位体积中的粒子数为1。 入射波几率密度（即入射粒子流密度）
i 1* 1 Jz 1* 1 2 z z i (ik 1 1* ik 1* ) 2

k

N
（10）
散射波的几率流密度
* i 2 * 2 2 Jr 2 2 r r
2 ll 2l 1
1 i l 2
可以得到
Al e
(2l 1)i e
l
即 Al (2l 1)i l e i l (2l 1)e
1 i ( l l ) 2
（3-13）
将此结果代入（3-11）式
(2l 1)e
l 0

i 2 l
Pl (cos ) 2ikf ( ) (2l 1)Pl (cos )
Pl (cos ) (2l 1)i e
l l 0

1 i l 2
Pl (cos )
（3-12）
用 Pl (cos ) 乘以（12）式，再对从 0 积分，并利用Legradrer多项式 的正交性


0
Pl (cos )Pl (cos ) sin d
1 i ( l l ) 2
2 k 2 0
令
（6） （7）

r
将（6）式写成 ˆ 2 2 L2 k 2 0 2 r r 在 r 的情形下，此方程简化为
2 k 2 0 r 2
（8）
此方程类似一维波动方程，我们知道： 对于一维势垒或势阱的散射情况
(r, ) Rl (r ) Pl (cos )
l
（3-2）
Rl(r)为待定的径向波函数，每个特解称为一个分波，Rl (r ) Pl (cos ) 称为第l个分 波，通常称l=0,1,2,3…的分波分别为s, p, d, f…分波 （3-2）代入（3-1），得径向方程
1 d 2 dRl 2 l (l 1) r k V (r ) 2 2 Rl (r ) 0 r dr dr r
弹性散射，否则称为非弹性散射。
入射粒子流密度N ：单位时间内通过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入 射粒子数，用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称为 入射粒子流强度。 散射截面：
设单位时间内散射到（，）方向面积元ds上（立体角d内）的粒子数为dn，显 然
dn
ds d 2 r
dn N
下面介绍两种求散射振幅或散射截面的方法——分波法，玻恩近似方法。 分波法是准确的求散射理论问题的方法，即准确的散射理论。
三、分波法
讨论粒子在中心力场中的散射。 粒子在辏力场中的势能为U (r )，状态方程
2 [k 2 V (r )] 0
（3-1）
取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴z，显然与无关，按照§3.3.的 讨论，对于具有确定能量的粒子，方程（3-1）的特解为 Rl (r )Ylm ( , ) 由于现在与无关(m=0)，所以，方程（1）的特解可写成 Rl (r ) Pl (cos ) 方程（3-1）的通解为所有特解的线性迭加
（3-14）
可见，求散射振幅f()的问题归结为求 l ，求l的具体值关键是解径向波函数 R(r)的方程（3-3）
l的物理意义：
1 k r l 是入射平面波的第 l 个分波的位相；由 由（3-8），（3-9）知， 2 1 k r l l 是散射波第l个分波的位相。所以，l是入射波经 （3-6）知， 2
Al i ( kr 1 l l ) i ( kr 1 l l ) 2 [e 2 e ]Pl (cos ) l 0 2ikr
另一方面，按上节的讨论，在远离散射中心处，粒子的波函数
e ikr (r , )r e f ( ) r
ikz

（3-6）
令
k2
2E 2
2 V (r ) 2 U (r )
方程（4）改写为
2 [k 2 V (r )] 0
（5）
由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从微观角度看，可以认为r 。因 此，在计算时 q( , ) ，仅需考虑 r 处的散射粒子的行为，即仅需考虑 r 处的散射体系的波函数。 V r 时， (r ) 0 ，方程（5）变为 设
k x Aeikx Be ikx
k x ce ikx
式中 e 为入射波或透射波， e ikx 为散射波，波只沿一方向散射。 对于三维情形，波可沿各方向散射，三维散射时，在r 处的粒子的波函数 应为入射波和散射波之和。 方程（8）有两个特解
ikx
(r , , ) f ( , )e ikr
不是散射波，应略去。 在 r 处，散射粒子的波函数是入射平面波 1 e ikz 和球面散射波 2 之和。 即 e ikr ikz (r )r Ae f ( , ) （9） r
e ikx 的系数A=1，这表明 | 1 | 2 1 ，入射粒子束单 为方便起见，取入射平面波
1 1
（3-10）
（3-6）和（3-10）两式右边应相等，即
i ( kr l l ) Al i ( kr 2 l l ) 2 e ]Pl (cos ) 2ikr[e l 0 1 1
e ikr (2l 1)i l i ( kr 2 l ) i ( kr 2 l ) f ( ) [e e ]PL cos r l 0 2ikr
故称q(，)为微分散射截面，简称为截面或角分布 如果在垂直于入射粒子流的入射方向取面积q(， )，则单位时间内通过此截 面q(，)的粒子数恰好散射到(，)方向的单位立体角内。
q( , ) N
总散射截面：
dn d

0
（2）
Q q( , )d

2 0
（13）
由此可知，若知道了f ( , )，即可求得 q( , ) ，f ( , ) 称为散射振幅，所以， 对于给定能量的入射粒子，速率 v 给定，于是入射粒子流密度N= v 给定，只要 知道了散射振幅 f ( , ) ，也就能求出微分散射截面，f ( , ) 的具体形式通过求 schrö dinger方程（5）的解并要求在 r 时具有渐近形式（9）而得出。
(2l 1)(2l 1)e
2 | f ( , ) |2 r
（11）
单位时间内，在沿( , ) 方向d立体角内出现的粒子数为
dn J r ds | f ( , ) | 2

r
2
ds | f ( , ) | 2 Nd
（12）
比较（1）式与（12），得到
q ( , ) | f ( , ) | 2
（3-7）
将平面波 e ikz 按球Fra bibliotek波展开e e
ikz
ikr cos
(2l 1)i l jl (kr) Pl (cos )
l 0
1 ( kr) r 2

（3-8）
式中jl(kr)是球贝塞尔函数
jl (kr) 2kr J
l
1 1 sin kr l kr 2
（3-5）
为了后面的方便起见，这里引入了两个新的常数
Al kAl,
l l l 2
将（3-5）代入（3-2），得到方程（3-1）在 r 情形下通解的渐近形式
(r , )r
l 0

Al 1 sin kr l l Pl (cos ) kr 2
1 1
分别比较等式两边 e
ikr
和e
ikr
前边的系数，即得
1 i l 2 l 0
Ae

1 i ( l l ) 2
Ae
l 0 l
l 0
l
Pl (cos ) 2ikf ( ) (2l 1)i l e
Pl (cos )
（3-11）
1 i ( l l ) 2
散射后第l个分波的位相移动（相移）。
微分散射截面
1 2 q ( ) | f ( ) | (2l 1) Pl (cos )e i l sin l k l 1
总散射截面
2
（3-15）
Q q ( )d 2 q ( ) sin d
2 2 k 2 2 k
综合之，则有： dn Nd 或
dn q( , ) Nd
（1）
比例系数q(，)的性质： q(， )与入射粒子和靶粒子（散射场）的性质，它们之间的相互作用，以及 入射粒子的动能有关，是，的函数。 q(，)具有面积的量纲
dn [q] L2 Nd
q( , ) sindd
（3）
[注] dn 由（2）式知，由于N、 可通过实验测定，故而求得 q( , ) 。
d
量子力学的任务是从理论上计算出 q( , )，以便于同实验比较，从而反过来研 究粒子间的相互作用以及其它问题。
二、散射振幅
现在考虑量子力学对散射体系的描述。设靶粒子的质量远大于散射粒子的质量， 在碰撞过程中，靶粒子可视为静止。 取散射中心A为坐标原点，散射粒子体系的定态schrö dinger方程 2 2 U (r ) E （4） 2
(r , , ) f ( , )e ikr
e ikr 因此， 2 (r , , ) f ( , ) r e ikr 2 (r , , ) f ( , ) r
2 代表由散射中心向外传播的球面散射波， 2 代表向散射中心会聚的球面波，
1