目录引言 (1)1叠加原理在电磁学中的应用 (1)1.1电场强度的分析计算 (1)1.2磁感应强度的分析计算 (3)1.3叠加原理的应用技巧 (3)2根据叠加原理计算线性电路的电流电压 (4)3叠加原理在数学物理问题中的应用 (6)3.1弦的自由振动 (6)3.2弦的受迫振动 (6)4叠加原理在波动光学中的运用 (7)5叠加原理在量子力学中的应用 (9)6叠加原理的数学基础 ................................. 错误!未定义书签。
结束语. (11)参考文献： (12)英文摘要. (12)致谢................................................ 错误!未定义书签。
叠加原理在物理学中的应用摘要：叠加原理是物理学中的基本原理之一,对物理学的研究起着极其重要的作用。
但在物理学中叠加原理并不是一条普遍的原理,只有当描写物质运动的微分方程是线性方程时,才可应用叠加原理进行分析计算。
本文列举叠加原理在电场中电场强度的计算、磁场中磁感应强度的计算、数学物理问题的求解、电路分析和光的波动特点的描述,以及量子力学态叠加原理及相关问题的讨论计算等等,最后对叠加原理的数学基础及适用范围予以讨论，从而加深对叠加原理在应用方面的思维方法与灵活技巧的理解。
关键词：叠加原理；应用；数学基础；线性方程引言所谓叠加原理是指：几种不同原因综合所产生的总效果，等于这些不同原因单独存在时产生效果的总和[1]。
自然界中有许多现象尤其是物理现象具有明显的叠加性，在解决与这些现象的有关实际问题时应用叠加原理会使问题易于解决，同时叠加原理为解决这些问题提供了简便方法。
本文在总结分析叠加原理在电磁学、电路分析、数学物理问题、波动光学及量子力学中应用的基础上，对叠加原理的数学基础及适用范围予以讨论，从而加深对叠加原理的认识理解，以便今后更好的加以应用。
1叠加原理在电磁学中的应用电场中的电场力、电场强度、电势、介质极化强度、电位移矢量，磁场中的磁场力、磁感应强度、磁场强度等等物理量的分析计算都可应用叠加原理使问题简化[1]。
若所求量为标量则直接相加减，若为矢量其叠加则服从平行四边形定则。
通常利用对称性将矢量分解在两个相互垂直的方向上，化矢量叠加为标量叠加简化计算，当其中某一方向分量的大小相等方向相反相互抵消时，就转化为一个方向的标量叠加。
1.1电场强度的分析计算大家熟知，一个半径为R，带电量为q的均匀带电圆环[2]，可以看成许许多多线元的叠加，而任一线元在轴线上一点产生的电场强度为一矢量，方向沿径向（kˆ），根据其电场的对称性分析知场强只有沿轴向分量，因而将矢量叠加退化成标量叠加，由电荷的场强公式叠加求积分得轴线上一点的场强为kz R qz E ˆ)(423220+=περ(1.1) 若求轴线上一点电势则可直接将点电荷电势公式求积分而得2241Rz q U +=πε (1.2)我们在应用叠加原理解决电场、磁场问题时，要注重思维的发散性，方法的灵活性，体现叠加的灵魂与思想。
如用上述方法求得均匀带电的41圆弧在其中心点产生的电场强度为j Ri R E ˆ4ˆ400πεηπεη-=ρ (1.3) 其中η为电荷线密度，如图所示：则均匀带电半圆环y 轴分量相互抵消，中心点的i RE ˆ20πεη=ρ；均匀带电圆环E ρ为零，由公式（1.1）令z=0同样得0=E ρ。
若把均匀带电圆盘看成是一个个细圆环的叠加，则由公式（1.1）积分得圆盘轴线上一点的场强为)1(2220z R z E +-=εσρ (1.4)若许许多多这样的圆盘叠加起来可以组成一个均匀带电球体，亦可求积分得其产生的场的分布。
广而推之这样的叠加思想可以用下面的积分公式统一表示，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰⎰⎰⎰V r S r l r e r dVE e r dSE e r dlE )(ˆ41)(ˆ41)(ˆ41202020为电荷体密度为电荷面密度为电荷线密度ρρπεσσπεηηπε （1.5） 1.2磁感应强度的分析计算无穷长导线载有电流I ，在中间弯成一半径为R 的半圆弧，其余部分则与圆的轴线平行，如图所示，圆弧中心O 的磁感应强度B ρ等于两半无穷长直线与半圆电流在圆心处产生的磁感应强度[3]的叠加。
根据Biot-Savart 定律和对称性，两段直线电流在O 点产生的磁感应强度大小相等，方向相同，都沿图中z 轴方向。
每一段所产生的B 1大小为RI R l R lIR R l dlIR R l RR l IdlB l l πμπμπμπμ44)(4)(40022200220022220123=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=++=∞==∞∞⎰⎰（1.6）半圆电流在O 点产生的磁感应强度B 2方向沿x 轴负方向。
其大小为R IR R I R Idl B R4440200202μππμπμπ=⋅==⎰（1.7）于是得所求的磁感应强度为)ˆ2ˆ(4ˆ2ˆ4ˆˆ200021k i R I k R I i R I i B k B B πμπμμ-=-=-=ρ （1.8） B 与x 轴的夹角为ππθ2arctan -= （1.9）类似的问题有许多，我们不再重复，而叠加原理作为一种基本方法其在应用中的简洁性、技巧性同样值得我们深刻灵活的加以理解应用。
1.3叠加原理的应用技巧电偶极矩为l q p ρρ=的电偶极子，在空间任一点产生电场强度的计算，若在球坐标下由点电荷场强公式与叠加原理去计算，数学化解过程相当复杂，用到的数学知识也有一定的难度，但若将原来电偶极子在P 点产生的电场强度E ρ，看成是两个相互垂直的电偶极子（电偶极矩分别为1p ρ和2p ρ）在P 产生的电场强度r E ρ和E ρ的叠加，则可极大的简化计算过程降低计算难度。
如图所示，P 点到电偶极子中心的距离为r,r 与l 的夹角为θ,其中θθsin cos 21p p p p == (1.10)这样就可以利用电偶极子延长线和中垂线上的场强公式进行计算。
其中延长线上离电偶极子中心O 为r 处的电场强度大小为302220241)4(241r Pl r rP E πεπε≈-=(1.11)中垂线上离电偶极子中心O 为r 处的电场强度大小为32322041)4(41r Pl r P E πεπε-≈+-= (1.12) 电偶极矩为1p 的电偶极子在P 点产生的电场强度r E ρ沿r 方向上，大小为303104cos 2241r p r p E r πεθπε==(1.13)电偶极矩为2p 的电偶极子在P 点产生的电场强度θE ρ沿垂直r 方向上，大小为303204sin 41rp r p E πεθπεθ==(1.14) P 点的合成电场强度E ρ的大小为1cos 34sin cos 44230223022+=+=+=θπεθθπεθr p r p E E E r (1.15)r E ρρ与的夹角为)21(cos 2sin θθθαθtg arctg arctg E E arctg r === (1.16)2根据叠加原理计算线性电路中的电流电压求解线性电路时，一般应用电路分析的基本定律基尔霍夫定律求解，但对于一些有几个电源共同作用的线性电路[4]，应用叠加原理求解更易理解且可简化计算。
应用叠加原理时，各支路的电流(或电压)等于各个电源分别单独作用时在该支路产生的电流(或电压)的代数和(叠加)。
考虑任一独立源单独作用下,其它独立源应视为零值,即独立电压源用短路代替,独立电流源用开路代替,而全部受压源则应该保留。
应用叠加时要注意电流或电压的参考方向，正确选取各分量的正负号[5]。
用基尔霍夫定律和叠加性求解电路问题各有其优缺点，用基尔霍夫定律求解根据回路个数列方程便于求解回路个数较少的电路，而用叠加原理求解根据独立源个数列方程，对于独立源较少而回路个数较多的复杂电路用叠加原理求解更简便。
若计算如图2.1所示电路中各支路电流。
已知1E =10V ，2E =6V ，1R =10Ω，2R =90Ω，3R =0.1Ω，4R =0.2Ω。
通常由基尔霍夫方程联立求解：⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+-23322122411321)(0ER I R I E R I R R I I I I（2.1） 得各支路电流或电压，这样解方程组数学运算较复杂，尤其是对于支路回路数较多 的复杂电路就更复杂了，一旦数学计算上出错，则全盘皆输。
而由叠加原理，1E 和2E 单独作用时的电路，如图2.1（b ）、（c ）所示。
根据图（b ）可由电路欧姆定律求得1E 单独作用时各支路的电流，即A R R R R R R E I 97.01.0901.090102.01032321411=+⨯++=+⨯++='（2.2） 根据图（c ）可由欧姆定律得A I 647.03="由分流公式求得2E 单独作用时各支路的电流，即1R 1R 2R 3R 4E 1I 2I 3+E 2 -I 1R 1R 2R 3 R 4E 1I 2I 31" R 1R 2R 4I 2 "RI 3 "+E 2 -（a ）（b ）（c ）ˊ ˊ ˊ 图2.1 原电路及电源单独作用时的电路A I R R R R I 581.0647.0902.1090324121=⨯+="++=" （2.3）由叠加原理得： A I I I 389.0581.097.0111=-="-'= （2.4） 同理可求得： A I I I 067.0222="+'=A I I I 322.0333-='-"= （2.5） 由上述分析可联想到对于有较少电源作用的复杂线性电路只需求某一支路的电流时，应用叠加原理及基本电路定律就可便洁地解决问题。
3叠加原理在数学物理问题中的应用 3.1弦的自由振动研究两端固定的均匀弦的自由振动[5]，即定解问题泛定方程 02=-xx tt u a u （3.1） 边界条件 0|0==x u 0|==t x u （3.2） 初始条件 )(|0x u t ϕ==)(|x u t t ψ== （3.3）利用分离变量法令)()(),(t T x X t x u =可得lxn l at n B l at n A t x u n n πππsin)sin cos (),(+=，（n=1,2,3,…） （3.4） 以上是满足振动方程和边界条件的线性独立的特解，由于方程和边界条件都是线性齐次的，本征振动的线性叠加lxn l at n B l at n A t x u n n n πππsin )sin cos(),(1+=∑∞= （3.5） 仍然满足方程和边界条件，这就是一般解，其中n n B A 和为任意常数，由初始条件确定，ξπξξψπψπξπξξϕψd ln a n a n l B d ln l A l n n l n n sin )(2sin )(200⎰⎰=⋅===傅立叶系数傅立叶系数（3.6）至此，定解问题已解决。