，∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，∴∠CPE=30°，∴CE= CP=1，∴PE= = ，∴OP=2PE=2 ，∵PD⊥OA，点M是OP的中点，∴DM= OP= ．故选：C．【分析】由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠B=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，∴a2+c2=b2．故选：C．【分析】勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．依此即可求解．二、填空题11、【答案】一个三角形中至少有两个钝角【考点】反证法【解析】【解答】解：根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，故证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角．故答案为：一个三角形中至少有两个钝角．【分析】根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，直接假设出一个三角形中至少有两个钝角即可．12、【答案】BC=NP【考点】直角三角形全等的判定【解析】【解答】解：根据直角三角形的判定定理HL，已知AB=MN，∠A=∠M=90°，再加上BC=NP，即可使△ABC≌△MNP，故填：BC=NP【分析】根据直角三角形的判定定理HL，题目中以经给出了一条直角边对应边，再添加一个斜边相等的条件，或再加一个锐角相等的条件也可，总之此题答案不唯一．13、【答案】11cm≤a≤12cm【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，如图所示：此时，AB==13cm，故a=24﹣13=11cm．所以a的取值范围是：11cm≤a≤12cm．故答案是：11cm≤a≤12cm．【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：如图，设大树高为AB=12m，小树高为CD=6m，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，∴EB=6m，EC=8m，AE=AB﹣EB=12﹣6=6（m），在Rt△AEC中，AC==10（m）．故小鸟至少飞行10m．故答案为：10．【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．15、【答案】7【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC=3m，AC=5m ∴AB= = =4（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC=7米．故答案为：7．【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高=3m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．16、【答案】96【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：如图，连接AC．在△ACD中，∵AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，∴AC=15m，又∵AC2+BC2=152+202=252=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴这块地的面积=△ABC的面积﹣△ACD的面积= ×15×20﹣×9×12=96（平方米）．故答案为：96．【分析】连接AC，先利用勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，那么△ABC 的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．17、【答案】147【考点】勾股定理【解析】【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，∴正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2，∴正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=72=49（cm2），则所有正方形的面积的和是：49×3=147（cm2）．故答案为：147．【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，利用四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积进而求出即可．18、【答案】11【考点】角平分线的性质【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DF=DH，在Rt△ADF和Rt△ADH中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），∴S Rt△ADF=S Rt△ADH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S Rt△DEF=S Rt△DGH，∵△ADG和△AED的面积分别为60和38，∴38+S Rt△DEF=60﹣S Rt△DGH，∴S Rt△DEF=11，故答案为：11．【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解．三、解答题19、【答案】证明：假设直线l1与l2不相交，则两直线平行．∵l1∥l2，线l1⊥m，直线l2⊥n．∴m∥n，与直线m、n是相交线相矛盾．则l1和l2平行错误，则直线l1与l2必相交．【考点】反证法【解析】【分析】假设直线l1与l2不相交，则两直线平行，即可证得m∥n，与已知矛盾，从而证得．20、【答案】解：设斜边为acm，∵在直角三角形中，有一个锐角为30度，∴则较小的直角边为acm，∴a+ a=18，解得a=12cm．【考点】含30度角的直角三角形【解析】【分析】设斜边为acm，利用含30度的直角三角形的性质可得较小的直角边为acm，列方程求解即可．21、【答案】解：根据条件可知：BM=2×8=16（海里），BN=2×6=12（海里）．∵∠MBN=180°﹣60°﹣30°=90°，∴△BMN是直角三角形，∴MN= = =20（海里）答：M岛与N岛之间的距离是20海里．【考点】勾股定理的应用【解析】【分析】根据条件可以证得△BMN是直角三角形，求得BN与BM的长，根据勾股定理即可求得MN的长．22、【答案】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，由勾股定理，得BC= =4．由翻折的性质，得CE=AE．△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7cm．答：△ABE的周长等于7cm．【考点】翻折变换（折叠问题）【解析】【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据翻折的性质，可得AE与CE的关系，根据三角形的周长公式，可得答案．23、【答案】解：∵AB=13cm，BD=5cm，AD=12cm，∴AB2=169，AD2+BD2=25+144=169，∴AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BC，∵BC=14cm，BD=5cm，∴DC=9cm，AD=12cm，∴AC= =15（cm），答：AC的长为15cm．【考点】勾股定理【解析】【分析】首先利用勾股定理的逆定理得出AD⊥BC，进而利用勾股定理得出AC的长．四、综合题24、【答案】（1）4：3（2）解：∵△ABC的面积为70，△ABD与△CBD的面积之比为4：3，∴△ABD的面积为40，又AB=16，则DE=5【考点】角平分线的性质【解析】【解答】解：（1）∵BD是△ABC的角平分线，∴ = = ，∴ = ，∴△ABD与△CBD的面积之比为4：3；【分析】（1）根据角平分线的性质： = 求出的值，根据高相等的两个三角形的面积之比等于底的比求出△ABD与△CBD的面积之比；（2）根据（1）求出的△ABD与△CBD的面积之比，得到△ABD 的面积，根据三角形的面积公式求出DE．。