X(3) x(n )e
n 0
3

jn 2 2
1 1 2 ( 1) 3 (1) 4 ( 1) 2
n 0 3

jn 3 2
1 1 2 j 3 ( 1) 4 ( j ) 2 2 j
24
由Matlab计算序列的DFT
本节将根据周期序列和有限长序列之间的关系， 由周期序列的 离散傅里叶级数表示式推导得到有限长序列的离散频域表示即离
散傅里叶变换（DFT）。
1
一、预备知识
1、余数运算表达式 如果n=n1+m N， m为整数；则有：
n
N
n1
0 n1 N 1
运算符(( ))N表示n被N除，商为m，余数为n1。 n1是((n))N的解, 或称作取余数, 或说n对N取模值，简 称取模值，n模N，（n mod N） 。
主值序列: 主Байду номын сангаас区间上的序列。
有限长序列
周期延拓
周期序列
取主值
主值序列
假设有限长序列长度为M，延拓周期为N，则： N≥M时，
% x(n) x(n) RN (n)
思考：如果以小于序列长度为周期进行周期延拓会如何？
9
~ 与有限长序列X(k)的关系 4、频域周期序列 X ( k )
~ X (k ) X (( k )) N ~ X (k ) X (k ) RN (k )
函数形式： Xk= fft (xn,N) xn: 序列 N： DFT变换区间长度。当N大于xn的长度时，fft函 数自动在xn后面补零 IDFT：xn=ifft (Xk, N)
25
k=0
k=1, 2, 3, 4
21
x(n)
(a)
0 ~ ( n) x
4
n
… (b) 0
… n
N=5
~ X (k )
5 (c) －1 0 1 O X(k) 5 2 3 4 5 2 6 7 8 9 10 4 11 k |X(ej )|

(d)
0
1
2
3
4
k
22
x(n) 1
(a)
0 ~ ( n) x 1
20

例 3 有限长序列x(n)为 1 x (n ) 0
51
0≤n≤4
其余n
2 nk 5
求其N=5，10点离散傅里叶变换X(k)。
X ( k ) x ( n )e
n 0
j
k=0, 1, 2, 3, 4

1 e 1 e
j 2k 2 k 5
j
5 0
~ 是有限长序X(k)的周期延拓 周期序列 X ( k ) ~ 的主值序列。 有限长序列X(k)是周期序列 X ( k )
10
5、从DFS到DFT
N 1 j 2 kn N
DFS 变换对
% % % X (k ) DFS[x(n)]= x(n)e n 0 2 N 1 j kn % % x(n) IDFS[X (k )]= 1 X (k )e N % N k 0
% 而 x ( n) 拓序列，即
x((n)) N

表示将x(n)以N为周期的周期延
% x ( n)
r
x(n rN ) x((n))
N
4
例如，~ ( n ) 是周期为N=9的序列，则有： x
~(8) x ((8)) x (8) x 9 ~(13) x ((13)) x ( 4) x 9 ~( 22) x (( 22)) x ( 4) x 9 ~( 1) x (( 1)) x (8) x 9
5
3、有限长序列和周期序列的关系
任何周期为N的周期序列 序列 x(n)的周期延拓。
% x(n)可看作长度为N的有限长
N
% x ( n)
r
x(n rN ) x((n))

% 而x(n)是 x ( n) 的一个周期
% x(n) x(n) RN (n)
6
x(n)
0
N－1
n
~ ( n) x
2
例：N=9
259
n 25, N 9 n 25 2 9 7 2 N n1 7
n 4, N 9 n 4 9 5 N 5 49 5
3
2、x((n))N的含义
若x((n))N x(n mod N )= x(n1)，表示先取模值，后进 行函数运算;
从上式可知，DFS, IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,
k=0到N-1的主值区间进行,完全适用于主值序列x(n),X(k) 由此得到限长序列离散傅里叶变换(DFT)的定义。
11
二、 离散傅里叶变换(DFT)定义
长度为M的有限长序列x(n)的N（N≥M）点DFT定义： 正变换
X (k ) DFT[ x(n)] x(n)W
2 j N
k
14
易知，DFT的变换区间长度N不同， 表示对X(ejω)在区
间［0, 2π］上的采样间隔和采样点数不同， 所以DFT 的变换结果也不同。
jIm(z)
WN 2
o
W W k＝0
WN ( N 2 ) WN ( N 3)
1 N 0 N
X(ej )
X(k)
13
与DTFT及z变换的关系？ 显然
X (k ) X (e ) = 2 k X ( z ) z =e
N
j
j
2 k N
0≤k≤N-1
x(n)的N点DFT是其傅里叶变换在[0，2π]上的N点等间 隔采样，其采样间隔为ωN=2π/N。或是其z变换在单位
圆上的N点等间隔采样，采样点为 zk WN k e
x ( n )e
n 0
3

X(0) x(n)e
n 0
3
3

jn 0 2
1 2 3 4 10
1 1 2 ( j ) 3 ( 1) 4 j 2 2 j
X(1) x(n)e
n 0

jn1 2
X ( 2) x ( n ) e
n 0
N 1
nk N
0≤k≤N-1
反变换
1 N 1 x(n) IDFT[ X (k )] X (k )WN nk 0≤n≤N-1 N k 0
式中
WN e
j
2 N
12
定义说明： x(n)与X(k)中，已知其中的一个序列，就能惟一地确定 另一个序列。这是因为x(n)与X(k)都是点数为N的序列， 都有N个独立值（可以是复数），所以信息等量。 在使用离散傅里叶变换时，必须注意所处理的有限长 序列都是作为周期序列的一个周期来表示的，即离散 傅里叶变换隐含着周期性。 有限长序列x(n)的N点DFT正好是x(n)的周期延拓序列 x((n))N的离散傅里叶级数系数X((k))N的主值序列。
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
周期序列（离散、周期） DFS（周期、离散）
2 N 1 j kn % % % X (k ) DFS[x(n)]= x(n)e N n 0 DFS变换对 2 j kn 1 N 1 % % x(n) IDFS[X (k )]= X (k )e N % N k 0
X (k ) x (n )W
n 0
15
kn 16
e
n 0
3
j
2 kn 16
e
j
3 k 16
sin( k ) 4 , k 0,1, ,15 sin( k ) 16

19
N=8
N=16
对于同一个序列 x(n)，DFT的变换区间长度N不同，在 区间［0, 2π］上对 X e j 的采样间隔和采样点数就不同， DFT的变换结果也不同。
Re[z] o

DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系
15
16
例1 已知序列x(n)=δ(n)，求它的N点DFT。
解
X (k ) (n)W
n 0
N 1
nk N
W 1
0 N
k=0, 1, …, N-1
对序列δ(n)，不论对它进行多少点的DFT，所得结果 都是一个离散矩形序列。
17
例 2 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT。
解： 当N=8， 则
X (k ) x (n )W8kn e
n 0 n 0
7
3
j
2 kn 8
e
3 j k 8
sin( k ) 2 , k 0,1, ,7 sin( k ) 8

18
当N=16， 则
% x(n) x(n mod N ) x((n)) N
－N
0 主值区间
N－1
n
以等于序列长度为周期进行周期延拓 图2-8
7
x(n) 1
9
0 ~(n) x 1 4 n
% x(n) x(n mod N ) x((n)) N
9
-10
0
4
10
n
以大于序列长度为周期进行周期延拓，后面为零
8
% 主值区间: 周期序列 x ( n)中从n=0 到n=N-1的第一个周期。
4
n
N=10
(b)
－10 5
0 |X(k)| 3.24 1.24
4
10
n
3.24 1 1.24 10 k
(c)
－10
0
23
例 4 有限长序列x(n)为 x(n) [1， 3，] 2，4 求其N=4点离散傅里叶变换X(k)。